THE UNIVERSITY OF ILLINOIS LIBRARY NOTICE: Return or renew all Library Material*! The Minimum Fee tor each Lost Book i* $50.00. The person charging this material is responsible for its return to the library from which it was withdrawn on or before the Latest Date stamped below. Theft, mutilation, and underlining of books are reasons tor discipli- nary action and may result in dismissal from the University. To renew call Telephone Center, 333-8400 UNIVERSITY OF ILLINOIS LIBRARY AT EYKAEIAOY TA SQZOMENA. EUCLIDIS QVM SUPERSUNT. LES OEUVRES D'EUCLIDE. Cet Outrage se trouve aussi a Paris 3 aux mdicaticms suwantes : CHEZ fL'AUTEUR, rue de Provence, n a5 ; TREUTTEL el WURTZ , libraires a Paris, rue de Lille, n 17; FIRMIN DIDOT, rue Jacob, 11 24; RAY el GRAVIER, quai des Augustins. Madame veuve COURCIER ; rue du Jardiuet, n* 12. LES OEUVRES F ' D'EUCLIDE, EN GREG, EN LATIN ET EN FRANCAIS, D'APRES un manuscrit tres-ancien qui 6ta.it reste inconnu jusqu'a nos jours* PAR F. PEYRARD, TRADU.CTEDR DES CEDVR.ES D'ARCHIMEDE; OUTRAGE APPROUYE PAR L'ACAD^MIE DES SCIENCES. DfiDlfi AU ROI. TOME TROISlfiME. A PARIS, CHEZ C- F. PATRIS, imprimeur-libraire , rue de la Colombo , en la Cite, n" 4. 1818. 5 I & PREFACE. P Px JE F A T I O. Hoc tertium ultimumque volumen coutinet libros XI, XII , XIII Elementonim Dataque Euclidis, necnon duos libros de quinque Corporibus qui Hypsicli adscript! sunt. Euclidis operibus duos Hypsiclis libros ideo adjeci , ut a vcteri consnetu- diue non recederem. Neque tamen negaverim eo commendari priorem quod sit quoddam antiqiue geometrioe monumeutnm ; quod ad alterum attinet , louge aliter sentire me fateor. Etenim demonstrationes hujus libri incomplete sunt, et in illis severitas ac eleganlia desidcrantur; itaque censeo non solum hos libros eidem non esse adscribendos, verum etiam alterum altero esse multo antiquiorem. Hoc volumen comprehendit permultas lectiones varias majoris minorisve pretii, quas cuique, attento auirno , perpendere licebit. Lectio varia propositionis I undecimi libri simpliciter elcganterque oslendit, si duoe rectoe partem communem habeant , illas inter se congruere. Hooc pro- posilio quse corollarium esse posset propositionis XIV primi libri , collocata est a Proclo in axiomatibus cum demonstratione consimili demons trationi hujus lec- tionis variae quam non admisi. Propositio XVII duodecimi libri, una ex iis quoe sunt maximi momenti, incompleta hue usque habebatur ex alinea paginafi 196 usque ad corollarium pagiuse ao5. In nota quse esl in infimu pagina 200 ostendi hanc demonstrationem. esse completam in omnibus suis partibus, Cguram autem omnino esse in- conditam. Si quis dicat Archimedem pervenisse directius ad scopum, qui erat inventio rationis duarum sphcTerarum magnitudineincequalium, fateor equidem. Etenim ex eo quod Archimedes demonstravit spheeras sequales esse duabus tertiis partibus cylin- drorum ciicumscriptorum, manifestum est spheeras inter se esse ut cubi suarum diametrorum. PREFACE. QL r f 1** CE troisieme et dernier volume renferme les livres XI, XII , XIII des Elements, et les Bounces d'Euclide, ainsi que les deux livres des cinq Corps atuibues a Hypsicle. Si j'ai joint aux OEuvres d'Euclide les deux livres attribues a Hypsicle, c'etail pour me conformer a 1'usage etabli. Je ne veux pas dire pour cela que le pre- mier livre ne soil un monument precieux de la geometric ancienne. Quant au second, il en est tout autrement : les demonstrations de ce livre sont incompletes, sans rigueur et sans elegance ; ce qui me porte a croire que non-seuleraeut ces deux livres ne sont pas du meme auleur, mais encore que Tun est beaucoup plus aucien que 1'autre. Ce volume renferme un tres-grand nombre de vnrianies plus ou moius pre- cieuses. Je laisse au lecteur le soin de les apprecier a loisir. . La varianle 4 de la piujjusiiion I du onzieme livre, demontre d'une maniere simple et elegante que deux dioiles ne peuvent pas avoir une par lie commune sans se confondre..Cette proposjtion, qui potirraileire un corollaire de la propo- sition XIV du premier livre , est placee par Proclus au nombre des axiomes, avec une demonstration semblable a celle de cette variante que je n'ai pas adoptee. La proposition XVII du douzieme livre, qui est une des plus importantes ' d'Euclide, avail etc regardee comme incomplete jusqu'a present, a partir de 1'alinea de la page 196, jusqu'au corollaire de la page ao5. J'ai fail voir dans une note placee au bas de la page 200 , que cette demonstration etait complete dans toutes ses parties, et que tout Tembarras ne provenait que d'une figure mal constitute. On pourrait peut-etre dire qu'Archimede est arrive plus direclement au but, qui esl de demonirer le rapport de deux spheres d'inegale grandeur ; cela est tres-vrai. En cifet, Archimede ayant demontre qne les spheres sont egales aux deux tiers des cjlindres circon.ctits, il suit evidemment de la que les spheres sont entre elles comuie les cubes d'eleurs diametres. III. a j 61 918 ir PR^FATIO. Sed mihi liceat aduotare Euclidem non potuisse ad proposilum euum pet-venire eadem via qua Archimedes, ni usus fuisset quatuor principiis vel postulatis quoe jfdsunt in principio libri primi de sphosra et cylindro ; atqui Euclides non admiserat haec quatuor postulata. Quapropter Euclides, qui demonstravil circulos inter se esse ut quadrata suarum diametrorum, non demonstravit circumferentias circulorum inter se esse ut suse diametri, et circulum sequalem esse triangulo cujus basis oequalis est circumferenlioe , et altitudo jequalis radio ; oportuissct euim ob earn rem ut Euclides admisisset, sicut et Archimedes, summam duarum tangentiumabeodempuuctoductarum majoremesse arcuai) iis comprehenso, etc, Propositio LXXXVI dalorum, qtiae est LXXXVII editionis meoe, doctissimum virum Gregory nou leviter intricaverat. Ille in sua dicit proefatioue hoc theo- rema esse pervalde vitiatum, et se non potuisse illud reslituere ope manuscrip- torum. Existimo ejus errorem orlum fuisse ex eo quod non noscebat lemma illud quod subsequitur propositionem LXXXYI meae editioais, et quod hie modo non plaue simili expouam. A A a r 3 B Sit parallelogrammum Ar; per punctum B ducatur recta EZ perpendicularis ad ET; prodncaiur ipsa AA; pouatur BZ eequalis ipsi BA ; compleantur rectan- gula TE, rz, et a quovis puncto H ipsius AB ducatur H0 perpendicularis ad BF. Ergo ut parallelogrammum FA, hoc estrectangulumrEadrectangulum rzita erit BE ad BZ. Ut autem BE ad EZ, hoc est BE est ad BA ., ita sinus He anguli ABr ad ra- dium BH; ut igilur parallelogrammiim TA ad rectangulum rz ;: sin. ABF : /?. Ex hoc manifestiim est quaecumque sint longitudines laterum AB , Br paralle- logrammi AF, rectangulum zr datum fore magnitudine , quamdiu angulus ABF idem manebit , ct quamdiu parallelogramraum AF noa desinet esse eequale superGciei datae. PREFACE. ? Mais qu'il me soil perrais de faire observer qu'Euclide ne pouvait arriver a son but par la meme voie qu'Archimede,.sans faire usage des quatre piiucipes ou demandes qui se trouvent a la tete du premier livre de la sphere et du cyliudre j or Euclide n'adtnettait pas ces qualre demandes. Voila pourquoi Euclide, qui a deraonire que les cercles sont entre eux comme les quarres de leurs diametres, n'a pas demontre que les circonferences de cercles sont entre elles comme leurs diametres, et que le cercle esl egal a un triangle ayant pour base une droite egale a la circonference , ct pour hauteur une droite egale au rayon ; car il aurait fallu pour cela qu'Euclide eut adruis, comme Archimede, que la somme de deuX tangcntes qui partent du meme point , est plus grande que Tare qu'elles embrassent, etc. La proposition LXXXVI des donnees , qui est la LXXXVII de mon edition , avail siugulierement embarrasse Gregory. 11 dit dans sa preface que ce theoreme est grandement Tide, et qu'il n'a pu le retablir a 1'aide des manuscriis. Je pense que son erreur provenait de ce qu'il ne connaissait pas un lemme qui se trouve apres la proposition LXXXVI de mon edition, et que je vais exposer d'une maniere un peu differentc. E A A F Soit le parallelogramme Ar; par le point B menons la droite EZ perpeudicu- laire a Br, prolongeons AA; faisons BZ egal a BA ; achevons les rectangles TE, rz, el d'un point H quelconque de AB menons H perpendiculaire a fir. Le paralle- logramme FA, c'est-a-dire le rectangle TE sera au rectangle rz comme BE est a BZ. Mais BE est a BZ, c'est-a-dire BE est a BA comme le sinus H de Tangle ABF est au rayon. BH; le parallelogramme FA est done au rectangle rz :: sin. ABF : 7?. D'ou il suit que, quelles que soient les longueurs des cotes AB, Br du paralle- logramme At, le rectangle zr sera donne de grandeur, tant que Tangle ABF resiera le meme, et que le parallelogramme Ar ue cessera pas d'etre egal a uue surface donnee. III. b T j PR^EFATIO. Haec est soltitio algebrica theorematis LXXXVH, quod quidem in nulla 6uarum pariium viliatura erat. Diise rccloe x, y contineant superGciem datam c a , in angulo dalo B, et sit ut quadralum x* prceter superficiem datum a a ad 7" ila recta data m ad rectam dutam n ; dico rectas x , y datas fore. Inveniemus superficiem oequalem rectangulo sub reclis x } y contento, ope R X c 1 hujus proportions, sin. B : R ' c* ' ^ n ^ ; , n x c* Ponalur quadralum b 1 eequale rectangulo - s .^ ^ ; Fict xy = b*. Sed cc 1 a 1 : / :: m ' u; Ergo nof ncf c= my*. His difabus sequationibus resolutis, invenietur, Tails est algebrie agendi modus ; hie aulem Euclidis. Utar signis abrevia- toribus nostris, ut pro certo habeatur eorum utilitas iii comprehendendis arduis qusestionibus antiquce geometriiB. Ponatur reclangulum Br X BA aequale superficiei data? fl. Quoniam Bf* = Br X BA + BF x AF ; ergo Br 1 = sr' Br X BA = Er X AF. Sed Br a c a : AB J :: m : n; Ergo (A) Br X Ar : AB a :: m : n. PREFACE. vij Voici a present la solution algebrique du tlieoreme LXXXVII, qui certes n'etait vicie dans aucune de ses parties. Que deux droites or, y comprenent .une surface donnee c", dans un angle donne B, et que x* moins une surface donnee a* soit a y* comme une droite donnee m est a une droite donnee n ; je dis que les droites x, y seront donnees. Pour avoir la surface egale au rectangle sous les droites x,y> je fais R x c* cette proportion, sin. B : R '' c : - y B ~, R x c s QBe^.Ba-srri On aura xy = b*. Mais x:' a % ' y* :: m : n ; Done n x* Tza* =s my*. Resolvant ces deux equations, on troUTCra V ^ + -V-^ + V : A -\- Tel est le precede de 1'algebre ; voici celui d'Euclide. J'employerai nos signes abreviatifs, pour faire sentir combien ils sont propres a faciliter 1'iatel- ligence des questions difficiles de la geometric ancienne. Supposons que le rectangle sr X BA soit egal k la surface donnee a*. Puisque Br = sr x BA + BF x AF, on aura BF* a* = Br* sr X BA = Br X AF. Mais Br a ~ a a : AB S :: m : TZ; Done (A) BF x AT : AB* :: m : n. viij PR^FATIO. Sed reclangulum AB X Br datum est (lemma), ncc non reclangulum Br x BA; ratio igitur ipsius AB x Br ad ipsum Br X BA data est. Sit autem ratio ipsius AB X Br ad Br X BA eadem quoe ratio ipsius m ad o ; Ergo AB x Br : BT x BA :: m : o. Sed AB x BT : BT x BA :: AB : BA; Ergo AB : BA :: m ' o ; Ergo AB 1 : BA 3 :: m 1 : o 1 : m : p. Sed BT x AT : AB :: m : n (A); Ergo Br x AT : BA* :: m 3 : n x p :: m : q ; Ergo 4 Br x AT : BA 1 :: 4 7/z : Done 4 BF x AF + BA : BA* :: 4 m -f ^ : 7 :: m* t j*. Mais 4 BF X AF + BA 2 = (BF + AF) (liv. 11, prop. VIH); Done (BF + AF) : BA* :: m 1 : j'; Done BF + AF : BA :: //I : s; Done BF -j- AT 4- BA, c'cst-a-dire 2 BF : BA :: m + s : 5; m -4- f Done (B) BF : BA :: - ~ : s :: m*. ' t*. Mais BF : BA :: BF x BA : BA*; Done (C) BF X BA : BA j; TO* : t*. eiiJiii.' /:;,-.; niji->7,r .-Jo.n; 1 : Mais BF X BA est donne; BA est done donne aussi ; la droite BA est done donnee; la droite Br est done donnee aussi. Mais AB X BF est donne, ainsi que Tangle B ; la droite AB est done donnee aussi; les droites AB, BF sont done donnees. 11 est evident, d'apres cela, que 1'on. aura les Taleurs des inconnues AB, Br par le raoyen des deux proportions B et C. En etfet, subsutuant, daus la pro- portion C } la surface donnee a* an rectangle BF X BA, on aura BA ;= 2 , el substiluant cette valeur de BA dans la proportion B, on aura BF = p- . Dans les livres d'Hypsicle, j'ai f.nt disparaitre une foule de fames grossieres qui sautaient aux yeux , et qui cependant se trouvaient dans les trois manuscrits 190, 2542, 2345 *, et dans les editions de Bale et d'Uxford. (P'oyez les Variautes.) * Ces trois manuscrits , si 1'on en excepte 2043, sont defectueux et remplis de lacunes. x P-R^EFATIO. Proposuio II libri -II COmiptissima erat in tribus coclicibus , in editionibus Basiliae, Oxoniaeque, necnou in versionibus Zamberti et Commandini. Ex integro hanc detnonsirationem resiitui. Lectio paginae 5i6 mea est. Codices ct editio Basilise versionesque Zamberti et Commandini omnino erant iuintelhgibiles/ et emendatio Gregory noa fausta mihi videbatur. Lectio varia primae linea? paginse 55 1 imprimis notanda est. Heec erat rn; AB pro TW?; hac menda manente, quod Hypsicles dicit illudest impossible; et hiecmenda adest tamen in tribus codicibus, in editionibus Basiliae, Oxonicoque, necnon in versionibus Zamberti atque Commandini. Cum Euclides meus terminatus sit, sine ulla mor& prelo sum subjecturus Apollonii opera conjunctim cum Pappi Lemmatibus Eutochiiqtie Commentariis , nee non cum Sereui duobus libris de Cyliudro et Cono. ( Vide proefationem, secundi voluminis). Hoc tertiura ultimumque Euclidis volumen editum fuisset mense octobri novissime practerilo, ni moram attulisset miserandum filiae meae primo geniue futum, qtise postquam fuerat per viginti et octo annos , dulce vitae meoe solamen , in complexu meo immature vita decessit decima nona die septembris. Heu! non potuit, pene dixi, uoluit superesse nalae suae in ipso matris gremio praereptae, duodecima ejusdera mensis die, exaeto nondum tertio retails anno. Omnibus aerumnis confectus , nee pulans me posse tarn diris repentinisque cladibus esse superstitem, obsecraveram clarissimum virum Delambre, perpetuum Academiae scientiarum secretarium, ut si quis ingrueret casus, impressioni operis mei absolvendae attendere vellet. Itaque D. Delambre adjuvante , ne mors quidem ipsa mea ullam integrse Euclidis operum promulgation! moram attulisset; et ea jam pridem fuissent edita , ni extitissent calumniae, vexationes semper renascentes, quibus sexdecim ab hinc anuis et amplius sum objectus. PREFACE. x j La proposition H'du livre II elait entierement alteree dans les trois manus- crits, dans les editions de Bale, d'Oxlbrd et dans les traductions de Zamberti et de Commaudiu. J'ai retabli cette demonstration dans tout son entier. La legon de la page 5i6 est de moi. Les manuscrits, 1'edition de Bale, et les traductions de Zamberii et de Commandin , ne presentaient aucuu sens raisounable , et la correction de Gregory ne me paraissait pas heureuse. La variante de la premiere ligne de la page 55 1 est tres-remarquable. II y avail TiJf AB pour -m ; ce qui faisait dire a Hypsicle une chose impossible , et cette faute se trouve dans tous les trois manuscrits, dans les editions de Bale, d'Oxford , et dans les traductions de Zamberti et de Commaudiu. Mon Euclide etant termine, je vaisfaire raeitre incessamment sous presse les OEuvres d'ApolIonius, qui seront accompagnees des Lemmes de Pappus, des Commentaires d'Eutochius, et des deux Hvres du Cylhidre et du Cone de Serenus. ( Voyez la Preface du second volume.) Ce troisieme et dernier volume des OEuvres d'Euclide aurait paru au mois d'octobre dernier, sans la fin deplorable de ma Clle ainee, qui, apres avoir fait le charrae de ma vie pendant vingt-huit ans, expira dans mes bras le vendredi 19 septembre, n'ayant pu, ou plutot n'ayant pas voulu survivre a sa fille unique, qui etait morte presque subitement stir le seiu de sa mere le vendredi de la semaine precedente, dans la troisieme annee de son age. L'amebrisee par la douleur, et ne comptant pas-pouvoir survivre a des penes aussi cruelles, arrivees coup sur coup, j'avais prie M. Delambre, secretaire perpetuel de TAcademie des sciences, de vouloir bien, en cas d'evenement, surveiller 1'impression de la fin de mon ouvrage. Ainsi, graces a ce savant illustre, ma mort meme n'aurait apporte aucun retard a I'entiere publication des OEuvres d'Euclide , donl le public jouirait depuis long-temps , sans les calom- nies, et sans les persecutions saos cesse renaissantes, auxquelles j'ai ele en butte depuis seize aunees revolues. XYJ Pag. lin. 4*5! 49 421 , 4^4, DDITIO 426, 428, 455, 437, 438, 5, b. 1 3 , b. 21 , 1 6 , b. '4, 3, i. 1 , 6. 5o, 14, . 2 , 5. 21, 2 9 , It > 28, 25, 20 , b. lib. 439, i3, 6. 440, i5, 16, 18, 22, - 2 7 , 12,6. 8,6. 443 , 20 , 445, 18, 448, 17, 29, 449, 5, . BEF ..... TABULA. EDITIO Pag. lin. 247, 10, b. B A. SI I. IE. /Jem Lege. BEB TOU t "^"fip/gV ',/.'&!-" 1|J6< TTinctyut'OV > \ TUP T5 TrAeupa? ai cT<7rAar/w^ 1 V- 25o , 21 , Idem CL'JT'.V ** !52, II, Idem \ TrAfct/pct * * . 254, 5, iciem. . . . . > \ < \ ^(TrAarfsu TBi) 1 T3 TOU t T \ r" i 5 2 JQ , 2 _) , 260 , 8 . &. 2 , b. 161 , 18, Idem Idem Idem Idem Idem OL7IQ 1 i0*TC/ * \ 262, 14, 3 9 3o, - 28, Idem Idem. .... Idem Idem Idem Idem. . . . \ TtlV delea'iur. t^770 AB, BF i-rro AZ ' * \ \ To OLTfO TWI> /ffoTrAg^psv lO'Q'y&HfiOV OUO (jpQct AB 3 BF . . . . ' ' 266, i , 267 , 8 , 268 , 2 , Idem. . . . Idem. . . . Idem. . . . TwV AB . . , * TS ei TABULA? EUCLIDIS DATA. Pag. 462, 465, 467, 476', 477, 479, 48^, 483, 49' > 298' 499 , 5oi , 5o3! EDIT! O lin. 6, b. 2, 16, b. 26, 5, 11 , b. 4, 21 , 8, 21 , b. 5 , if. 2, 16., 5, b. 5, 12 , b. 9, 22, 21 , 77, b. 16, 4, 6. 3, EX EDITiOI OX OXI.E. r f CL ED ITI < Pag. lin. 22 , I aino 46, I( 48, I( ctvTo > \ 63, < 64, r PA 5 \ > V ~ \ 1 ABF 7 8, i w^9( . . . . 91 , , : 92 , i 96 > i AFAEB , AZ . . . Tb'o \ 97 > 2 AB 1 08, 2 III , 1 1 15 , AA \ 1 20 . 7 i > 5o6 ; 23 ; IN proefatione Tolumnis primi dixe- ram Oxoniae editionem nihil aliud esse guam meram fere iranscriptionem edi- tionis Basiliae. Hsec quidetn addere po- tuissem, scilicet mendas crassissiuias quibus scatet Basiliae editio adesse ple- rasque editione Oxoniae, et in hac editioae meadas hujusmodi permuhas reperiri quibus caret in Basiliae editio. Quod omni proculdubio ostendetur ope tabulae subsequentis. Vocabulum idem quod videre est in columua editionis Basiliae , signiGcat hanc editionem concordare cum Oxoniae editione; ubi hoc vocabulum abest, ibi abest et menda. Littera b indical lineas ab iiifiinu pa- giuo, esse computandas, J'AVAIS dit, dans la preface du pre- mier volume, qne 1'edition d'Oxford n'etait gueres que la copie de celle de Bale. J'aurais pu ajouter que la plupart des fautes les plus grossieres de Tedi- tion de Bale , se retrouvent dans celle d'Oxford, et que celle-ci en renferme un ires-grand nombre dont 1'autre est exempte. Le tableau suivant prouvera d'une maniere incontestable, ce que je viens d'avanccr. Le mot idem de la colonne de 1'edi- tion de Bale , veut dire que cette edi- tion est conforme a celle d'Oxford ; 1'absence de ce mot veut dire que la faute n'existe pas dans 1'edition de Bale. La letlre b indique qu'il faut compter les lignes a partir du bas de la page. TABULA MENDARUM CRASSISSIMARUM QUIBUS PRjECIPUE VITIANTUR OXONI.E BASILI^EQUE ED1TIOKES. Pag. I N D - lin. 2, 1 6, 4, 16, 7 7 35, 17, 4o, 21 , 46, 58, i3, 66 , 28 , 9 8 '7> 99, i3, io3, 4, Il4, 3, n5, 3, 123 , 22 , i36, 23, 140, 6, 142, 21, 149, 9, l5l, 21, i53, 5, 10, i55 , 169, 12 8, 1 5 160, 3, 8, 4, 164, 171 , 174, J 7 8 > 9 182 , 5 , 187, 4, EDI b. b. b. Ot o b. b. b. b. b. b. T. OXOMIJ!. M E N D -E Pag. lin. 2, II , EDIT. BASILIJS. Idem .... Legs. etflfOOS o THO TO 'tXtiysov Ttf fJ.ll- "(flvi <*" * \ i-j 1^ C(77"0 TCU TCU TO? II TO ZH deleaiur. deleaiur. tt'jTOU Tf / WSTCM 5"/ TCU ' /J.'lf'A ''I TU TCU TOU TSTCtpTOU TWC e \ l/TTO T/ICt? oirow? c deleaiur. CtVTCU 5, , Idem .... 1 40, 68, 69, 61, ' 3, 25 , 9, 26, 29, Idem .... V \ OTS TO ZH Idem .... Idem .... Idem .... Idem .... 57pstAA}tA(5{ . . . WorpaAAwAo; ... \ V / 88, 89, 9 1 , 3,' 2, . Idem .... &. Idem .... / Idem .... III. XIV TABULA. EDIT IO Pag. li n. 192, 14, a. 193 > 17 > b - 198, 18, i3, b. 207, 25, 209, i , b. 210 , i , 211 , i5 , b. 2l5 , 20 , b. 226, 16, 24, 17 , b. 23 7 , 20, 344, J 7> 245, i5, '9 245, i , b. 246, 7 > ' *7 > 26 > 25o 1 7 25l , 2, i. 262 , 22, 23, 264, 5, 25, 269, II , &. 277* i3, 20, 282 , 12 , b. aS4, 2 , b. 289, 8 > . 2( .)7 > 12 , Z>. 3oo, 26, 54, 5o3 6, . 5o5, 17 , b. 009, 1*5 , b. 5io i > ^ i/ ag. 1 .8, J 9> 22, ED ITIO in. 6, i. 22, 6. 9> * BASILIC. A/ern .... /(/e/n .... 7c/e/7i .... Lege. TTll 01 >/ ' ct / AC U 'TTGt&T QU TCC. . . . * 128, 6 b \ / 9/ * -*i_> , 1 3o ,' 133* 16, 20, IO , ^. Idem. . . . . Idem Idem. . . , . Idem. . . . TGl/C TtTLtiiym'tt, V fCTGt \ TO \ fA'lJiW 25, 17, ^. Idem Idem Idem /UHKCI \ iA5 > ' ^ T i '4- J > " ? T l v 1 5o 26 7 "! CtTC v * . 14, ^ Idem. . . . TOt/ W5TO THf / t;770 TWC AA 3 AB f afl " x fl|F ^ 3 V CtffVjJ.fJit'rfQV t?Tt T i53, 1 51, 2 . Idem. . . . Idem. . CtTTO tftT^jWSTa iO*T/ T* I * O , Idem. ... \ * b i Idem. ... 1 60 , 6, ^ . Idem. ... TWV / *W**Jf* Tct ^uerce . * 164, 16, 3, Idem. . . . Idem. Tcl$ [At Pet $ \ " 7 5. I dpm TCp \ 172 J > 14, 5 6 . b . Idem. . . . Idem* T6) V I 7 5 Id GUI Tct \ I J > ' * TO) c " , \ > \ TABULA. EDITIO Pag. lin. 3i4, i5 , b. 3i5, 18, 3/9 , i > 8, 523, 18, 326, 2 3, 332, 27 , 356, 10, 358, 21 , b. 343, 9> b - 345, 2 , 55o, 9' 352 , 14, b. 353, 18, b.. 358, 9> 060, 52, 56i, 4, 36 7 , 2 , 36 9 , 9> b > 570, 3, 3 7 3, 27 , 29, 374 > 28, 383, 8, b. 383, 5, b. 385, 16, b. J\ I* 4oo, J m IS 20 , b. 17, b. 5, b. 4oi, 3o, 4o5, 1 1 i 4o3, 27 , 404, i, b. 408, 4, 411 , 5, b. 4l2, 6, 6, 4, 6. 4i3, 7 20 ; b. OIO5I.S. trr) ...... EDITIO Pag. lin. 188, 5, b. 1 89 , 9 , B A S I L I .E. Idem Idem Lege. tffTI TiTXfrn TOU Tt 'deleatur. c / deleatur. tl (Te ou ; deleatur. if a-TiptS. ytt S'lttyttviouf tvQitatf V IffGdV lirimfet yavia.it \ Trtfil / ^aV/f /Satflt/f / TSTpa^, (*}', CU f K'JXhOV fJLllfaf / Tf t ft ft A *('&) i/ TW * A SILI J:. Idem .... /i/em .... Lege. TTtl Ot TSC sog, 210 , O T T * > i5, b. JW/ i3o, 16, 20 Idem Idem Idem. . . V inc ^ -ill, 2 I 5 20 , 5. i33 i 10 , 5. Idem. ... TO \ 226, !6, 24, 17 . i. / />t*KM ..... /^:);;;i , 35, 37,5. 1 I . 6>. Idem Idem Idem, ... p.nxti 237 . / ' 20 > i45 > J * > "' 2.5. Idem. ... \ -* J / > >AA . > ? * ti 2^15 i5 ' 1 5o 26, Idem ... Ttlf -"t j > >A5. i . b. CtTC - , * . , *L\J , 14, 5. Idem. . . . U7TO -SiJ.J , 2A6 . i , t/ t 7 . I"*" ~ . v '"t" > / / 26, t/77o TWC AA 3 AB fH > * > \ 250 i . b. * ' ' ' - .53 ? ) ? a . Idem. . . . Idem. . CtTTO / / > \ CKTULLt/,ZTCt iG"Tl T-5C 262 OO . ion Idem. . . TOU _j , 23 i,5. Idem. 4 2GA . - JJ > 3, 1 60 6 . 5. Idem. . . . -*uij > a > i5 - -* J > > \ ^ 269, o F7 rr II, 3. V 164 , 16, 3, Idem. . . . Idem. \ t J / / 9n ^ > ^ > 5, Idem. 282 , "' , 12,5. 2,5. \ 172 * > , 14, 5. 3 6,5. Idem. . . . Idem. \ 280 8 \ * / n5 7 . Idem T t -* J y , u > 12, b. \ / J > / > 3oo * 26, T t -2V/ , 3A ', 3o3 6, 5. 5o5, 17, 5. 3oo . 1 3 , 5. \ juy , 3io i , > \ TABULA. Pag. 3i5,' EDITIO lia. i5, b. 18, oroxi.. > \ c Pag. 188, 180, EDITIO lin. 5, 6. B A S I LIJE. /c/eTtt > \ / SST/ TeTStfTif ai 3m, n_> , I - i vy > 8. 1 ^ ' Toy T 23, " > 18, uclcaUir. 326, 23, THf 332 , 27 . sxaT'oac 556, / IO . 338 2 1 b. doleatur. 3A3 9. b. > 1 \ jzj j , 515 , t/. 2 . f\\ ' / cTi oy J-t** } 55o, * > 9 deleatur. 552, 553, 358, ' , 14, b. 18, 6. V \ t ifnv OT'flezc yavttt\ i'la.yuvia.s . . 2IO, 211, 9> * ,6, o~rif>tcf. yuviq. 'iffHf J. clem. .... / irrtpta, yuvitf. 56o, 56i, 56y, 52, 4, 2 , J'rac 7r/7rs 56o, 9. . \ 5yo, 373. 3, 27 . 221 4/,*, Idem. .... */ > */ > 2n . 374, 58.1, 385, 385, 400 . -*y 28, 8, 6. 5, 6. 16, 6. i5, 6. 20 , 6. TM FB , /"* Tj" Z 20 . TtTfttyatou . . , Idem. . . . / 401 . 3o, 3/O . *" > 2 . Idem * > 4o3 , /o3 . ii, 27 . t" ? 2 , 6. Idem o fTTf^&G'ltdV H" J t 40/1 7 7. i b. \ u< 4> 4o8 , 411. i , i/. 4, 5 6. pHTCC 243, 10 , 6. 3 . Idem Idem. . . * \ 412, 6, 6, T{ BK TTtplQifiia..: 245, ^ > 3, 6. Idem Ttj" BK TTgp/^g/aC 4 > 6. i , 6. ABFZE .... 46, 21,6. 18, 6. Idem. .... Idem deleatur. v 4i3, y ^ 1 1 5 , 6. Idem. ... *T*"* J 20 , 6. -*4? 4, Idem. n. T XT, DDITIO 5 , b. i3, b. Pag. lin. 415' 4 19' 16 , b. 421, 14, 3, . 424 , i , b. 45 , So , 426, 14, 6. 428, 9, 429, 21, 435, i?', 28, 43 7 , 25, 20 , b. 438, 14, 7, b. 43 9 , i3, 6. 440, i5, 16, _ 18, ~* Ll _.'._* - a?, 12,6. - 8, *. 443 , 20 , 44S 18, 448, 17, 449 ; 29, 5, >XO]VI. BET TABULA. ED ITIO Pag. lin. 247 , 10, b. BASIL I.E. Idem Lege. BEB / rl 4- 25o , 21 , Idem / TTtClty bLLlVQg Ct'J t 'A' * * I 52 , II, Idem > \ \ TTAWGa, * * t o K / *~* <* *Ji-l * i_7 7 f Idem T, ,* W fc j, , > \ \ S-i A 't, \ nrr ^^Q 23 Idem* . - > \ TcX ...... 14, . 260 , 8 . &. 2 , . Idem Idem t \ \ T3 161 , 18 Idem , / TTfcCTCt^WKWy . . . 262 . iA . ) t > Idem* 3o . Idem, . V -'U > 28, Idem. . AB , BF . . . . -4U , Idem Idem . . I^TZ-O AB, BF ' ' ^ \ > \ V ' ' 266, I , 267 , 8 . Idem Idem. . "T^IiV T; AB . . . 268 , 2 , Idem T f TABULA. xvij EUCLIDIS DATA. EX EDITiONE CLAUD'Il HARDII, EDITIO Pag. lin. 462, 6, b. 465, 2, 467, 2, 47 2 > 16, ^. 47 3 > 26, 476, 5, 477 > ii , b. 479 4> 21 , 48a, 8, t _. 5^ b. 483, 1 ; 2, 16, 5, b. 487 > Z, 49 > 12 , b. 49' > '9 4g5 7 9> J9, 4g4> 22, 298, 21 7 77 > * 499 16, 5oi , J 4 > 4, ^. 502 , 5, 5o5 , 5o5, i? 14 , i. ^^^ rj Q f 1 ' i , b. 5o6, 9^ JJ ; OX OM.E. r EDITIO CLA Pag. lin. 22 , II, UDII HARDY. Id&rn. .... ri r > V OH/TO ..... Idem. .... TO atUTO / ^ jrtldV ttt.l /6 , in . Idem. .... TW O.VTO rl : if t 4 8 , I 9> 69, i5, Idem. .... Jdtm TO ' ' ' auTaj 63 o, Idem. .... H AB 64 ii ETT; uelcatur. fTTC TtoV \ : TitV 1 \ ABF 78, i5, Idem. . . . . TO ABF I/ 91 , , 2 , Idem AFAEB , AZ . . . Idem Tee AFAEB, AZ n*7 o T y/ ; ^ ? \ AB I O 20 , 16, b 5iy , 2, 5i8, 620 , 11 > 23, 34, 10, 423, 522 , 2, I, 5a5, '9> OXONI JL. EDITIO CLAUDII HARDY, Pag. lig. Le t \ TO t c 1) M A0H . . ... LTTO i5a , 8, Idem i5a , 6 , b. Jdem Jwo AGH \ 1 55 1 7 Idem * / >/ n. T 7 OU 1 TO ERRATUM. Ante ultimum alinea paginoe IX praefationis liliec adjiciantur : Et si in propbrtione AB : BA : : m : o, subsiiiuarnus yalorem ipsius BA , habebi- a t mus AB = o Et si dans la proportion AB : BA : : m : o f nous subsiituons la valeur de BA t nous a t aurons AB = EUCLIDIS E L E M E N T O R U M LIBER UNDECIMUS. OPOI. DEFINITIONES. . 2TEPEON IffTiy TO [MUSS nail wA*TOf i- SOLIDUM est, quod longltudinem et lati- y.sti @cif>c; tx,ov* tudinem et altitudinem liabet. Ji TTtpetf , t7rnfa.rtia. % Solidi autem terminus, superficies. TTCIS; IviTrtfov op6j) Itrriv , OT&V 5. Recta adplanumperpendicularis est,quando uj Ta? tt^TTC/^e'i'af aoT?s twfiu'a?, ad omnes rectas coutingentes ipsam, et existeules If T&> vTroxtifji.iria 1 tTrnrifa , ccflets in subjecto piano , rectos facit angulos. ; ^rjf. J 1 . E7T/we/ > cc woof sTr/TE^of opSo;' IfTiv , 4 - Plannm ad planum rectum est, quando erac ai T? xo/cw TC^W TUV tTriTrlfuv Tr^lt op- reclae, qua? communi sectioniplanorum ad rec- 6ac a.yo[wcti iij&ilati \v iri TVV sOTTrtcTwc T&ii los ct in uno plaaorum ducuntur, reliquo piano ad rectos suut. LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. DEFINITIONS. 1. UN solide est ce qui a longueur, largeur et profondeur. 2. Un solide est termine par uue surfiace. 5. Une droite est perpendiculaire h un plan , lorsqu'elle fait des angles droitS avec toutes les droites qui la rencontrent, et qui sont dans ce plan. 4. Un plan est perpendiculaire a un plan, lorsque les perpendiculaires menees dans un des plans a leur commune section , sont perpendiculaires a 1'autre plan. III. i s. Evtctf Trpoi; 7ri7riov xXifif \Tfl7nS~Ui TTtfOtf^ Tf VTTO TMf a.^-iTf Kci TH; -'. E77/7TecToy TJ-pc? iTTt 0)07. '. 1/j.oiuv TO. LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 5. Rcctoc ad planum inclinatio est, quando a sublimi tcrrnino recta? ad planum perpendi- cularis ducitur, eta facto puncto ad terminum recUe in piano recta jungitur, contentus acu- tus angulus juncla recta et insistcnte. 6. Plani ad planum inclinatio est conlcntus acutus angulus rectis , qua: ducuntur ad rectos communi seclioni ad idem punctum in utroque planorum. 7. Planum ad planum simililer inclinari di- citur, atque alterum adalterum, quando die ti inclinationum anguli teqtialcs inter se suut. 8. Parallela plana sunt qux inter se non conveniunt. Q. Similes solidas figurx sunt quac conlinentur similibus planis, aiqualibus multitudine. 10. TEquales voro c-t siiuile solidie flgura*. sunt quae continenlur similibus planis , a?([ua- libus multitudine et magnitudiiic. i^tla. yuvia. VTTV TUV wpo; Tip ^". ETTITTtS'OV TrpOS I Bcti hsytTcti 3 xcii iTzpov wpcj Wspoy, oTai/ a yewieu 'irat ear; Ta cttrup.- fl'. O/jioia. o-Tspsot /r%>t/Jia.Tai la-Tt TO. VTTO iuv iTriTriS'uv ;. l5-a \ * * \ ' * let. 'S.-riLsat. ymvia. irriv ti VTTO Trhtiovay w a.fJLfJUaV O.7TTO ft.it' av CCAAuAwi' X3.1 fJLH 6C TM tti/Ttt tTrip&l'iict ovyuv H" Trpcz 7fa.ya.if TO.IS } pa.ju./uict'i; xhitri;. AAAflS. 'S.Tip-a. yurio, tSTiv il V7TO TTXiiiVUV it i\IO t%e/U.tl)l , fJlH GUfWV iV T> OLinif t \ / / in trri cfj.syci> , tt?ro ercf tTwrtfou Trpo; tn n- t-y. npirfj.0. \s-ri CU.OIO. i7TI XO.I S , TO. llpQll> 5-%M//a. Kttf/iet' H JAtVOVffet JV ?i TJ) Xo;^i? TJ) Trip] Tnv op9c TO.1 <>9 KUVCf tciV say eTs p.*i&v, o^uywnof, we ? TS \'uiv JVw KJ-. TTfai8/)ioy t 't'rur y.o.\ irOTrhtvpur Tnfut^f^.n'Civ 1 . IfTt ff%f^ rrtftov VTTO OX.TW XM. <UMtpOt ffTI Trwrctyuvuv 'urcay xctt TUV xau 32. L'axe du cyliudre est la droite immobile autour de laquelle tourne le parallclogramme. a5. Les bases du cylindre sont les cercles decrits par les deux coles opposes du parallelogramine qui se meuvent. 24. Les cones et les cylindres semblables sont ceux dout les axes et dont les diametres des bases sont pruporiionnels. a5. Un cube est un solide compris sous six quarres egaux. 26. Un tetraedre est une figure solide comprise sous quatre triangles egaux ct equilaieraux. 27. Un octaedre est une figure solide comprise sous huit triangles egaux et equilaieraux. 28. Un clodecaedre est une figure solide comprise sous douze pentagones egaux, equilaieraux et cquiangles. 29. Un icosaedre est une figure solide comprise sous yingt triangles egaux et equilateraux. G LE ONZIEME LIVRE DES ^L^MENTS D'EUCLIDE. nroTASi2 *'. PROPOSITIO I. 7pa/x//>); /utpcf jj.iv n eux tfTiv \v Recta? lines? pars quxdam non est in sub- vTroKHfJlivn tmvifty, /*tpof fi ri lv IAIT-M- jecto piano , pars autem quxdam in sublimiori. Ei yap furctrov, lu&tia.; /xsr n TO AB ecTTW er i'tu ) pip cj Sk TI TO BF 6c TH; ABF Si enim possibile , rectx lineae AST pars quac- \-jii- dam AB sit in subjecto piano , pars vero quce- dam Br in sublimiori. B 7 EffTO.1 Qtitt; \v i T/f T AB 1/Troxti/J.it'tp TT tu- Ji BA* tT>i pa.v a.1 1Q , HK TO EfB -rpijuYOv \v Ivi I SITT/ TCU EFB TO HBK ?> Tffl \v tt^w, eTTct; xa; ^u/a; TUV Sumantur enim in ipsis EF 1 , EB quaelibet cuv at FB, ZH , puncta Z , H , et jungantur ipsae TB , ZH , et du- or/ cantur ipsx Z3. HK 5 dico primum ErB trian- yio gulum in uno esse piano. Si enim est ErB trian- guli vel pars ZF0 , vel HBK in subjccto piano , rcliqua sutem in alio , erit et unius ET, EB rec- 1v EF, EB tarum pars qutedani ia subjecto piano , altera I~'t7rio>. Ei T TO //if T/ ty T&ii V-TTH'.ilfJ.tt'lp PROPOSITION II. Si deux droltes se coupent, elles sont dans un seul plan; tout triangle est aussi place dans un seul plan. Que les deux droites AB, TA se coupent mutiiellement au point E; jedis que les droites AB , FA sont dans un seul plan ; et que tout triangle est aussi dans un seul plan. Car prenons dans les droites EF,EB deux points quelconques z,H;joignons FB, ZH, et menons les droiies z0, HK; je dis d'abord que le triangle EFB est dans un seul plan; car si la parlie zr oulapartieHBK du triangle EFBest dans un plan, et 1'autre par tie dans un autre plan , une panic de 1'uue des droites EF ; EB sera dans un plau 8 LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. , TO ft iv ctAXeo. E( Si TOO EFB rpiywov vero in alio. Si autem EFB Irianguli pars ZFBH a If TO ZFBH /-cspo? a f Ta vrrcxii/uiru tTriTrtfu , sit in subjccto piano , reliqua vero in alio, TO Si Ao/770? iv aAAo , una.1 act] a./Mp VTTO- clam in subjecto piano , una vero in alio, tfy} TO ft \v aAAa, amp ATSTTOV ^uod idjsurduia demonstration, estj triangulura e K p, \v \v't TO ap EFB . Ev &> fi IGTI TO EFB iira no.} \v.a.f(^a. TUV EF, EB' Iv 01 } KU.} -TTO.V in un o sunt piano, et omne triangulum in UUO 6' par la memeraison, zr sera egal a ZA. Et puisque AA est egal a IB, et ZA aZB, les deux droites ZA, AA seront egales aux deux droites ZB, Br, chacune a chacime. Mais on a demontre que la base ZA est egale a la base zr; Tangle ZAA est done egal a Tangle ZBF ( prop. 8. i ). Et de plus, puisqu'on a demontre que AH est egal a B0, et ZA egal a ZB; les deux droites ZA, AH serout egales aux deux droites ZB, B0. Mais on a demontre que Taugle 12 LE ON7.1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. ZAH lfit%Q ir TJ? VTTO ZB0* Ji ZH @ciru TW Z I^Tjr /'. K( 677 ifii%6 G it HE TM E0, xoTfe'J cT/< T9^ E ZAH ostensus est acqualis ipsi ZB0j basis igitur ZH basi Z0 cst acqualis. Et quoniam rursus cequalis ostcnsa cst HE ipsi E0 , comnuinis au- tem EZ , duas igitur HE , EZ duabtis E , EZ oequalcs sunt. Et basis ZH basi Z0 aequalis j angulus igitur HEZ angulo EZ squalls est j rcctus igilur uterque angulorum HEZ , EZ ergo ZE ad ipsam H0 utcunquc per E ductam )l ZE caj TroitKTu TO.; ctTTTOfJitvci; cturti; Trpo; 77? raj outra.; Iv r it ZE apa TW U7roxu[j.i< a ? SFT;. To CT/ recta cst. Simililcr ulique demonstrabimus ZE cliarn ad omncs rcctas contingonlcs ipsam ct cxistcntes in subjccto piano rccios faccre an- gulos. Recta autem ad planum perpendicularis cst, quando ad omncs rcctas conlingentes ipiim ct cxistcntes in codcrn piano rectos facit an- gnlos ; ipsa igitur ZE subjccto piano ad reclos cst. Sed subjectum plauurn cst quod per ipsas ZAH est egal a Tangle ZB9; la base ZH est done egale a la base Z (4- i ). Mais on a demontre encore que HE est egal a E0, et la droite EZ est commune ; les deux droites HE, EZ sontdonc egales aux deux droites E, EZ. Mais la base ZH est egale a la base ze ; Tangle HEZ esi done egal a Tangle EZ (8. i ) j les angles HEZ, EZ sonl done droils Tun et Tautre ; la droite ZE fait done des angles droits avcc la droite H0, de quelque maniere que la droite H soil menec par le point E. 'Nous tlemontrerons semblableraent que la droite ZE fait aussi des angles droits avec touies les dioiles qui la rencontrent et qui sontdans le plan inferieur. Mais une droite est pei pendiculaire a un plan , lorsqu'elle fait des angles droits avec tuutcs les droites qui la rencontrent et qui sont placecsdans ce plan (dtf.3. n); la droite EZ est done perpcudiculuire au plan inierieuvt Mais le plaa iofcricur pagse par LE ONZIEME LIVRE DES E"LE"MENTS D'EUCLIDE. i3 i-jrlir-tS'iv \v*i( i>,>.n - Si f ecta tribus rectis sese tangenlibus ad rec- Iw/- tos ans ulos in communi scctioae insistat, tres . ^ lx reCt8C in Un SUnt P !aDO - Eii9s?a >p T/J H AB Tfiriv tMttxi; T?f Rec ta enim quoedam AB tribus reclis BP, BF, EA, BE ^-poj opfl^f sw T)7j xara TC B BA > BE ad rccto in contactu B insistat } BE iu uno ssc piano. tinv Mil ?<*p, tXX* tt furarcv , iffTura.li EE in subjccto piano, ipsa vero BT in lv fj.i-iufCTic.ifi 1 , xt) ir.t>\Mr6ci> TO ha. TWV sublimiori , et producatur per ipsas AB , Br pla- les droiles AB , BF ; la drolte ZE est done perpendiculaire an plan des droites AB, FA. Si done , etc. PROPOSITION V. Si trois droiles se reucontrent, et si unedroite letir est pcrpendiculaire a leur commune section, ces trois di cites sont dans un seul plan. Qu'une droite AB soit perpendiculaire atix trois droites BF, BA, BE au point de contact; je dis que les trois droites BF, BA, BE sont dansun senl plan. Car que cela ne soit pas ; mais, si cela est possible , que les droites BA, BE soient dans un plan, et BF dans un autre plan eleve au-dessus du premier; fuisons passer un 4 LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. AB, BF tTllTrtf'OV' KCIt'VV v BA, BE apa ITTI- et per ipsas BA , BE igitur piano pcrpcndi- cpfl IffT/c (i AB. To S\ /jiivct.s avrJif eCSu'af xoii eiirti yuviaf jecto piano rectos faciet angulos ipsa AB. Tangit AB. ATTTSTSC/ "1 avrii; BZ^ ouira. Iv r> autem ipsam ipsa BZ existens in subjecto piano ; inroKtifjt.kvefi \7ri7f(S~u>' ap<* VTTO ABZ yuvia. ergo angulus ABZ rectus est. Supponitur autem tpflw IsTir. fTrcxtiTeti Tro ABZ yuvia, rS IITTO ABF. Ka/ titriv ABZ ipsi ABT. Et sunt in uno piano , quod If si/ tTriTrify , 07np lin}t' 5 iuva.TW cux. est impossibile ) non igitur recta Br in subli- plan par les droites AB, Br; la commune section de ce plan avec le plan infcrieur sera une ligne droite ( prop. 3. 1 1 ). Que cette droite soil BZ. II est evident que les trois droites AB, Br, BZ sontdaus le plan qui passe par les droites AB, Br. Puisqne la droite AB est perpendiculaire a chacune des droites BA, BE, la droite AB sera perpendiculaire au plan qui passe par BA , BE ( prop. 4 1 1 ) Mais le plan qui passe par BA, BE est le plan inferieur; la droite AB est done perpendiculaire au plan iuierieur; cette droite sera done perpendiculaire a toutes les droites qui la rencontrent et qui sont dans ce plan( del. 3. 1 1 ). Mais la droite BZ esi reu- contree dans le plan inferieur par la droite BZ; Tangle ABZ est done droit. Mais on a suppose que Tangle ABF est droit ; Tangle ABZ est done cgal a Tangle ABF. Mais ces angles sont dans un seul plan, ce qui est impossible (ax. 9); la droite BF n'est LE ONZIEME LIVRE DES E"LE"MENTS D'EUCLIDE. i5 apa BF tu&tTct iv f*.iTicaf' miori est piano; Ires igitur rectae BT, BA, BE a.1 Tftlf *p* tv&t7a.i o.l BF, BA , BE tr iri tint in uno sunt piano. Ear 0t?, < T* Si igitur recta, etc. PROPOSITIO VI. Ear J^o ii8*7k< rf UT l7J-<7re7 wpej ep- Si duae rectse eidem piano ad rectos sunt, flf an, irap*Mii*oi ttevrcu *l siflsw/. paralleloe erunt recta. AU5 >ap tJfls/a/ * AB, FA TM ^txufJLtru Dua cnim rectae AB > rA subjecto piano ad W et ponatur ipsi AB sequalis A, et jun- ir AE, < 4^J^8&)a-ay ttl BE, AE, AA. gantur ipsae BE, AE, AA. done pas dans un plan eleve au-dessus des droites BA, BE; les trois droites Br ; BA ? BE sont done dans unseul plan. Si done, etc. PROPOSITION VI. Si deux droites sont perpendiculaires a un meme plan, ces deux droites seront paralleles. Que les deux droites AB, TA soient perpendiculaires a im meme plan; je dis que AE est parallele a rA. Que ces pcrpeudiculaires rencontrent un plan inferieur aux points B, A; joignons la drone BA ; menous dans le plan inferieur la droile AE perpendiculaire a BA; faisons AE egal a AB, et joignons BE, AE, AA. 16 LE ONZIEME LIVRE DES ^L^MENTS D'EUCLIDE. Ka< tTrti n AB If i trrt Ktti 0.^0? TO.( c Et quoniam ABperpcndicularis est ad snbjectum planum ; et ad omnes igitur rectas contingentes xcti oufct; tv T> VTroxtiiAivto ipsam, et cxistentcs in subjecto piano, rectos Tro/iiVs; ytnvictf. ATTTtrai S\ riff facietangulos. Contingit autcm ipsam AButraque AB IxctTtpa, TUV BA, BE, ourct iv ra vTroxtifttt'ta ipsarum BA , EB existens in subjccto piano; rectus igitur est uterquc angulorum ABA, ABE. ^ ) open ttfa. ttniv tx&T'px rcav ABA, ABE Caviar. A/a TO. ctinct. S~ xctt Ixct- Propter eadem utique et uterquc ipsorum TAB , r'ipa. T>V UTTO TAB, TAE op6ii ls~ri. K< \TTU TAB rectus est. Et quoniam a?qualis cst AB t'n irriv a AB Ty AE, xom; & BA, i8 LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. ra. E, Z* Ae'^w OTI \Tn TO, E, Z c ITTI- E > z ; dico rectam puncta E , Z conjungentem T7f in eodcm piano esse cum parallelis. ;' JWaroc eWw ?c /utTtcepcnipia 1 Non cnim , sed si possibile , sit in suLlimiori EHZ, xa.} ToS E tTTl TO Z tTr tuStltt \V piTlUpOTtpu'* tffT/C 'TTITrif'lf \V fix Tut 1 AB, TA apa 7rpXAAwc t V O.TTO TOV E ITT} TO Z 3 \ V \ g~ stj Ta *? Si igitur, etc. quelconquesE, Z; je dis que la droite qui joint les points E ; z cst dans le mcme plan que les paralleles. Que cela ne soil point, et si cela est possible, qvie cette droite soil dans un plan superieur, et qu'elle ait la position EHZ; par la droite EHZ menons un plan; ce plan fera a'vecle plan inferieur une section qui sera uue ligne droite (3. n). Que cette section soit EZ; les deux droites EHZ, EZ renfermeront un espace ; ce qui est impossible (dern. 6) ; la droite raenee du point E au point Z n'est done point dans un plan superieur ; la droite menee du point E au point Z est douc dans le plan des paralleles AB ; FA. Si done, etc. LE ONZIEME L1VRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 19 nPOTASIS . Ear art uo tutia.i 7r 77/^rs etu-a irriTnfiji Trpcf opfict; esra/. EflTWirac JVo 6t/fls?a/ 7ra.pa.^>tXoi cti AB , FA, H (Te erspa ctinuv n AB T&J vTroMtp,\Ytp I lg of6f PROPOSITIO VIII. Si sint duae rcctae parallels , altera autem ip- sarum piano alicui ad rectos sit; et reliqua eidem piano ad rectos erit. Sint du rectae parallelae AB , rA , altera autem ipsarum AB subjccto piano ad rectos sit ) dico et reliquam rA eidem piano ad rectos fore. V ~^,~ ,-.. >ap / AB, FA rS uVc/- Occurrant enim ipsaj AB, FA subjccto piano [M\if \7rtTtifta K0.ru TO. B, A s-H^eTa, K< in B , A punctis , et jungatur ipsa BA ; ipsa; 'i/'%9w BA' ai AB, FA, BA apa 1 6C iri AB, FA, BA igitur in uno sunt piano. Du- \7rtiriS'K>. H%fl< TM BA Trpcf opflaj tv r$ catur ipsi BA ad rectos in subjecto piano n AE, xtti xs/crflw T AB ipsa AE , et ponatur ipsi AB aqualis AE , JVa if AE, xa.} twe^sJ^fiwrar 0.1 BE, AE , AA. et junganlur ipsae BE, AE, AA. Et quouiam AB PROPOSITION VIII. Si deux droites soat paralleles , et si Tune d'elles est perpendiculaire a un plan , 1'aulre sera aussi perpendiculaire a ce meme plan. SoientAB, FA deux droites paralleles, et que AB 1'une de ces droites soil per- peudiculaire a tin plan inferieur; je dis que 1'autre droite FA sera aussi perpendi- culaire a ce meme plan. Car, que les droites AB, FA rencontrent le plan inferieur aux points B, A. JuignonsBA; les droites AB, FA, BA seront dans un seul plan (7. u). Menons dans le plan inferieur la droile AE-perpendiculaire aBA; faisons AE egal a AB, et joignons BE, AE, AA. Puisque AB est perpendiculaire au plan inferieur 7 elle 20 LE ONZ/iEME LIVRE DES Kai ITTII AB op3 ia~ri wpcf TO v , V.OLI trpsf 7ra.Ta.$ a'pa raif viiiaf, y.ctt obfa.$ if T / r v ' fl ' a > r i ' ft x ' xtou , ^pcf cpflaf* te-r/r H AB* cp9 apa '. TU>V u/roABA, ABE ymviUV, Kai ewei 6 EA EOT/ AB y.au TW BA, AA raj ELEMENTS D'EUCLIDE. peqiendicularis est ad subjectum plaoum, et ad omncs igitur rectas contizigentes ipsam , et existenlcs in suhjeclo piano , ad rectos est ipsa AB - } rectus igitur est uterque angulorum ABA , ABE. Et quoniam in parallelas AB, FA recta inciditBA, ergo ABA, TAB anguli duobus rectis ccquales sunt. Rectus autem ABAj rectus igitur etTAB; ergo FA ad BA perpendicularis est. Et , quoniam aequah's est AB ipsi AE , communis autcmBA; duse igitur AB , BA duabus EA, AB scqualcs sunt , ct augulus ABA angulo EAB asqualis, reclus enim uterqiie 5 basis igitur AA basi BE est requalis. Et qnoniam ajqualis est quidem AB ipsi AE, ipsa vero BE ipsi AA diise igitur AB, BE duabus EA , AA a?quales sunt utraque utrique , et basis ipsorum com- munis AE ; angulus igitur ABE angulo EAA est sequalis. Picctus autcm ABE; rectus igitur et EAA ; ergo EA ad AA perpcudicularis est. Est autem et ad AB perpendicularis ; ergo EA et piano per ipsas BA , AA perpendicularis estj et ad ornues igilur re'ctas conlingeutcs ip- Sera pcrpendiculairc a toutes les droites qui la rencontrcnt, et qui sont dans ce plan ( del'. 3. 1 1 ); les angles ABA, ABE sout done droits Tun et 1'aulre. Et puisque la droite BA lombe sur les paralleles AB , TA , la somme des angles ABA , FAB sera egale a deux angles droits (29. i ). Mais Tangle ABA est droit; Tangle FAB est done droit anssi; FA est done perpendiculaire a BA. Et puisque la droite AB est cgale a la droite AE, et que la droite BA est commune, les deux droites AB, BA serout egales aux deux droites EA, AB; mais Tangle ABA est egal a Tangle EAB, car ils sont drolls Tun et Tautre; la base AA est done egale a la base BE (4. i ). Mais AB est egal a AE, et BE egal a AA; les deux droites AB, BE sont done egales aux deux droites EA, AA, cbacunea chacune ; mais la base AE est commune; Tangle ABE est done egal a Tangle EAA (8. i ). Mais Tangle ABE est droit; Tangle EAA est done droit anssi; EA est done perpendiculaire a AA. Mais EA est auj-si per- pendiculaire a AB ; la droite EA est done perpendiculaire au plan des droites BA, AA ( 4* 1 1 }; ^ droite EA est done perpendiculaire a toutes les droiles qui la LE ONZIEME LIVRE DES E^MENTS D'EUCLIDE. 21 Kctt evra; if tea BA, AA ImTrifot eVric AF, tTrtiMmp Iv P er BA > AA est 'P sa Ar > quoniam in piano Tffl JV* ry BA, AA l-vivify tlftr ttl AB, BA. per ipsas BA , AA sunt ipsae AB, BA. In quo EC & a.1 AB, BA \v TOUT? i7 AF vfle ipQuf IsriV wrrt KO.} ergo EA ipsi AF ad rectos est j quare TA TH AE TTfot opda.( time, EITT/ fa Kctt M TA TH BA^* M TA 9s/ 77paAA>iA0; , xa) ^IH oSra* Reclse eidcm rcctac parallels:, ct non cxislcnles e/V< cum illA in eodcm piano, et inter se sunt paral- lelae. Eirrw 3/ap txofripcc. rav AB, FA TM EZ Tret- Sit enim utraque ipsarum AS , FA ipsi EZ oSa-< auT sr TW ai>Ta tTriTrify' parallela , non cxistentcs cum ilia in codem OT/ 7rapaAAAo5 e^-ny )) AB '. TA. piano; dico parallelam esse AB ipsi TA. B A EZ Tt/^oc a-Hfji.t'iov TO Sumalur enirn in EZ quodvis punctum H, Hj KA} OLTT avTou TM EZ Ir fJt.lv Ttf i~ia. Tu>v et a quo ipsi EZ in piano quidem per EZ, AB EZ, AB Iwnit^ip Trpcf opflaj A'^flft! i? H0j Iv ad rectos ducatur H0 , in piano autem fl TU fia. -TWV ZE, FA T^ EZ 7ra.^tv Trpo; op- per ipsas ZE , TA ipsi EZ rursus ad rectos fla; H^fla) HK. Ka) TTJ EZ wpo; lna.Tifttv ducatur HK. Et quoniam EZ ad utramque TUV H0, HK opfli! IfiT/f, M EZ apa a) T^O ipsarum H0, HK perpendicularis est_ ergo EZ fid TWC H0, HK iTrnrtha Trpof opfia; I(7T/. Kai et piano per H0 , HK ad rectos est. Atque trriv t) EZ TM AB TrtfpaXAMXo;' xcii n AB apa* PROPOSITION IX. Lcs droites qui sont parallels a unc meme droitc , sans etre dans le meme plan que cette droite, sontaussi paralleles entr'elles. Queles droites AB, FA soient paralleles Tune et 1'aulre aEZ, sans etre dans Ic meme plan ; je dis que AB est parallele a FA. Car prenons dans EZun point quelconque H, et de ce point menons dans leplan des droites EZ, AB la droite H0 perpendiculaire a EZ , ct dans le plan des droites ZE, TA, menons aussi HK perpendiculaire a ZE. Puisqne la droite EZ est perpendi- culaire a 1'une et a 1'autre des droites He, HK, la droite EZ sera aussi perpendi- culaire an plan des droiles HO, HK (4. 1 1 ). Mais est EZ parallele AB; la LE ONZIEME LIVRE DES E^MENTS D'EUCLIDE. a3 T fia. TUV 0, H, K tTfiTrifu wpej ifQxs \,0/ e/V/c a/ dux rectae eidem- piano ad rectos sint, pa- ata. itr-riv AB T FA. rallelse sunt rectas ; parallela igitur est B ipsi rA. Quod oportebat ostendere. HPOTASIS i. PROPOSITIO X. ttTro TOW A fn/^s/ou jTTj TUT Br KstflsTo; ti AA. E< yuec oiy AA KstSerof ear/, a; ITT; TO TOW A e77/77 Trpcf ipQctf la-T/, xa) tcrr/!' ctury Tret- EA , AA ad rectos est , atque est ipsi He. Eac l ZTI ay-re? \7tt7eibtp 7rpc,( rectos sit, et reliqua eideni piano ad rectos opfiaf 'inar xcti H0 apa. rtp ha. rav EA , crit ; et H0 igitur piano per ipsas EA, AA 67ri7T4 cT/a -rav EA, AA tTriTri^w, opflji Imiv per ipsas EA , AA , perpendicularis est H0. it H0. ATTTtTa.1 tuv EA, AA tnmifc*' n H0 apa. opflii ITTI per ipsas EA , AA ergo H0 perpendicularis 77psf TM ZA' us-Ti xa,} ZA c'pflii Ifn Trpc; est ad ZA 5 quarc et ZA perpendicularis cst ( it. i ) , et du point A la droite EZ pcrpendiculaire a AA ( 12. i ), et enfia pat- le poiatz mcnonsH0 parallele a Br. Puisque Br est p.^rpcndiculaire a cliacune dcs droites AA, AE, Ja droite BF sera perpendiculaire au plan des droites EA , AA. Mais H0 est parallele a Br (4 ii ) 3 et si deux droites sont paralleles , et si 1'une d'elles est perpendicu- laire a un plan, 1'autre droite est aussi perpendiculaire a ce merae plau (8. 1 1 ) ; la droite H0 est done perpendiculaire au plan des droites EA , AA , el par consequent a toutes ies droites qui la reuconlreut et qui sout dans le plan des droites EA, AA (def. 3. 1 1). Mais la droite AZ , qui est dans le plan des droites EA , AA ; rencontre la droite He; la droite He est done perpcudiculaire a ZA,- la droite LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 27 THV H0. EST/ TS rev civrS Dato piano, a puncto in ipso dato , ad rec- los reclam lineam coustiluere - 877/7ntT&) Trpoj cpSx; * subjecto piano ad rectos rectam lineam )'i7T?5-a/, ConslituerCi ZA est done perpendiculaire a H0. Mais AZ est pcrpendiculaire a AE; la droite AZ est done perpendiculaire a chacune des. droites H0, AE. Mais si uue droite est perpendiculaire au point de. section a deux droites qui se coupent, elle est aussi perpendiculaire au plan de ces deux droites (4. n); la droite ZA est douc perpen- diculaire au plan des droites EA, He. Mais le plan des droites EA , H0 est le plan inferieur; ^ a droite AZ est done perpendiculaire au plan iuferieur. On a done meue du point donne A, pris au-dessus d'unplan, une ligne droite AZ perpendiculaire a ce plan. Ce qu'il fallail faire. PROPOSITION XII. D'un point donne dans un plan donue, clever uue ligne droite perpendiculaire a ce plan. Soit donne un plan inferieur, et soit A le point donne dans ce plan; il faut du point A clever une ligne di-oiie perpendiculaire au plan inferieur. LE ONZIEME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. TWfov rt w^t'ior TO B 2 , x.y.1 Intclligatur sublime aliquod punctum B, et airo -rev B \7t\ TO ii7ro>tit/wov Ini-mito xctdncg a puuclo B ad subjectum planum pcrpendicu- H BF , net] tti/ut.ir(f> \7ri7rtS~u Trpo; opfla'f |(TT/. Tw apa cTsflscT; tmTrtfa, 0.710 TSU mi/ualou TOU A crpof opfl^j tlffiv a.1 AA , Quonl am igitur duoc reclac parallela; stint AA, BF T(f iiTTOKiifjiii'ta ITTI- rB > una autem ipsaruni BT subjecto piano ad M AA rectos est ; el rcliqua igitur AA subjecto plauo ad rectos est. Dato igilur piano , a puncto A in ipso ad rectos constitute est ipsa AA. Quod oportebat facere. Imaginons im point quelconqueB ; du point B menons Br pcrpendiculaire au plan iufcricur ( 1 1. 1 1 ) , et par le point A menons AA parallele a BF ( 3i . i ). Puisqueles deux droiles AA, FB sont paralleles, et queBr, 1'tme de ces droites, est perpendiculaire au plan inferieur, 1'autre droite AA est aussi perpendiculaire au plan inf erieur (8. 1 1 ). D'un point donne A dans le plan donne, on a done eleve uue perpendiculuire AA a ce plan. Ce qir'il fallait faire. LE ONZ1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 29 FIPQTA2I2 > ~ / i* o TOU *VTCU u T&J CCUTW E; jap JWaroi', aero TOU eti/TCu mi TOU A TW ti^oiiiif^it'u iTTiTrifu fvo tv6i7a.i AB, Ar Trfcj offlaf ar69TaT6)!rav 3 IT) ra scii , y.cti . AAE rectac in uno sunt piano. Et quoniam FA K*i I -si it FA TOO vrrtKti/JLtry iviTTtfu wpcf subjecto piano ad rectos est, et ad omne's igitur err/, xai Trcof irttras a.f. * ri( wBtlete KH} curctf iv ra itTTomi/Ji'.va jecto piano rectos faciet angulos. Contingit au- Ta opSij 77o<'/ -y CM- i*;. ATTTSTS/ 7ro BAE cpSw sVr/f iV apa JTT-O utiquc et ipsc BAE rccttis cst; aequalis igitur FAE TM JTT BAE, */' e/V;c ly Tt/i 'i tc/ eV/^scTw, r -AE ipsi BAE, et suat in uao piano, quod cst CTree \i AB opflw' irri Trpo; tl EZ 1 Trimmer, Kcti Trpo; THV BK apa wft-'lit.v cZfitv IV TU EZ 6xfATi!T; 2 tTTITrtfui Op8' lOT/V H AB' apa OTTO ABK 7&>r/a cpflii SITT/. A/a ra ai;T* ^ a< !l V7T5 BAK CpS' !TT/, Tf^UVW /Jiiva. TO. AE, EZ iTrtTrsf'ce, eu ?vfJL7rtap 7ro TOU B ff//e/oy ITT) TO TUV AE, EZ tTfi'jTiS'w KctBt-rc; BH , xcti T^O iTTiwe'cT'ft) Kara TO H ! ftrn TO fia. T&V AE, EZ iTriTrifst', y.eii Trpo; Trtit eipat ra; otvrTOfAtt'ttf atvTiis wBi'l&f KA} ot/fftt; \v TU ftst y TV AE, EZ eTmrifta opflaf iretnini yu- fia.;. ATTTnctt ft avTHf \xo.Ttpa. Tw:'H0, HK ovrst. iv TU AE > EZ perpendicularis est. Ad qua; vero plana eadem recta perpendicularis est, parallela sunt ea plana ; parallelum igitur est planum per -AB , BF ipsi per AE , EZ. Si igitur dux, etc. riPOTASlS ac Ju'o iff mi fa. t;7ro avTur Alls >ap iTr'tTTifat TTapaA^iiAst TO. AB , FA cu ToD EZHQ Ti Si auTuv -rcfj.au ifruntv . * EZ , H' O'T/ 7rapaA>,Xo? SITT/I' si EZ TM H0. E/ 7/ap yUM , ix.a AXofAU a.i l tu EZ , H , MT ITT/ Ta Z , [*ifti } s^-/ T E 3 H j- if 557} raZ, OjUs'w, a ( PROPOSITIO XVI. Si duo plana parallela a piano aliquo secentur, communes ipsorum sectioncs parallels suul. Duo enim plana parallela AB , FA a piano EZH secenlur, communes autem ipsorum sec- lioues siut ipsa; EZ , H'i> j dico parallelam csse EZ ipsi H0. Si enim non , products EZ, H0, vel ad paries Z, 0, vel ad E, H convenient. ProJucanlur ul ad partes Z, 0, et conveniant prunutn in K. droites AE , EZ; la droite BH est done perpendiculaire a chacun des plans des droites AB, BF, AE, EZ. Mais les plans auxquels une mcme droite est per- pendiculaire sont paralleles entre eux ( 1.4. ii)> ^ e P' an ^ es droites AB, BF est done parallele a celui des droites AE ; EZ. Done, etc. PROPOSITION XVI. Si deux plans paralleles sont coupes par un plan quelconque, leurs com- munes sections sont paralleles. Car que les plans paralleles AB , FA soient coupes par un plan EZH , et que leurs communes sections soient EZ , H0; je dis que EZ est parallele a K. Car que cela ne soil point; prolongeous les droites EZ, H ; ces droites se ren- contreioat ou du cote des points z ? , ou du cote des points E, H. Prolongeoiis LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 35 T(TUHTO.V TrpoVspox 1 xa.ro. TO K. Kct} ITTH ii EZK tv Et quoniam ipsa EZK in AB cst piano , et omnia TW AB lap wOvcu a.\ AB , FA uwo TrapaAAtfAw? tvmifuv TUV H0 , KA , MN TSyUnVflfflrac xctra TO. A, E, B, F, Z, A tmiJitia.' As>w or/ ea-r/c ut AE eyfle^t wpcs rnv EB 6WTf FZ Trpcj Tr.v ZA. Si duoe recta; a parallels planis scccntur, in eadcm ratione secabuntur. Duoe enim reels AB, TA a parallelis planis H0, KA , MN sccentur hi puuctis A, E, B, r, Z, A; dice esse ut recta AE ad EB ita ipsam TZ ad ZA. M AA TO KA Trtf'ou TOU EBA3 (Jio.1 0,1 E 3 BA 7 AT , BA, AA } xa.ra TO S .1 ES , SZ. a KA, MN , a.} KOIVO.} O.UTUV TO- /f/. A;ct Jungantur enim ipsa; AT, BA, AA, el occurrat AA piano KA in puncto 2 , ct Jungantur ipsae EE, HZ. Et quoniam duo plana parallela KA , MN a piano EBAH secanlur, communes ipsorum sectioucs ES , BA parallel* sunt. Proptcr cadcm PROPOSITION XVII. Si deux droites sout coupces par des plans parallelcs, elles seront coupees en meine raison. Queles deux droites AB, TA soieut coupees par les plans paralleles H0, KA, MN aux points A, E, B, r, z,A;jedis que AE est a EB comme rz est a ZA. Car joignons Ar , BA , AA , et qne la droite AA rencontre le plan KA au point s, et joignons EH , HZ. Puisque les deux plans paralleles KA, MN sont coupes par le plan EBAS:, leurs sections communes EH ; BA sont paralleles (16. 1 1 ). Par J LE ONZIEME LIVRE DES TO. H, KA ttl ' . Ka< e:rs VTTO \7ri7nfov TOO' AHZF //a) ? AE srpsj Tf 3 EB cvrwf n A3 wfiof THI^ HA. list//? STU TpiyuYCu TOU AAF ?rapi ^'ar TWC wAs-jpMj' TV AF fw9e? y.ra/ HZ , acaAe^oc seTjr 5 as AH wps? Tii^ 6 HA C^TU; H TZ ^po; TiSc' ZA. E >] ZH. K) in piano AE ipsa ZH. Et quoniam AB ad sub- AB ?rpof TO LTTOxiifAtvov f7ri7Ti/Pt>t> op9t) jectum planum perpendicularis est, ct ad oin- \Tf nes igitur rectas conlingcntes ipsam, et exis- tiiictf xa Gutr&i; t TW sirr;c M AB' &KTTS apa U770 ABZ VTTO HZB op9n'" wapaAAHXo; apa ZH. H (Js AB Tlj) lITTOKtl^-Vl ttcti n HZ apa p9a? SITT/. Ka; STT/TT iTTiTTtfa opflw tente's in subjecto piano perpendicularis est AB; Tiic TE opSi! If riv' quare et ipsa ad FE perpendicularis est ; angulus igitur ABZ rectus est. Est autem et ipse HZB rectus; parallela igitur est AB ipsi ZH. Ipsa autem AB subjecto piano ad rectos esl ; et ipsa HZ igitur subjecto piano ad rectos est. Et planum ad planum rectum est, qnando com- i KCU "* M AB TI? TTfGS CfSclf rpoc opflo'i' SO-T/C, orav ctt T HO/I'M TO/XH TW \7ti7riPuiv muni scctioni planorum ad rectos ductse rectB ,,,, in uno planorum reliquo piano ad rectos sunt, Car nienons le plan AE par la droite AB, et qnela droite TE soit la commune section du plan AE et du plan inferieur ; dans la droite TE prenons im point quel- conque Z; de ce point z et dans le plan AE menons la droite ZH perpendiculaire a la droite TE. Puisque la droite AB est perpendiculaire au plan iuferieur, cette tlroiie AB sera perpendiculaire a toutes les droites qui la rencontrent et qui sont dans ce plan ( def. 5. n ); la droite AB est done perpendiculaire a la droite TE; Tangle ABZ est done droit. Mais Tangle H ZB est droit aussi ; AB est done parallele a ZH ( 28. i ). Mais AB est perpendiculaire au plan 'inferieur ; HZ est done perpendiculaire au plan inferieur (8. 1 1 ). Mais un plan est perpendiculaire a un plan , lorsque les droites menees dans Tun de ces plans sont perpeudicu- LE ONZIEME L1VRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 3g Z iTTiwtfa wfos op6*ta ttrru BA' As^ w CT< ' BA T^ VTroKtifjiit>u fj.\v TV AB s TTO TOV A &j ry AA wQiia, 5Tfo; sit BA; dico BA subjecto piano ad rectos esse. Non enim , et ducatur a puncto A in piano quidcin AB rectx AA ad rectos ipsa A , in Jaires a leur commune fiection et a Pautre plan (def. 4- Jt )> et l' n a dcmontre que la drone znmenee dans le plan AE perpendiculairement a la droite FE, cora- muue section des plans, estaussi perpendiculaire au plan inferieur; le plan AE est done perpendiculaire au plan inferieur. Nous demoutrerons semblablement que tous les autres plans qui passeut par la droile AB sont aussi perpendiculaircs au plan inferieur. Done si, etc. PROPOSITION XIX. Si deux plans qui se coupent muiuellement sont perpendiculaires a un plan , leur commune section sera aussi perpendiculaire a ce plan. Que deux plans AB, Br soieut perpendiculaires a un plan inferieur , et que leur commune section soit BA; je dis que la droile BA est perpendiculaire au plan iuferieur. Car que cela ne soit pas; du point A menons dans le plan AB la droite AE peipendiculaire a la droile AA (ii.i ), et du meme point et dans le plan EF 4o LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. j, AE, \V Si 1 T Br J) AZ. K S7T8* TO AB t TH FA oV Oflov t0T< TO AA ?rpof cpfla? ec AE ptt cp O/JLoiui; fit TO AB TO LT/ x AZ O.7TO TOtJ CtUTej ; piano autem BF ipsi TA ad rectos ipsa AZ. ; Et quoniam planum AB rectum est ad sub- i" jectum, et communi ipsorum seclioni AA ad A- rectos in piano AB ducta est AE ; ergo AE perpendicularis est ad subjectum planum. Simi- ; liter utique demonstrabimus et AZ perpendi- : cularcm esse ad subjectum planuin; ergo ab E ev/j.tiou TOV A fy vvoatif^iru l-miriSty fuo w- eodem punclo A subjecto piano dua? rectae ad rectos constitutae sunt ex eadem parte , quod est impossibile ; non igitur subjecto piano a puncto A constituentur ad rectos , praeler ipsam AB communem sectionem planorum AB , Br. o? cpa? a.i'ttTTctfjitva.1 tiv TT TO. , o?rep IfTtv ifruvd-rw* ovz afct TU ' 'A \ . ^ tTTITrtOU CtTTO TOV A fHfA'tlOU fffof opfla; 2 , wAc Tf AB AB , BF s77/7rtr&ii'. i vou E ffHfjuivu fia.%&t'i'ffx H BEF TfJUCtTO) TU.S AB , Ar eifle/rtf xa.ro. ra. B, T ' J-C/ apct I/TTC AAF triv i AA TW ELEMENTS D'EUCLIDE. ducta BEP secet rcctas AB, Ar in B, r punch's, et jungantur ipsae AB, Ar. Et quoniam acqualis cst AA ipsi AE, communis autcm AB , duoc igi- tur AA, AB duabus AE , AB aequales , ct an- gulus AAB angulo BAE aequalis ; basis igitur AB basi ^E est xqualis. Et quoniam duas AB , AT ipsa BF majorcs sunt , ex quibus AB ipsi BE ostensa est aequalis ; reliqua igitur Ar reli- qua ET major est. Et quoniam a:qualis est AA ipsi AE, communis autem AT, ct basis AT basi Er major est; angulus igitur AAT angulo T>if VTTO EAF (Mi$t !! angulo BAT majores sunt. Similiter utique de- f4iv OTI ita.} a.i XOITTO.} ffui'f'vo XctfjiSait'CfJitveti monstrabimus etreliquos duos quoslibet sumptos Tf Ao/TMf [/.iifyt'tf iiiriv. rebquo majores essc. Eac aifct crtfta., x< ra. t^tif. Si igitur, etc. les droitcs AB , AF aux poiuis B , r, et joignons AB , AF. Paisque AA est egal h AE , et que la droite AB est commune, les deux droites AA, AB sont egales aux deux droites AE, AB; mais Tangle AAB est egal a Tangle BAE; la base AB esi done egale a la base BE ( 4. 1 ) Et puisque les deux droites AB, At sont plus grandes que la droile BF, et qu'ou a dcmontre que la droite AB est egale a la droite BE, la droite restante AF sera plus grande que la droite restaute EF. Et puisque la droile AA est egale k la droite AE, que la droite AF est commune , et que la base AF est plus grande que la base EF, Tangle AAF sera plus grand que Tangle EAF (a5. i ). Mais on a demonlre que Tangle AAB est egal a Tangle BAE ; les angles AAB , AAF sont done plus grands que Tangle BAF. Si Ton prend deux autres angles quelconques, nous deinoiitrcronsscmblablcmenl qu'ils sont plus grands que Tangle rcstant. Donc ; etc. LE ONZIEME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. 43 n P O T A 2 I 2 V.OL. ffTffitt, yuVIO, t/770 XcUTFOtUV ' CfftuV yUVIUV ITTITri^UV 7rtplt%tT&t. ntptx ytnvia. Trpo; T&> A ?nfti%o- t/Tro tTrtTT^eav ytaviuv , TUV UTTO BAF , FAA, AAB' *.iyu on a.1 UTTO BAF , FA A , AAB TesW- pwc offlwy ihas-erevif tiny. A B w yap 1$ niimit tuv AB, AF , AA vAfj.'iia. To. B , F , A , ncti iTfi^iu-^UTa.v at BF , FA, AB. Ka ITTI} ffTtpia, yuvitt Tfflf T$ B VTTO rpiuv yuvicav \7rm(S'u>v Trtfii^iTan -ruv VTTO FBA, ABA, FBA , tf ii. AAAci al TftTf a.! VTTO TEA , tres anguli FBA, BFA, TAB duobus rectis acqua- BFA, FAB JWiv cpQ*7s iffui tiffif a.1 upa. if 3 les sunt; sex igitur anguli FBA ; ABA, BFA, al vTio TEA, ABA, BfA , AFA , FAA , AAB fut ip6u>v fAtifyfif tin. Kai Inn ir.a.'nQv TUV ABF, AFA , AAB rpiyuviav a.1 Tft7$ ytavini fruiriv opBatis iVct/ iliriv, a.1 ctfn T>V rp;wf Tpiyuveav \vvka. yu- victi a'tuTTo FBA, AFB , BAF , AFA , AAF , FAA, AAB, ABA, BAA 1% opfia'is 'text e/Vic, Zsv at vvo ABF, BFA, AFA, FAA, AAB , ABA 6^761- vitzt fvo ipflwv tlfi fJitl^one^' &OI7TUI apa. ail 1/770 BAF , FAA , AAB rpt7s ywittr irtpii%pvfu.i Ttiy 1 ytavia.v rstrirafttc opflay ' fi.Tta.s-a. apa , xa.} TO. ef ATA , TAA , AAB duobus reclis majores sutit. Et quoniam uniuscujusque triangulorum ABr, ATA , AAB trcs anguli duobus rectis aequa- les sunt , ergo trium triangulorum novem anguli TEA, AFB, BAF, ATA, AAF , TAA , AAB , ABA, BAA sex rectis aequalcs sunt, ex quibus anguli ABT, BTA , ATA, FAA , AAB, ABA sex anguli duobus rectis sunt majores j reliqui igilur BAT, TAA, AAB tres anguli con- tinenlcs solidum angulum quatuor rectis mi- nores sunt. Omnis igitur, etc. BFA , AFA, FAA, AAB sotit done plus grands que les irois angles TEA, BFA, FAB. Mais les trois angles FBA, BFA, FAB sont egaux a deux droits ( 52. i) ; les six angles FBA, ABA, BFA, AFA,FAA, AAB sont done plus grands que deux droits. Et puisque les trois angles de chacun des triangles ABF, AFA, AAB sont egaux a deux droits, les neuf angles FBA , AFB, BAF, AFA, AAF, FAA, AAB, ABA, BAA de ces trois triangles sont egaux a six angles droits; maisles six angles ABF, BFA, AFAj FAA, AAB, ABA sont plus grands que deux droits; les angles res- tauls BAF, FAA , AAB qui coiBprenent Tangle solide sont done plus petits que quatre angles droit-Si Done , etc, LE ONZIEME L1VRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. FIPOTASIS *C. PROPOSITIO XXII. tx TWV v c'0//*i'a/, at /J.MV UTTO ABr, AEZ sumpli , anguli quidcm ABr, AEZ angulo HK Tijf UTTO H0K , at P VTTO AEZ , H0K Ti7f anguli vero AEZ , H0K angulo ABr , et adhuc owo ABr, no} \TI a.1 VTTO H0K , ABr T; VTTO anguli H0K , ABr angulo AEZ , et sint AEZ, x.a} "s-a.v 'iffm a.1 AB, Br, AE, EZ, H0, aequales AB , Br , AE , EZ , H0 , K reclx 6K tuSi7o.i , no.} i7TtQvx.8a a.1 Ar , A2 , HK- et jungantur ipsae AT , AZ , HK ; dico pos- er/ fvr*70t iffTir tK T!' KTOIV T?S Ar , sibile esse ex aequalibus ipsis AT, AZ , HK trian- PROPOSITION XXII. Si 1'on a trois angles plans, si deux de ces angles, de quelque mamere qu'on les prene, sont plus grands que Tangle restant, et si ces angles sont compris par des droites egales, on pourra consiruire un triangle avec les droites qui joi- gnent ces droites egales. Soientles trois angles plans ABF , AEZ , H0K; que deux de ces angles , de quelque maniere qu'cu les prene, soient plus grands que Tangle restaut, c'est-a-dire que les deux angles ABr, AEZ soient plus grands que Tangle HOK, que les deux angles AEZ , HeK soient plus grands que Tangle ABF, et que les deux angles H0K , ABF soient plus grands que Tangle AEZ; que les droites AB, Br , AE, EZ, He, ex soient egales; joignons Ar ; AZ ; HK; je dis qu'on pent construire un triangle 46 LE ONZIEME LIVRE DES AZ , HK rfiyuvov ifa.-Xi)Aa;c tin , (fctvipov tni ncti TWC AT, AZ , HK I'yuv ywoiJ.ivuv fbretrtr Isnv tx ^u>v i'ruv ta.1^ AT, AZ , HK rflyuvov myrHffmr ( Ja.i. Ei a.1 AB , ips* KA, HA. Et quoniam duae AB , BT duabus Br uK AEZ (J-ilfav tirri. K* eTrei &if/a i'l UTTO H0A via.; TJ UTTO AEZ/ [MltpV pains apa. fi HA TM AZ yuu'^ov Irriv. AAAa a/ HK , KA T; KA /ttt/oci; e/V/' TTC^U aftt. at HK , KA TMf AZ fj.ii<^ofig e;V/r. Irx v Tifii; T> B E , (Mttpiv apa. */ M AF tt/BiTo. ixccTipa; TWV AZ, HK. Kai f actpoc BTI Ar yu.sfl' txctTtfatt TM AZ , HK T?f A/7Tt7f [Atitytf trri 3 , Atyca on K*} a/ AZ , Siut dati tres anguli plani ABT, AEZ, H0K, quorum duo reliquo majorcs sint quomodo-- cunque sumpti; coutincant autem ipsos acqualcs recta: AB , Br , AE , EZ , He, K , et jun- gantur ipsa; AT, AZ, HKj dico possibilc esse ex aequalibus ipsis AT , AZ , HK triangu- lum constituere , hoc est rursus duas rcliqu^ rnajores csse quomodocunque sumptas. Si qui- dem igitur rursus anguli ad puncta B , E, acqualcs sint, a?quales erunt et ipsae AT, AZ, HK , ct erunt dux rcliqua majorcs. Si autem non , sint inoequales anguli ad puncta B , E , 0, et major ipse ad B utroiibet ipsorum ad E, &; major igitur erit et recta AT utralibet ipsarum AZ , HK. Et manifcstum est ipsam AT cum altcrutra ipsarum AZ , HK reliqua majorcm esse. Dico et ipsas AZ ; HK ips4 Ar majorcs A U T R E M E N T. Solent donnes les trois angles plans ABF, AEZ, HK; que deux de ces angles , de quelque maniere qu'on les prene, soient plus grands que Tangle restant; que ces angles soient compris par les droites egales AB, Br, AE, EZ, H, K, et joignons Ar, AZ, HK ; je dis qu'on peut construire un triangle avec des droites egales aux droites Ar, AZ, HK ; c'est-a-dire que deux de ces droites, de quelque maniere qu'on les prene, sont plus grandes que la droite restante. Si les angles B, E, sont egaux , les droites AF , AZ , HK seront egales (4- * )> et deux de ces droites seront plus grandes que la droite restante. Si cela n'est point, que ces angles soient inegaux, et que Tangle ABr soil plus grand que chacun des angles E, , la droile Ar sera plus grande que chacune des droites AZ, HK ( 24. i ) ; et il est evi- dent que la droite AF avec Tune ou Tautre des droites AZ, HK sera plus grande que la droite restante. Je dis que les droites AZ ? HK sont plus grandes que la droite Ar. LE ONZIEME LIVRE DES E"LE"MENTS D'EUCLIDE. 49 HK T? AF (MMjnt tit i. ~S.vvvf-ra.-rto Tipof TJ/ AB esse. Constituatur ad rectam AB et ad punctum ivQtit?. act] -rif Ttptf ctu-rri n/Mita ru B -ry VTTO in ea B angulo HK a:qualis ABA , et ponatur H0K yuviif. In VTTO ABA , no.} xt'irQca pip iuv uni ipsarum AB , BF, AE, EZ , H0, 8K aequalis AB , BF , AE , EZ , H , K in BA , Kcti BA , et jungantur ipsae AA , Ar. Et quoniam * v/ ** \>\/ 0.1 AA , AF, Ken ITTII AA Pant T>7 HK in lirfl't. K \7rtt a.! fit's E , e mptioif yavlai Tf UTTO ABF ^ fori eiV/y, ar vwo HK ry UTTO ABA i *! hoiTrti f Trpo; TU E yuvia. TMJ ABF /utility JT/. Ka/ JTTH v} gulo ABT major est. Et quoniam dure AB, BT KO.} duabus AE, EZ aequales sunt utraque utrique , et angulus AEZ angulo ABF major est ; basis igitur AZ basi Ar major est. JEqualis autera Sur la droite AB et au point B de cette droite construisons I'angle ABA egal a 1'angle HK (a3. i);faisous la droite BA egale k tine des droitesAB, BF, AE, EZ, H, K, et joignons les droites AA, AF. Puisque les deux droites AB, BA sont egales aux deux droites H , K , chacune a chacune , et qu'elles comprenent des angles egaux , la base AA est egale a la base HK (4. i ) Et puisque les angles E, e sont plus grands que I'angle ABF, et que Tangle HK est egal a Tangle ABA, Tangle restant E sera plus grand que Tangle ABF. Et puisque les deux droites AB, BF sont egales aux deux droites AE, EZ, chacune a chacune, et que Tangle AEZ est plus grand que Tangle ABF ; la base AZ sera plus grande que la base Ar III. 7 5o LE ONZ1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. i G . In ft tfti%8 HK rn AA' eti if a. AZ , ostensa est HK ipsi A A ; ipsae igilur AZ, HK ipsis HK TUV AA , AF /ut/ort{ e/Y/v. AMse i AA , AT AA, AT majores sunt. Sed ipsoe AA , AF ipsa AT THf AT (Mifyrit tin' woAAp a.fn a.1 AZ , HK majores sunt; mullo igitur ipsae AZ, HK ipsa AT T>if AT /Mtfyvis tin?, tuiv AT, AZ, HK cp* majorcs sunt; ipsarum AT, AZ , HKigitur rec- tvStiuv a.! Siio THJ Ac/7ri7f ftiifytif tin 7ra.tT tarum duae reliqua majores sunt quomodo- fjnTa.betflctvo[Jt:fra,i' fut'ct-rov ctpot 'urr}v 8 ix. rav cunque sumptse ; possibile igitur cst ex aequa- JVwc -raff AT, AZ, HK Tfiyavov ffurrturaurQxi, libus ipsis AT, AZ, HK triangulum constitui. n ' c cpSwv EAaa'trot'cc? ABF , AEZ, H0K , we */ tevurttv 0.1 ex TWV JVwc Ta7f JwJ ABF , AEZ , HGK JUVI&P PROPOSITIO XXIII. Ex tribus angulis planis, quorum duo reliquo rcliquo majores sunt quomodocunque sumpli , solidum angulum constituere ; oportet utique tres angulos quatuor rectis minorcs esse. Sint dati tres anguli plani ABF^ AEZ, H0K, quorum duo reliquo majores sint quomodo- cunque sumpli, adhuc autem tres anguli qua- tuor rectis minores ; oportet utique ex sequalibus ipsis ABr, AEZ, H0K solidum angulum coa- stituere. Avtf Af AMW ii I'ITO? ray AMN rpiyurov , 'nil f w etUTcy , ti til-res. AMN, et snmatur ipsius centrum; erit ulique -rSiv vteu- vel intra AMN triangulum, vel in uno laterum 'P sius > vel extra. ct; etrrw TO S, a; A3, MS, NS' AB flti^ur \ap / 'writ >i AB TiT AH , iXttTTMf^ EITTM T iVn. K*) e7r;i /TH sarif H AB TM A3, fMf AB 7ti BrtTTJC IW M A3 apa T? Br e V 2 . H preuons le centre dc ce cercle, le centre de ce cercle sera ou en dedans du triangle AMN oti sur un de ses cotes, cm hors- de ce triangle. Qr.e le centre du cercle soit d'abord en dedans du triangle; et que son centre soit le points; joignons A3, MS, NS; je dis que AB est plus grand que AS. Car si cela n'est point, la droile AB sera egale a la droite A3 ou plus petite que celte droite. Que la droite AB soit d'abord egale a AS. Puisque AS est egal a AS, et que AB est e^ul a Br ? la droiic AS est egale a BF. Mais AS est egal a SM ; les deux droites AB, LE ONZIEME LIVRE DES Tet?f AH, HM tf.i tlftr txetTip* /8ar/t Tp/r) Tct7? UTTO AHM , MHN , NHA tifir tff*l 5 . AXA* a< TpsT? a< UTTO AHM , MHN , K3A TtTfatTlv c.f.Qa.7; tlciv 1W( 6 ' ^a< < rpsTs <*p *' ^""9 ABF, AEZ, H0K vx apst AB TiT AH.J'aT) tor/ 8 . A*V J")) 9 or/ * AB T AH. E/>ttp JWTS? fiVAB/VHMHOjTwJ's BF 5'i s>v tfTiv. ETTII ovv o f^flsTtt/ 1 ^ / AB, BT uci ra/c OH, HI! ;V), xa/ /2aV;j ' AF Ga; TMJ Oil (jL ttni' "}at'ict apst ii uwo ABF OHO jj-tt^uv lt>riv, Oaoiag 7 SM XO/CM communis autem et ad rectos os opflaj SP- &*' *N ajquales inter se sunt. Et quoniam quo ' i TO TTO Tf AB TOU a7ro TH? A3, tttiivu ifoy majus est quadratum ex AB quadrato ex AE , TO awo T5 HP' TO apa (i^-o T? AB 1'uic a;quale supponitur quadratum ex HP; qua- uv AS, HP. Tc/ ap SP. Quadratis autem ex AE , SP aequale est qua- i) U7T5 ASP' TO a.f<*. oVo TTs AB iVoc 3T< TIB dratum ex AP, rectus enim ipse AHP;quadratunj PA' JVx ap* AB TJ PA. AAAa TIT igitur ex AB sequale est quadrato ex FA ; ajqualis Puisque la droite PH est perpendiculairg au plan du cercle AMM, la droite PS sera perpendiculaire k chacune dcs droiles AS, MS, NH ( def. 3. 1 1 ). Et puisque AH est egal a HM , que la droite HP est commune , et qu'elle est perpendiculaire a ces deux droiles, la base PA est egale a la base PM (4. i ) Par la meme raison, la droite PN est egrde a chacune des droites PA, PM; les trois dioites PA, PM, PN sont done egales cnlr'elles. Et puisque le quarre de HP est suppose egalal'exces du quarre de AB sur le quarre de AH, le quarre de AB est done egal aux quarres des droites AH, HP. Mais le quarre de AP est egal aux quarres des droites AS, SP (47- * ), car 1'angle ASP est droit; le quarre de AB est done egal au quarre de PA; la droite AB est done egale a la droile PA. Mais chacune des 56 LE ONZIEME LlVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. pXv AB In \rrw lxaV PA, PM, PN Jro /. Ki isrii PN ; unaqua:que igitur ipsarum AB, Br, AE , / AP, PM H0K,solidus angulus truviina.ra.1 Trpo? T^ P vifit%ofj.iv inro ruv coustitutus est ad P contcntus sub AFM, MPN, APM, MPN, APN }urtSr. O^f Ai _s \ Aa TO S , x sVe^eo^fla) HA' OT/ fjui&y lirm AB TK A3. E/ >ap /*H , HTO/ JV tOTfC II AB T A3 , H tATT&)C. EffTU irpc'Tepop !Vr TV AS. otyJs e^etTTar , woXAp ^.ap TO v H aifct AB ( ut;'5f ff-T< Tf A3. Ka la-ri TO CCTTC TiTf AB TOO Tf A3, xecp To-Of 77-pof cpfla'f TW TOW \ > % ( tar 9-Tet6'Trow, xa ?5-r TO 3, xa< %tv%Qu iKtrif*, **} P*r< ( >, AF tdni et b is Arbasi MA est *1 lis ' an 8 ulus 'S' 1 " i* apa ^TTO ABF yuvia, ABr an g ul MA est ^q 1131 ' 8 ' p rP tcr cadem utique et angulus H0K angulo ASN est aequalis; H8K T OTTO ASN i H0K an S ul AEZ majores sunt ; ; 3) i/Vc ABF, HK Tf JTTO AEZ /xs/'^o- TM MA TH JTTO MSA V>l tfT/. A/a ret awra AB T BF, XCt) feu'^flw On. ITU t*TJ fca* OA AOITJ-W Til (I AM Tl? FIG , KCtl IFOjai'lCV TO AM3 Tp<- I1SO Tp/JteC^!' irT/C etfet U( HA Tile AM owT&ij 36 M SO vpo; TC Of] , xa) f AS wpo{ TC SO ov-ru; H AM Trpcf TMC OH. Me/^wc v iff-riv. O/^o/w? /" Tf SP iffnv txstTeptt Twy SO, Sn ELEMENTS D'EUCLIDE. 69 si ad rectos circuli piano constituamus rursus SP, et aequalem ipsam ponamus lateri quadrati quo superat ipsum ex AB ipsum ex AE , consti- tueturproblema. Dico et neque minorem esse AB ipsa AE. Si enim possibile , sit; et ponatnr ipsi quidem AB sequalis SO , ipsi rero Bf a?qualis EM , et jungalur ipsa on. Et quoniam aequalis est AB ipsi BT, aequalis est et EO ipsi EH; quare et reliqua OA reliqua; nM est xqualisj parallela igitur est AM ipsi no , et aequiaii- gulum AEM triangulum ipsi IIEO triangulo; est igitur ut EA ad AM ita HO ad On, et alterue ut AS ad EO ita AM ad On. Major autem AE ipsa EO ; major igitur et AM ipsa on. Sed AM ipsi AT est ajqualis; et igitur AT ipsa on est major. Quoniam igitur duac AB , BF duabus OE , Efl aequales sunt utraque ulrique , et basis AT basi on major est; angulus igilur ABF augulo OSII major est. Similiter utique et si EP xqualcm utrique ipsarum SO, En sumamus , et jungamus ctilaire au plan du cercle, et si nous faisons cette perpendiculaire egale a une droite dont le quarre soit egal a 1'exces du quarre de AB sur le quarre de AS ( lem. suiv.), le problerae sera resolu. Je dis que la droite AB n'est pas plus petite que AS. Qu'elle le soit, si cela est possible; faisons so egal a AB, et sn egal a BF et joignons on. Puisque AB est egal a Br, la droite so sera egale a la droite sn; la dfoite restante OA sera done egale a la droite restante nM; la droite AM est done parallele a la droite no (2. 6 ); les deux triangles AMS, nso sont done equiangles ; SA est done a AM comoie so est a on ( 4. 6 ); done , par permuta- tion , AS est a so comme AM est a on. Mais AS est plus grand que so; done AM est plus grand que on. Mais AM est egal a AF ; done FA est plus grand que on. Et puisque les deux droites AB , Br sonl egale* aux deux droites os, sn , chacune a chacune, et que la base AF est plus grande que la base on , Fangle ABF est phis grand que Tangle son ( 26. i ). Si Ton prend la droite SP egale a chacuue des droiies so, sn, et si 1'on joint OP, nous deraontrerons semblablement quel'augle Co LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. , xi ew/^^wjuec TP OP , fti%c[jitv en ifsam OP , dcmonstrabimus et angulum HK gulo OEP majorem essc. Constituatur ad rec- tam AE et ad punctual in ipsa " angulo quidem ABT a?qualis AEZ , augulo autem 0HK aequalis xa; 38 n VTTO H0K -yuvi* TVS vvl OSP \ asis igitur AF, hoc est AM, basi OS est TH. A;a TO. a.ina. (jLti^ot tfri TO a7ro Tiff AB Quo autem modo quo majus est quadratum y O.TIO Tf AS Ixtivtp iVoc Ast&It' *mr; ri aTT-o ex AB quam quadratum ex AS , huic sequale if SP , JWjuec ovTUf, sumere sit quadratum ex 2P, ita ostendemus. ExutieQua'&r al AB , AS tuBi'tai , HO.I trra Exponanlur reclae AB , AS, et sit major AB, r AB, K i ^ >p a ? 8 !' 5 T /*/^'- et describatur ab ips i scm i c ; r culus ABF, et in TO ABF, xa.} tie TO ABF tlutKVX^lOV . . . . . , ^ , y semicirculo ABr aptetur ipsi AS non minori fvxpjuoirflw TH AS ^iH fJ-'ti^ovt outry Tf AB fl y Ar 1 x* BF. cxistenti diametri AB sequalis recta AT, et jun- gatur ipsa Br. ( 24. i ). Mais MN esl egal a AZ ; AZ est done plus grand que ST. Et puisque les deux droites AE> EZ sont egales aux deux droites 2s, ST, et que la base AZ est plus grandeque la baseST, Tangle AEZ sera plus grand que Tangle SST (a5. i). Mais Taogle SST est egal aux angles ABF, HGK; Tangle AEZ est done plus grand que les angles ABr, H0K; ruais il est plus petit; ce qui est impossible. L E M M E. Nous demontrerons ainsi comment Ton trouve un quarre d'une droite SP egal a Texces du quarre de AB sur le quarre de AS. Solent les droites AB, AS; que AB soil la plus grande, et sur cette droite de- crivons le demi-cercle ABF, et appliquons dans le demi-cercle ABr one droite Ar qui, n'etant pas plus grande quele diametre AB ; soit egale a la droite AS, et joi- gnous Br. \ 62 LE ONZ1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. ETTII oZt> tv ti/j.iuvK^lu r> ABF ytat'ut l le quarre de AB surpasse done le quarre de AF du quarre de FB. Mais AF est egal a AS ; le quarre de AB surpasse done le quarre de AH du quarre de FB; si done nous faisous la droite HP egale a la droite FB, le quarre de la droite AB surpassera le quarre de la droite AH du quarre de la droite HP, ce que nous TOU- lious LE ONZ-IEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 63 FIPOTA2I2 PROPOSITIO XXIV. *? trrtfiov vtro TTeepaAAitAap e jj-j.. Si solidum sub parallelis planis contineatur, I/TO. opposita ipsius plana et sequalia et parallelo- gramma sunt. Solidum enim TAQH sub parallelis planis Tt xa) 7rap*AAiiAo'jpa///x,a ts-r'r, v ya.f TO FAH V7T3 wipie^ecSa ray AF, HZ, A0, AZ , contineatur ipsis AT, HZ, A0, AZ , BZ , AE j BZ, AE' Ai>&> on TO. a.Trtva.vriov O.VTOV ITT- dico opposita ipsius plana et zequalia et pa-. rallelogramma esse. A ^ H TE roi BH, Quoniam cnim duo plana parallela BH, FE v AF Ttfj.vtra.1 , i xo/i'ti a piano AT secantur , communes ipsorum scc- tAAAof tiones parallela; suntj parallela igitur est AB tl AB TW AF. nA/K, mil fvo Ivi- ipsi Ar - Rursus, quoniam duo plana parallela Trifct TTctpaAAnAa TO. BZ > AE UTTO lirmif'ou TOW B Z, AE a piano Ar secantur, communes ipsorum AF V*JUCITI , i Kticai etuTwi' To//ai wapaA- secliones parallels; sunt; parallela igilur est Br AAoi tis-r TrapctAAnAsf pa I ArZ JVv eoT/. Ka/ ZH TfTyuy6&) 7rapttXAAa> OCT/ TO?? e-r/Tre/'o/f TO?? PA , A0* a; AEZ4> ^aV/f Trpcf TH? EQPZ i/TWf TO ABZT ffTiftoy 7rpc( TO EHFA erificr. OT* \ tx V V V \ \ K n A P E T e A M n N x \ \ \ \ ~\i % PROPOSITIO XXV. Si solidum parallelepipedum a piano secetnr parallelo exislente oppositis planis , erit ut basis ad basim iU solidum ad solidum. Solidum eilim parallelepipedum ABrA a piano ZH secetur parallelo existente oppositis planis FA , A0j dico esse ut basis AEZ* ad basim E0FZ ita ABZT solidum ad EHPA solidum. H o Ey.St=xMa> j-ap A iq> IxxTtfet ry. f*.tf* t Prodncatur enim A ex utraquc parte , xai xitiQaiFitv T? p.\y AE Tcra/ oo-aKTHTroToyc etc. PROPOSITION XXV. Si un parallelepipede est coupe par un plan parallele a des plans opposes, la base sera a la base comme un solide est a un solide. Que le parallelepipede ABPA soil coupe par un plan ZH parallele aux plans op- poses PA , Ae ; je dis que la base AEZ est a la base EPZ comme le solide ABZT est au solide EHPA. Car prolongeons de part et d'autre la droite A , prenons autant de droites III. 9 66 LE ONZ1EME L1VRE DES AK, KA, Ty ft E 'i, X, MS jrctpctX^MXtypci/AfAci , < Tee All , KP , AM, MT frtpttt. Ka/ i?re< law tiViAe;<:* a.TTtvttvci(iy ya.p. A*a Ta aura MT solida. Et quoniam aequalcs sunt AK, KA, AE rectoe inter se, oequalia sunt et quidem AO, K* ; AZ parallelogramma inter se, ipsa vero KE , KB, AH inter se , et adhuc ipsa A*, KFI , AP inter sej opposita enim. Propter eademutique et EP, X , MS parallelogramma requalia sunt quidem inter se , ipsa vero H^ I , IN xqualia sunt inler se, et adhuc ipsa A, Mf2, NT; tria Jgitur plana solidorum An, KP, AT tribus planis sunt aequalia. Sed tria tribus oppositis V [\ \ \ N^ \ \ * II P 1 A n. K A E , AZ seront egaux entr'eux ainsi que les parallelogrammes KH, KB, AH (58. i) ; les parallelo- grammes Af, Kn, AP seront aussi egaux entr'eux ( 24. 1 1 ), parce que ces paral- lelogrammes soul opposes. Les parallelogrammes Er, x, MS sont egaux entr'eux par la meme raison , ainsi que les parallelogrammes en, i, IN, ct les parallelo- gramraes A, Mn, NT; trois plans des solides An, KP, AY sont done egaux a trois plans. Mais ces trois plans sont egaux aux trois plans opposes; les trois paralle- lepipedes An, KP, AY sont done egaux entr'eux ( def. 10. u ). Les trois paralle- lepipedes EA, AM ; MT sont egaux entr'eux , par la meme raison; la base AZ est LE ONZIEME LIVRE DES ;3ccV;? THf AZ fidatuf T0fttina.7r^a.fiov Itrn xcti TO AT avtptov TOU AY rriptov. A;a TO, HI/TO. <5Yi oa-a.7rha.riuv I STIC NZ /Sa'sv? THJ Z8 $a- ffeaj TOfrctuTaTrAfltflvoV esr/ */ TO NT orepeoc TBV T a-Tspsot;. Ka/ eJ JV Iffrji' AZ /3aV/; TT NZ /3tt(J-U JVoi' S e/ uTrsps'^s; M AZ fia.i%tt AZ @u,ns TM? NZ xa.} TO AT oTseop Tot; NT s / uei' ficLffiuv tuv AZ, Z , AT, T9 , ti^HTr-rni itra.xts tsc AZ $aVe&>? xa TOW AT a) TO AT (rrspeoc , THS ij , iiTt NZ -rt f H AZ )Sair;f ?rpcf TH^ Z0 TO AT fTiftOV TTfOf TO T O/Tep CLEMENTS D'EUCLIDE. 67 totuplex cst et AT solidum solidi AY. Propter eadcm utique quoluplex cst basis NZ ipsius Z0 basis totuplex est ct solidum NY solidi 0Y. Et si acqualis est basis AZ basi NZ aequale est et solidtim AY solido NY , et si superat basis AZ basim NZ superat et solidum AY solidum NY f et si minor , minus j qualuor igitur existentibus magnitudinibus , duabus quidem basibus AZ , ZQ , duobus vero solidis AY, Y0, sumpta sunt scqualiter multiplicia basis quidem AZ et solidi AY , et basis AZ et solidum AY, basis vero 0Z et solidi QY , et basis NZ et solidum NY et demonstratum est si superat basis AZ basim NZ , superare et solidum AY solidum NY ; et si aequalis , asquale, et si deficit, dcficere; est igitur ut AZ basis ad basim Z0 ita AY solidum ad solidum Y0. Quod oportebat ostendere. done le raeme multiple de la base AZ, que le parallelepipede AT Test dii paral- lelepipede AT. Par la meme raisonla base NZ est le meme multiple de la base ze que le parallelepipede NT 1'esl du parallelepipede T. Si done la base AZ estegale a la baseNZ, le parallel! pi pede AT sera egal au parallelipipedeNT; si la base AZ surpassela base NZ, le parallelepipede AT surpassera le parallelepipede NT, et si la base AZ est plus petite que la base NZ, le parallelepipede AT sera plus petit qne le parallelepipede IT. Ayant done qtiaire grandeurs, les deux bases AZ, Z0 et les deux parallelepipedes AT, T0, et Ton a pris des equimultiples de la base AZ et du parallelepipede AT, savoir, la base AZ et le parallelepipede AT; on a pris aussi des equimultiples de la base z et du parallelepipede T, savoir, la base NZ et le parallelepipede NT ; et Ton a demontre que si la base AZ surpasse la base NZ , le parallelepipede AT surpasse le parallelepipede NT; que si la base AZ est egale a la base NZ , le parallelepipede AT est egal au parrallelepipede NT , et que si la base AZ est plus petite que la base NZ, le parallelepipede AT est plus petit que le parallelepipede NT ; la base AZ est done a la base z comme le paral- lelepipede AT*" est au parallelepipede T ( def. 6. 5). Ce qu'il f alia it demontrer. 68 LE ONZIEME LIVRE DES E"LE"MENTS D'EUCLIDE. IIPOTAZIS x<~. tn feQitay wStiai xa.} TW TTpo; TH fofttiffn fnfiS, jcatitf. 'isnv yuvictv svimta'a.fQa.i. Effru yusc S*cQi7) 2 rtifjLt7cv TO A , H Af , EAZ , ZAF -}WMV i57-;srtJW - ' A TO EA , 2, AH } ry TTfcif auTM (m/&> TW A T 7rp yavict'mv G~riptctv yuv'mv evrrn TJ AZ TI/J TCI; Z ITT) TO

<* xdQtTo; n ZHj cnti lo H, !i) \7 (nt'ii A /3aiT6/ TH AZ JV eaT/V. Ear/ fj,tv ra.f KA, A, HF , ZF , eTre) O^M UTTO BAA oAi) TM UTTO EAF etrTfc JV , ftic ^c, BAK TH J^-o EAH 1/770- y i tf ' * \ 'vn Ktna.1 K?"'!' AO/7TM a^St il VTTO KAA AO/TTJI TH i;7ro HAF lrru> 'HTM. Ka/ STe< spotty T* xai o^o/a? xiifwev simile et similitcr positum soliduin parallele- tTtptir 7rap*A*>>.*i-xi-!riht> ivaL-)fi4*i' pipedum describere. fjitf h&tTtra. wQua. AB , TO Si fcBty Sit data juidem recta AB , datum vero so- V Vvr A e s v !v z 1 \ \ A B r O Af fti f ino lidum parallelepipedum AH; oportet utique a iff foQtifftif luBttttf Tf AB Tffl foditTi (rrtpta data recta AB dato solido parallelepipedo TA TW W TA tftoior Tt KO} oftoieie ct simile et similiter positum solidum parallele rriftev srp*AAAiwr*/'o' atvttypa.-^'ett. P'pcdum describere. ZA, AF, et que la base SA est egale a la base fcr , I'angle AA sera egal a 1'angle ZAF ( 8. i ). Mais Tangle BAA est egal a Tangle EAF. Sur une droite donnee et au point A de cette droite, on a done construit un angle solide egal a un angle solide donne. Ce qu'il fallait faire. PROPOSITION XXVII. Sur une droite donnee decrire un parallelepipede semblable a un parallele- pipede doune , et semblablement place. Soit AB la droite donnee , et AF le parallelepipede donne ; il faut decrire sur la droite AB un parallelepipede semblable au parallelepipede donne Ar ; et sem- Llablement place. LE ONZ1EME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. yap Trpoj rn AB ir)ifj.tiui ru A T 5rpo KO.I rq> TW F ( EF wpof TC TH ouruf BA vpef Ttiv AK , >< Trep} J'rct? 7-wr/s T; OTTO EFH , BAK tu 7rA=upa< ivahoyiv tier,' o/ut.oiov afct Is-Tp TO HE Tra.pa.^M'hcypctfjLfjiOi' TW KB Tra.ct^n^oya./j.f^y. Aid' TO. aura TA solidum toti solido AA simile est. TO. vavrov trot, ecrr KO. HZ ^apaX- 'wri , *&} trt TO ZE T TOU FA m- TOU AA trrtpteu Tj>i A data igitur recta AB dato solido paralle- Mii-uioip Tta FA o/*o/<3c lepipedo TA et simile et similiter positum a.vayijpA'JTTiu TO AA. descriptum est ipsum AA. Quod oportebat fa- cere. semblable au parallelogramme HZ, et le parallelogramme ZE semblable au paral- lelogramme B ; trois parallelogrammes du parallelepipede FA sont done sem- sernbkbles & trois parallelogrammes du parallelepipede AA. Mais les trois pre- miers parallelogrammes sont egaux et semblables aux trois parallelogrammes opposes , et les trois derniers parallelogrammes sont aussi egaux et semblables aux trois parallelogrammes .opposes ( 24. i ) Le parallelepipede entier FA est done semblable au parallelepipede entier AA. Sur la droite donuee AB, on a done construit un parallelepipede AA sem- blable a un parallelepipede donne TA et semblableraent place. Ce qu'ij fallait faire. III. '/o 74 LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. HP OTA 2 IS x. Eav 6)7 Kara TJ fittywvttvt PROPOSITIO XXVIII. Si solidum parallelepipedum a piano secetur per diagonales oppositorum planorum , bifa- UTTO TOU riam sccabitur solidum ab ipso piano. TO AB iTriTTt- Solidum enim parallelepipedum AB a piano ftp TU FAEZ TfT/xMirfla KATO. TO.; S'tctyuviovf 1 TAEZ. secetur per diagonales FZ , AE opposi- T torum planorum ; dico bifariam sccari solidum T/jiMa-iTO.! TO AB (TTSfeor VTTO TOU AE a P Iauo rA E z - 5/ap itrov TZB rpi-)ui'ca, TO v iTriTrtar wtpit- T&J jue>sflsi' WITTS oAcf WTO ToS TAEZ tribus vero parallelogrammis HE, AT, FE sequale est prismati coatento sub duobus triaa- gulis TZB , AE0 , tribus vero parallelogrammis T0, BE, TE, namque sub aequalibus planis con- tinenturct multitudineetmagnitudine ; ergo to- tum AB solidum bifariam secatur a piano rAEZ. Quod oportebat osteadere. OPOTA2IS PROPOSITIO XXIX. UV Ta I-TT} TMJ ctiniis fixirsue ovnt impio. KOLt U7TO TO O.VTO 577; TUV ai>Twc tlinv tlTT/f. iusf TH? AB ra TM, TN UTO TO aro s~< Ti7f aura; In eadem Lasi existentia solida parallelepi- peda et eadem altitudine , quorum iasistentes ipsK in eisdem sunt rectis, aequalia inter se suut. Sint in eadem basi AB solida parallelepipeds FM , FN eadem altitudine existentia , quorum u4o; OCT*', tav o.l ItptrrSirai ; AH, AZ, AM, i n3 i st entes ipsse AH, AZ , AM, AN, FA , FE , AN, FA, FE, Be, BK \7n TUV dinar nfaf TUV ZK , AK' Asjw ST< ioc saV T& FN TO FM B0, BK in eisdem sint reclis ZN, AK j dico sequale esse FM solidum solido FN. egal au prisme compris sous les deux triangles FZB, AE@, et sous les trois paral- lelogrammes re, BE, FE, car ils sont compris sous des plans egaux ea nombre et en graadeur (def. 10. 1 1 ) ; le parallelepipede ealier AB est done coupe en deux parties egales par le plan FAEZ. Ce qu'il fallait demontrer. PROPOSITION XXIX, Les parallelepipedes qui ont la merae base el la meme hauteur, et dont les cotes sont places dans les merues droites, sont egaux entr'eux. Que les parallelepipedes FM, FN aient la meme base AB et la meme hauteur, et que les cotes AH, AZ, AM, AN, FA, FE, B0, BK soient dans les meracs droites ZN, AK; je dis que le parallelepipede FM est egal au parallelepipede FN, 76 LE ONZIEME L1VRE DES ya.f -Tra.fa.^^oyfa./J.fjiciv iimv tx.'ripov TUV F0, FK, 'urn \ffr\v FB tK&Ttpct TKV A, EK* taint zctt A r EK tSTtv 'KT. Ko/vi) a^w- p>:a-9 E' Ao;w apa o AE Ac/Tr? T? K tfTIV In)]' u>m -MI rofj.lv AEF -rpiyuvcy TU KB Tpt~ 'ITOV tirrt , TO fri AH 7rctpa.hhitXoypa.fAju.cv jMW.A/aTa aino.S'n xa.} TO Tpiyit>vit>iF mum parallclogrammo 3M a-ajiale , ipsum vero TH ipsi BN , oppositum enim ; et prisma igilur contcntum quidem sub duobus triangulis AZH, TAE , tribus vero parallelogrammis AA , AH , Hr , aequale est prismati contento quidem sub duobus angulis MAN , BK , tribus vero pa- rallelogrammis BM, N , BN. Commune appo- natur solidum, cujus basis quidem AB para!- yap' Ka} TO TrpjVjUa apa. TO 7ripn%t>[AiVOV t/7ro /JLit'6> V7TO dVO fJ.tV tov MAN , BK , T^UIV ft Tr )pd[j./jiK>ir TUV BM, N, NB. Ko/roc Car puisque chacune des figures r , rK cstun parallelogramme , la droite rfi est egale a chacune des droitesA, EK (54. i); la droite A cst done egale a la droite EK. Retranchons la partie commune E0, la droile restanle AE sera egale a la droite restante K; le triangle AEF est done egal au triangle KB (8. i ), et le parallelogramme AH egal au parallelogramme N ( 36. i ). Par la meme raison le triangle ZAH est egal au triangle MAN. Mais le parallelogramme rz est egal au paralleJogramme BM, et le parallelogramme FH egal au parallelogramme BN (a4- ' i)> car ces parallelogrammes sont opposes; le prisme conteousous les deux triangles AZH, FAE, et sous les trois parallelogrammes AA, AH, Hr est done egal au prisme contenu sous les deux triangles AMN, 6BK, et sous les trois parallelogrammes BM, N ; BN (def. 10. 1 1). Ajoutons le solide comrnun, dontune des bases est le paralle- LE ONZIEME LIVRE DES E"LE"MENTS D'EUCLIDE. 77 re, eraser, eS Parts pi* TO AB 7rapaAAAo- lelogrammum, oppositum vero HE0M ; totum (MIJ.U.CV , rtweiwT/o? Si TO HE6M' oXoc igitur FM solidum parallelepipedura toti -FN ap* TO FM .or ir*f*Kw*vjrimhv cAp ru solido parallelcpipcdo a3qualc est. rtUpafcr), ) T*Jff. In nP OTA 2 12 A'. Ta ITT) T? 'T:T; jSctVewc epr* irrspsa wapaX- 1 gilur , etc. PROPOSITIO XXX. xa.} VTTO TO > " ** "9 s - uK e/V)y ITT} TKV cturui' nbu In caJcm basi existentia solida parallelepi- P eda Ct eAdem altitudi n c > quorum ipsae insi's- JV<* lenlcs non sunt in eisdcm reclis , a-qualia intc se sunt- >ap' ITT) auT?? /3a' f TO AFBA Producanlur enim ipsaj NK , A0, et con- veuiant inter se in punclo P , et adhuc producantur ipsE ZM , HE in ipsis O , n, ct jungantur AS, AO, rn, BP. JEquale ulique est TM solidum, cujus basis quidem ATBA pa- TO CTiptw , ou rallelogrammum, opposilum vero ZA0M solido TO AFBA TrstpaAAMAcj-pa/^ju.ei' , am- TO , cujus basis quidem ATBA parallelogram- TO HnPO, tTTi Ti 7/ap THJ uTf mum, oppositurn vero snro, etenim in eadem r; T? AFBA , &>f / s(psTira< 8 0.1 sunt basi ATBA, et quorum insistenles ipsae AZ, AS, AM, AO, FA, TE, Be, BP ITT} TWC AZ, AS, AM, AO, TA, TE, B0, BP in cisdcm NO K P ainw tia-w wfaiuv ruv ZO , AP, AXAci TO FO sun * rectis ZO, AP. Scd solidum rO, cujus , ou @ciis ABFA , ^asi ABl'A, quorum iusistcutes ipsa; AH, AS, FN Car prolongeons NK , AG , et qne ces droites se renconirent au point P ; pro- longeons aussi les droiles ZM, HE versles points o, n, et joiguons AS, AO, in, BP. Le parallelepipcde TM, dont la base est le parallelogramme AFBA oppose au pa- rallelogramme ZAGM , sera egal au parallelepipedero , dont la base esl le paralle- logramme AFBA oppose au parallelogramme HFIPO ( 29. 1 1 ) , car ces deux parallelogramrncs ont la meme base ABFA , et leurs cotes AZ, AS, AM, AO, FA, rn, B0, BP soot dans les memes droiles zo, AP. Mais le parallelcpipede ro dont la base est le parallelogramme AFBA oppose an parallelogramme npo est egal au parallelcpipede FN dont la base est le parallelogramme AFBA oppose au parallelogramme HEKN ( 29. 11 ); car ces deux parallelcpipedes ont la meme base ABFA ; et leurs cotes AH ; AS, FE ; rn ; AN, AO ? BK, BP sont dans Jes LE ONZIEME LlVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 79 Zv a.1 *< 12 AH , A3 , TE , ITl , AN , TE, m, AN, AO, BK, BP in eisdem suut rectis AO , BK, BP ITT] TUV ainav iltrtv tvBtiav Tc l3 HIT, NP ; quare et solidum TM scquale esl so- Hn, NP' cairrt xa.} TO TM rrtptov i'ffov Irr} T lido TN. TN jrrtftu. T* *p I^TJ , xai TO. | f. In eadem igitur , etc. \ Aa. PROPOSITIO XXXI. KO. V7TO TO CtUTO n \ftav at/To v TU TZ Solida in aequalibtis basibus existeniia paral- lelepipeda et eadem allitudine sequalia inter se sunt. Tfflf AB, TA -Tepea Sint in asqualibus basibus AB, FA solida pa- TO. AE,rz, y-a) 1 tVo TO rallelepipeda AE, rz , et in eadem altitudine; CT/ JVoy esT/ TO AE ffTtpiov dico aequale csse solidum AE solido rz. FTiftS. M H n \ E \ K O ) \ t 5 K A \N A. 1 a \ii \ 3 \ \l \ P \ T \k 3 OJ7 , AZ, TH , PS ad rectos basibus AB', memes droites Hn, NP ; ] e parallelepidede m est done egal au parallete- pipede IN. Done, etc. PROPOSITION XXXI. Les parallelepipedes qui ont des bases egales et la meme hauteur, sont egaux entr'eux. Que les parallelepipedes AE, rz ayent des bases egales AB, TA, et la meme hauteur; je dis que le parallelepipede AE est egal auparallelcpipede rz. Que les cotes 0K ; BE, AH, AM ; on ; AZ, rs, P2 soient d'abord perpendicu- 8o LE ONZlEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. AB , TA $a7 TV ti/6iia. H PT } v.an ffwttrruTU wpc? PT , et constitualur ad rcclam FT et ad punc- TH PT sufis/a Kcti TU Trpcs avTy rn/jit'ito TU P turn in ipsa P angulo AAB sequalis ipse TPY , T VTTO AAB ywvia. JVx VTTO TPT, xa} ititaQu et ponatur ipsi quidem AA asqualis PT , ipsi TM fj.lv AA i's-H PT, T* $1 AB J't PT 3 , x* vero AB oequalis PT, et compleantur basis PX ewsj TW T ore- AE solidum parallelepipcdum toli *T solido pa- pea TapaAAitAeTr/TTSefft) i'rcv tffTt. An'^9airac / rallelepipedo asquale est. Producantur insae AP \ / > / \ ' AP , XY KCU evfj-TUTr-muxTttv aAAAa/5 XT* XT et conveniant inter se in puncto n, et per TO XI, xa/ JW T-OU T TH AH 7rapa'AAAf %Qa T ipsi An parallela ducatur Tr, et producantur TT , xa xfefA?i^&)irai' it TT XA} OA ipsa Tr et ipsa OA ei conveniant in , et com- Kiti ffvn%uj%ftaiia-a.t>'] KO.TO. TO a , xa o-u/x- plcantur O*, PI solida ; aequale igitur est *Q *v TO. n^, PI (TTtpta.' 'Iv Te TO Y*, \7ti TI yap basi P* , et in eadem altitudine , quorum ipsa; T? Aiiiiif @oc (29. 1 1), parce que ces deux parallelepipedes ont la meme base P^ et la meme hauteur, et que leurs cotes PO, PY, TT, TX, la-, 2N, ^TT, SP* sont places dans les nieuaes droites AX, 0-$, Mais le parallelepipede Y est egal au parallelepipede AE ; le paralle- lepipede tn est done egal au parallelepipede AE. Mais le paralielogramme PYXT est egal au paralielogramme OT ( 35. i ), car ces deux parallelogrammes ont la meme base PT et sont compris entre les inemes paralleles PT, nx, et le paralielo- gramme PYXT est egal au paralielogramme TA, parce que le paralielogramme PYXT III. II 82 LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. PYXT Tta FA ttrriv iffov, ITTU xct} TW AB' no.} TO flT if a. Tra.pstXhtihcjpajufjiai' rS FA iffriv i'trey. AAAo JD TO AT' \T-riv atpa. u; FA $aav? Trpo? Tc AT ouTfti? i tt Tz-pof Tf AT. K<*/ Ivii FTffiov TTapaAAjtA'TnVeiToc TO I 1 tTrt'TriS'ip Tip PZ T'IT- /U.HTO.I , Trap aAA)iA tCT< TO/V oiirivemiof ITTI- TTifois, ISTIV &)j FA jSaf Trpoj TC AT Qitriv TO FZ (TTtptOV TTfOf TO PI OTfflOf, A/a Tst T , l?re/ fTifist' TrapaAXoAiTr/VetToy TO fil TU P AT TO TZ OVT/ ilT T'flv AT ftitriv oiTcaf TO H'i' ' 2 'ij H TA jSaV/?w ojTJif AT' xa f TTfOS TO PI OTEpeCC OUTWJ TO STiptov' Tc so)' 5rpoj To'Pla'Ttptov^'ix.d.Tipoi/ apx TUV TZ, OTtf'.tav Trpo; TO PI TOC auTO)' e^e/ apa sa-T/ IJ TO TZ fTiptov TU H TO fi"^ TW AE \S~ti-^ 'ico'V KO.} TO AE apa TIM rZ eiTTIc JVov. O?rep j'-y<* v ^ lv MCTI '^ * (rT '' 7 <3ico rurSUS ae< l uale esse solidum AE solido TZ. > 8 i Ducautur cnim a punctis K , E, H, M, n, Z, , /xt/wi- l?r TO * ad subjectum planurn perpendiculares KK, < KN, ET, ET, HT, M* , nx , Z*, En , Si , et ocourrant TO AE mftotrfTZmptv iw K,E-, H,M, n, Z, H, 2 HY, M*, FIX, Z'*', Hfi, 21, xa Tunra.v ~rif tTriTitS'i? xct-ra. to. N,T,T, 4>, X, 'f', 1, I )/?, x* iTTt^HJ^eaa-ctv a.1 NT, TO, NY, T4>, X"P , Xfl , HI, *! ifov UTspeoc TO; III ffTiftS' tTr't yt yap \TUIV QOLCWV iin TUV KM, ITS a WTTO TO aura 2-vf-o?, ftiy / iQitnura.1 Trpof apQat tin T7f TO yitsf K AE trrtpiu , TO cTt ni TW TZ , JTT/ Te yap e/V; x UTTO TO au-ro o->J-of , uv a.1 tf oux. iitriv lir} ruv avrwv tvQtiiaf KO.I TO AE apy. trnp*c>v ru TZ intptS ta~riv Jo~0c. Tct apa. ITT} , KO.} T* l^?f. piano in punctis N, T, t, * , I, *, n, I, et jungantur ipsx NT, T*, NT, T* , X+, Xii, 121, *Ij aequale igitur est K* solidum solido HI; elenim in sequalibus sunt basibus KM , ns et in eadcm altitudine , quorum ipsae insistenlcs ad rectos sunt basibus. Scd quidem K.* solidum solido AE est ajquale , ipsum vero ni ipsi TZ, etenim in eadem basi sunt et in eadem altitu- tudine , quorum ipsas iasistenlcs non sunt in eisdem rectis; et igitur AE solidum solido TZ est aequale* Solida igitur, etc. perpendiculaires aux bases AB , FA ; je dis encore que le parallelepipede AE est cgal au parallelepipede rz. Car des points K, E, H, M, n, z, H, 2 menons au plan ini'erieur les perpendiculaires KN, ET, HY , MO, nx, z-^ , Hfi, 21 qui rencon- trent ces plans aux points N, T, T, *, x, *,!!, 1(11. n), et joignons NT, Y , NY, T*, x^, xfl, m, *!. Le parallelepipede K4> sera egal au parallelepi- pede ni (5i. it ), parce que ces parallelepipedes ont des bases egales KM, n2, et la meine hauteur, et qae leurs cotes sont perpendiculaires aux bases. Mais le parallelepipede K0 est egal au parallelepipede AE ( 3o. n ), et le parallelepi- pede m egal au parallelepipede rZ; parce que ces parallelepipedes ont la meme base et la rneme hauteur, et que leurs cotes ne sont pas dans les memes droites j le parallelepipede AE est done egalau parallelepipede rz. Done, etc. 84 LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. ITPOTASIS PROPOSITIO XXXII. VTTO TO O.VTQ u--os ovTtt (TTSpsct Trpof aAAAa tvriv wja< U7TO TO UTO l^Of (TTtfltai 71 apaAA - In cadem altitudine existentia solida paralle- lepipeda inter sc sunt ut bases. Sint in cadcm altitudine solida parallelcpi- * Ta AB, FA- >tyu> OTI T AB, FA pcda AB , FA- dico AB , FA solida parallelc- ertpia. TrapaAAMArzr/TreiTa frpos aAAAa I/TTIV u>g pipeda inter se esse ut bases, hoc est ut basis AE di @d HK ffT AE, Z0, ^a< UTTO TO etiiTO v-^o? TC FK TO AB Ka,} Applicetur enim ad ZH ipsi AE aequale ZO, et a basi quidem Z0 , altitudine vcro eadcm cum ipso FA solidum parallelepipedum corn- plcatur HKj a?qualc igitur est AB solidum so- lido HK , etenim in eisdem sunt basibus AE , Z0 et in cadcm altitudine. Et quoniaru solidum parallelepipedum FK piano AH secatur, paral- PROPOSITION XXXII. Les parallelepipedes qui ont la mcme hauteur sont entr'eux commeleurs bases. Soient AB, FA des parallelepipedes qui ayent la meme hauteur; je dis que ces parallelepipedes sont entr'eux conime leurs bases, c'est-a-dire que la base AE esl a la base rz corame le parallelepipede AB est ajii parallelepipede FA. Carappliquons a ZHun parallelogrammc ze qui soit cgal au parallelogramme AE (45. i ), et sur la base ze constrtiisons le parallelepipede HK de meme hauteur que le parallelepipede FA. Le parallelepipede AB sera egal au parallelepipede HK ( 3 1. 1 1 ) , car ces paral ielcpipedes ont des bases e"gales AE, ze et la meme hau- teur. Et puisque le parallelepipede nc est coupe par un plau AH parallele aus AH LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 85 AAA&> OVTI ToTf *Trtr&rriw ^ existente oppositis plains, est igitur ut basis x rf c* us 0Z @a.ri( vftif vnv z ad basim rz ita A solidum ad solidum Ar. FZ |8*/c3Tc TO 0A rrtfttr Trpos TO AF Sed squalis quidem basis Z0 basi AE , solidum mologorum laterum. Sint similia solida parallelepipeda AB,rA, homologum autem sit latus AE ipsi FZ ; dico AB solidum ad solidum FA triplicatam rationem habere cjus quam AE ad FZ. AE, HE, Producantur cnim in directum ipsis AE, HE, 0E < EK, EA, EM , xo.} Ktir&u Tp piv FZ JV E ipsae EK, EA, EM, et ponatur ipsi quidem EK, TM w OT< TO AB o-Tsptsi' Trpoj TO FA ffTSptef TflwAWK* Ao>o plans opposes , la base 0Z est a la base fz comme le parallelepipede OA est au parallelepipede AF (a5. n ). Mais la base ez est egale a ia base AE, et le paral- lelepipede HK egal au parallelepipede AB; la base AE est done a la base rz comme le parallelepipede AB est au parallelepipede FA. Done, etc. PROPOSITION XXXIII. Les parallelepipedes semblables sont entr'eux en raison triplee de leurs cotes homologues. Soient AB , FA deux parallelepipedes semblables, et que le cote AE soil 1'homo- logue du cote rz ; je dis que le parallelepipede AB a avec le parallelepipede TA tine raison triplee de celle que AE a avec rz. Car raenons les droites EK, EA, EM dans la direction des droites AE, HE, eE; faisons EK egal a rz, EA egal a ZN, et EM egal a ZP; achevons le parallelogramme 8G LE ONZ1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. no.} a-y/-wewApfcio-9&) TO KA Trapa^AHAo'^pa/^iot' , adliuc ipsi ZP a-qualis EM , ct compleatur KA x< TO KO trriptov. Kit] ivti c/a TM OTTO FZN lHp<>V9a> TO. EH , All. Kail iTrti fix. TX t/xo/OTT -run AB, TA artfiSv tfriv 6>s AE TTfog TC rz ct/T? EH Trpcf TC ZN , KAI E Trps? THV ZP, lira iTe ' fV Zr T EK, f apa TO AB OTipjor ?rpo; TO ES oi/Tttf TO EH wpof TO DA, x) TO IIA TfC5 TO KO. Ea^ ft TeVj7apayu.j- ELEMENTS B'EUCLIDE. 87 pleatur HK parallelogrammum, et a basibus qui- dem HK, KA parallelogrammorum, altitudine vcro eademcumipso AB,solidacompleanturEH, An. Et quoniara ob $imilitudinem solidorum AB , TA est ut AE ad FZ ita EH ad ZN , et E9 ad ZP, sed a:{ [AW TO AB Wpo? TO E3 TO AH !Tot^aAAAi)7-pa/x//oc TT^OJ TO HK, AB ad E2 ila AH parallelograromum ad HK , N \ s \f) \rr H \ \ \ X \ A \ ^. E M \ A \ \ o *} M AE luftt'lCt TTfOf TOf EK" UffTt Kelt TO AB TTpoj TO KO TpiTrhariova. hoyov t%*t %7rtp AE TTCOJ TMV EK. lo-oc l TO /xec9 KO ru TA OTepe&Jj H v froi'6a,p TffoTtpov ttl \p i^o TO altitudine solida parallelepipeda inter se sunt fTifici waXXtAl77'/W*nt sup- poses egaux; les hauteurs FM, AH ne sont done pas inegales; elles sont done egales; la Lase E est done a la base Nn comme FM est a AJ^ ; il est done evident KOL T Nn J) TO AB LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 91 AH , et evidens est AB, FA solidorum parallele- pipedorum reciprocas esse bases altitudinibus. Non sit aulem aequalis EQ basis basi Nn , sed sit major E0. Est autem et AB solidum solido TA sequale ; major igitur est FM ipsa AH. Si enim non, neque igilur rursus solida AB, rA aequalia essent j supponuntur autem asqualia. Ponatur igilur ipsi AH aequalis FT, ct com- pleatur a basi quidem NIT, allitudine vero FT, solidum parallelepipcdum C>r. Et quoniam P A v 6Ti twv AB , FA (rrtpiwr a.tTiTrtTToi'&a.ffit' at @o./rtis TO/; ti- tn E8 E0. EFT/ Tffl FA ffTlfiai JVoi'* fAi'tfytiV apt*. e-ap JUH, ouf if a. TraA/c Tot AB , FA crtpia. 'ifa. gWa/'l* vwo'xe/tTct* otv T^ AH JV TT, ^ avpTrmhn- ftix&ta CITTO fidirtuf /JKV TH? Nn , ty-vf-oj;; Nn solidum ita E0 basis ad NH basim , xque alta jSctV/c , (Voi'-^w >*P TO. AB, F* e-Tipat.' us S~l euim AB, Fd> solida ; ut autem FA solidum ad TO FA ffTtptov Trplf TO F* arepsov ouTUf Mn Tl TO T 5 , T lyu hoycv ifTiv apet wf G TO AB orspeop TO T$ a~rtptov oi/Tfflf TO TA a-Tepsof wpof TO T (TTesc'i'. AXX* af yusc TS AB (TTipeoy Trcf TO que les bases des parallelepipedes AB, FA sont reciproquement proportionuelles aux hauteurs. Que la base Ee ne soil pas egale a la base Nn, et qne la base EG soil la plus grande. Puisque le parallelepipede AB est egal au parallelepipede FA , la hauteur TM sera plus grande que la hauteur AH ; car si cela n'etait point , les parallelepi- pedes AB , PA ne seraient pas egaux (5i. n ); mais ils sont supposes egaux. Faisons FT egal a AH, et sur la base Nn conslruisons un parallelepipede $r dont la hauteur soil FT. Puisque le parallelepipede AB est egal au parallelepipede FA, que r est un autre parallelepipede, et que des grandeurs egalcs ont la meme raison avec la meme grandeur (7. 5), le parallelepipede AB sera au parallelepipede r* cornme le parallelepipeds FA est au paralleiepipede r$. Mais le parallelepi- pede AB est au parallelepipede r$ comme la base E& est a la base Nn ( 62. 1 1 ) , car les parallelepipedes AB , F4> sont egaux en hauteur, et le parallelepipede ga LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. j8aa-/f FT- x UT E MF MF FT. E KOI i7f v-^ift, pcdorum reciprocxsint bases altitudinibus, etsit TCOC TBI/ Nn BOUTIV ut E0 l> as ' s a( l basim NFI ita solidi FA altitudo >4oj Trfof TO TOU AB ad altitudinem solidi ABj dico sequale csse to-T* TO AB ffTD55 AB solidum solido FA. T/i T&>!< AB u>f ai Ee TO? FA (T TW FA (TTEfSW W H N n> eulfiffTHXM&t'iifefofia.t Sillt cnim rursus insistentes ad rectos basi- . Ktt( tl fJ.lv ten la-T/c E0 ^V/s bus. Et si quidcm a;qualis est E0 basis basi Nit, TH N'H j8a/ , xa) eVr/r ttf *f E0 j8V/? 7rpofTK el est ut E0 basis ad basim Nil ita solidi FA OUTWJTC TCU rAo-T=p=c; 4 6 ^P T altitude ad AB solidi altitudiucm; avjualc igitur FA est au parallelcpipede r* comnie la base Mn est a la base nr ( a5. u ), ct comme MF est a FT (i . 6) ; la base E0 est done a la base NFI comme Mr est a FT. Mais FT est egal a AH ; la base Ee est done a la base N 7 n comme MF est a AH; les bases dcs pavallelepipedes AB, FA sont done reciproquenaent proportionnellcs aux hauteurs. Que les bases des parallelcpipecles AB ? FA soient reciproquemeut proportion- uelles aux hauteurs, c'est-a-dire que la base E0 soil a la base Nn comme la hau- teur du pr,rallelepipede FA est a la hauteur du parallelepipede AB; je dis-que le parallelc'pipede AE est egal au paralleiepipede FA. Car que les cotes soient encore perpendiculaires aux bases. Si la base E est egale a la base Nn , et si la base E0 est a la base Nn comme la hauteur du paral- lelcpipede FA est a la hauteur du parallelepipede AB ; la hauteur du parallelepi- LE ONZIEME LIVRE DES ^L^MENTS D'EUCLIDE. 5 " est et so ^'^' rA altitude solidi AB altitudini. Sed fl>u AB empeou uf ' i^" *f A eS <* aAAAo/{ iirr/r Jirec apa tirri TO AB ffnptoi/ TU FA M ea-Tft) '4owfj ToursV- T)f Nn/3*i' ciiTftiff TO AB ffTffiiv vpo; TO r* a~nplv, /Vou-j? ?-*'p IT/ Ta AB', I* ST8pa, f . Puisque la base 9 est a la base Nn comme MF est a AH, et que AH est egal a FT, la base Ee sera a la base Nn comme IM est a rr. Mais la base est a la base Nn comme le parallelepipede AB est an parallelepipede r*(5a. n) , car les parallelepipedes AB, rd> sont eguix en hauteur; et FM est a rr comme la base Mnest a la base nr (i. 6), et comme le parallelepipede FA est au parallelepipede r* (a5. 1 1) ; le parallelepipede AB est done au parallele- pipede ro comme !e parallelepipede TA est au parallelepipede ro> ; rhacun cles pa- rallelcpipedes AB , FA a dune la meme raison avec le parallelepipen ad rectos basibus ip- Z, H, sorum , et ducantur a punch's Z, H, B, K, ITT} TO. TUV E, Nn 2 M > A , P ad plana basium E , Nn perpen- dhulares, et occurrant planis in punclis S, *, Si, et compleantur solida B, K, 3, M, A, P fictnuv iw/wt/k 1 K X.O.T T,*,X, Sii ffrepe*' AB, TA OUTM; E0 ra Z /SaV/c OWTWf TO reu FA ffTtpttv u-0( Trpo; Z*, EUj dico ct ila xqtialibus cxistentibus AB, TA solidis , reciprocas cssc bases altiludinibus , atquc esse ut E0 basis ad basiin Nn ita so- lidi FA altitudinem ad solidi AB allitudiaem. to Toy AB ffripcu u^o?. ETTS) ^ap 20 iVuc l, x, *, , n, et achevons les parallelepipedes z*, sn (i 1. 1 j); je dis que les bases des parallelepipedes egaux AB, FA sont reciproquement pro- portionnelles aux hauteurs, c'est-a-dire que la base E0 est a la base Nn comme la hauteur du parallelepipede FA est a la hauteur du parallelepipede AB. Puisque le parallelepipede AB est egal au parallclepipede FA, et le parallelepipede BT cgal au parallelepipede AB ( 3o. 1 1 ), car ils ont la meme base ZK et la meme hauteur, leurs cotes a'ctunt point places dans les memes droites , et que le parallelepipede LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. g5 TA rrtptev T A*- l A'i' fTtptc/i \GQV i4sf ^pcf TO TOU BT orepeot/" i/4f- Ta 4 **T TC A'f , BT (mpiuv xa.} Tuv AF, BA' iiniv pa f H E /Sain? ^f'J TMC NIT ^aV/f oi;Tft)j TO TOU Ar (TTspeoD i/'->fCf Trpo; TO TOU AB OTtptcu 11^-1;' TUV AB , TA apa e'Tspeai' 2 ^ Tra.pa.hhti^iTriTriS'ciiv a.vTi7ri7rordit.? TO T"4? AB rA altitudo ad solidi ABaltitudinernj *'" r ' ftrtptov FA Wf M E /3V/f TOW FA o"Tspsoo p-v-oj , JV BT, Af BTj A * . cst i g i [ur ut bajis ZK ad basim HP ZK ^aV/j TJ-pcf T>IK HP /3V/i/ j ta so i;,j; A ^. altitudo ad solidi BT altitudinem; TO TO? A^ o-Tepso? ^oj Trpoj TO TO? i psO rum igitur BT , A* solidorum parallelepi- BT irrtfiou u-^o;' TUV BT, A' 1 !' apa pcdorum reciprocal sunt bases altiludinibus; quo- rum autem sohdorum parallclcpipedorum alti- liautcur dn parallelepipede FA est a la hauteur du parallclepipede AB ; je dis que le parallelepipede AB est egal an paralleltpipede FA. Car faisons la meme construction. Puisque la base Ee est a la base Nn comme la hauteur du parallelepipede FA est a la hauteur du parallclepipede AB, que la base E est eg.ile a la base ZK, et la base Nn egale a la base SP, la base ZK sera a la base HP commc la hauteur du parallelepipede FA est a la hauteur du parallele- pipede AB. Mais les hauteurs des parallelepipedes AB, FA sont les memes que celles des parallelepipedes BT, A-*-; la base ZK est done a la base HP cornrne la hauteur du parallelepipede A* est a la hauteur du parallelepipede BT; les bases des parallelepipedes BT, A-*- sont done reciproquemeut propoi tiounelles aux hau- teurs. Mais les parallelepipedes qui out lews hauteurs perpeudiculaires sur les TO. LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 97 opStts tin TOLIS jZdcis-iv et.ii- tudines ad rectos suut basibus ipsorum , reci" aii proca.vero bases altitudinibus, sequalia sunt ifct Isriv \Kt7va,' * vnt ruv avruv T3 f~t A' 1 ? ffTifiOV TU AT ffTtf'.to IfOV I \7ri Tt yj t'tst SP Ktti WTTO TO a'JTO 24'? * u" iv To.7; solidum solido TA est asqualc. Quod oporteba a.l-ra.'if ivbi'tctt;- z.ctl TO AB a-fct frtpiay ry ostendere, FA ffT';C,':i iljTIV IftV, OTTtf ttl elf " ytttvi/u , KxQtroi a.%8iriv, avro Si TUV triiuitwv UTTQ TI' ;rafl/T!'', tv TO/; a iitt 7itpii%avfft yuera f.%&ua-a.ii gaiilur ipsae AA , NA; dico xqualem csse an- ew AA, NA' *'}*> 'on in ioviv OTJ-O HAA gulum HAA augulo MAN. i/jt,iicu T? HA 77-etpaA/aAo? K. H xa.} V7ro AZM yuvia. op8>f iffnv 'in apt*, \yriv info AT ytevict TV OTTO AZM. Etrn J"t KCU OTTO Af ry LTTO MAZ tfflt' ^vo ?ro AEM ELEMENTS D'EUCLIDE. AZM rectus est j cequnlis igitur cst angulus AT0 ipsi AZM. Est autem el angnlus AT ipsi MAZ aiqualis ; duo igitur triangula sunt MAZ, AT duos angulos duobus angnlis xqualcs lia- bcntia , utrumque ulrique , et unum lalus uni lateri sequale, sublcndcns unum ocqualium au- guloriim, ipsum A0 ipsi AM ; et reliqua igitur latera rcliquis lateribus sequalia habebunt, utrum- que utrique ; oequalis igitur csl AT ipsi AZ. Simililer utique deraonslrabimus ct AB ipsi AE scqualcm cssc. Jungantur ipsae 15, ME. Et quo- niam quadratum ex A aequale est quadratis ex AK, K , quadrate autcm ex AK rcqualia sunt quadrata ex AB, BKj quadrala igitur ex AB , BK , KQ seqiialia sunt quadralo ex A0. Scd quadratis ex BK,K9 sequale est quadra- turn ex B , reclus enini angulus KB, prop- tcrca quod K perpendicularis esl ad subjectum planum ^ quadratum igitur ex A sequale cst quadratis ex AB , B0 j rectus igitur AB0 an- gulus. Proptcr eadcm utique ct angulus AEM clroit, par la merne raison; 1'angle AT est done egal a 1'angle AZM. Mais Tangle Ar est egal a MAZ ; les deux triangles MAZ ., AF ont done deux angles egaux a deux angles, chacun a chacua , et deux cotes egaux, c'est-a-dire les cotes A, AM qui sont opposes a des angles egaux; ces deux triangles ont done les autres coles egaux aux aulres cotes, chacun a chacun ( 26. i ); Ar est done egal a AZ. Nous demontrerons semblablement que AB est egal a AE. Joigiions B , ME. Puisque le quarre de la droite A est egal aux quarres des droites AK, K0, et que les quarres des droites AB, BK sout egaux au quarre de la droite AK, les quarres des droites AB, BK, K seront egaux au quarre de la droite A. Mais le quarre de la droite B est egal aux quarres des droites BK, K, car 1'angle KB est droit, la droiie K etant perpendiculaire au plan interieur; le quarre de la droite A est done egal aux quarres des droites AB, B; 1'angle AB est done droit. L'angle AEM est droit; par la meme raison. Mais Faugle BA esl egal a Tangle LE ONZIEME L1VRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 101 S~t KO.} a UTTO BA 7aj-i* Tii' vrro EAM rectus est. Est autem et angulus BA ipsi EAM JVa' 6 ' uwo'xMfT*; 1 ' T^p, < t!/ wwo TAB >wc/a TM duabus ZA , AE jequales sunt. Sed et angulus u!TO ZAE 63-Tic JVic jSair;; ap* Bf j8*/ TAB angulo ZAE est asqualisj basis igitur BF basi H A EZ TO EZ aequalis est; et triangulum triangulo , et reliqui anguli reliquis angulis ; aequalis igilur JV *fa. v VKO AFB yuna. TH UTTO AZE. Emt AFB -angulus ipsi AZE. Est autem et rectus AfK fix*} cpflii H V-TTO AFK Jpflf TH JTTO AZN i'r recto AZN sequalis ; et reliquus igitur BFK re- xa.} AIT *pt H JTO BFK Ao^ TH UTTO EZN l'q EZN aequalis est. Propter eadem utique /Vn IITT/'^. A/a Tct awTa i KSC) si UCTO FBK ct angulus TBK ipsi ZEN est asqualis. Duo utique TH WTO ZEN em-fv Tc-i) 20 . At!o Jsi Tpi-ut'd ten triangula sunt FBK, ZEN duos angulos duobus TO. FEK ZEN T' a2 TK r ZN. ap urro AK0, TU i O.TTO T; AM JVa ra UTTO Tut' AN , NM , cpfltJ 7p tl vvo ANM' TO. etpa O.TIO tSy AK 3 K 'if a. ta"ri fo7f OLTTO TUV AN , NM , uv TO "Vo THS AK (Voc Ifr} T$ O.TTO Tj 73 AN' hCITTOV f* TO 0.710 7f7f K \TUf v B TTCGS THV F' As'j A ad B ita B ad r dico ex ipsis A , B, r COROLLAIRE. ^ D'apres cela , il est evident que si deux angles plans sont egaux , et que si de leurs summets on mene au-dessus des plans de ces angles des droites egales qui fasscut iiTec les cotes de ces memes angles des angles egaux, chacun a chacun, les perpeudiculaires menees de ces droites aux plaus des premiers angles seront egales entr'elles. PROPOSITION XXXVI. Si trois droites sont proportionnelles, le parallelepipede consiruit avec ces trois droites est egal au parailelepipede construit avec la droite rooyenne, ce parallelepipede etant equilateral el equiangle avec le premier parallelepipede. Solent trois droites proportionnelles A, B, r, de manieie que A soil a B comme B est a r; je dis que le parallelepipyde coustruit avec les trois droites A ; B, r ro4 LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. in TO lit tuv A, B, r ffrtpiov law i solidum acquale essc ex B solido , sequila'.ero ana THJ B ertpiSy inirfavfy ply , Injuvitp quideni, aequiangulo autcm antcdiclo. S~] ry Tr A B r Ezx'tifQu mtft yutt u wpoj ra E wsp/s- %0/MVH U7TO rplUV JWl'/WC ITTimSuV TUV U7T0 1 AEH, HEZ, ZEA , xeu KiMia T fJ.lv B JVo 'IX.O.S-TH ray AE, HE, EZ, xzt .;if:KTQa TO EK fTepjop ^apstAAHAew/TSiToi' , Ttf s M AM Trpof T)W EZ CUTW; AE wpo? TJIC AN. Ka ysp) JVa; ywvistf , TO.; UTTO MAN, AEZ H Exponantur solidus angulus ad E conlcntus sub tribus angulis planis AEH, HEZ, ZEA, et ponalur ipsiquiclemB acqualis unaqna;que ipsa- rum AE , HE, EZ , et complcatur EK solidum parallelepipcdum, ipsi vero A ponatur aequalis AM , et constituatur ad rcctani AM et ad punc- tum A in ipsa ad E angulo solido a;qualis solidus angulus contcnlus sub ipsis NAH , EAM ; MAN, et ponatur ipsi quidem B asqualis AS , jpsi vero r sequalis AN. Et quoniam cst ut A ad B ita B ad r , sed sequalis quidem A ipsi AM, ipsa vero B utriquc ipsarum AH , EA , ipsa autem r ipsi AN ; est igilur ut AM ad EZ ita AE ad AN. Et circum zcquales angulos MAN , AEZ latcra rcciproce proportionalia ) estcgal au parallelepipede construit avec ladroite B, ceparallelepipedeetant equi- laieral et equiangle avec le premier parallelepipede. Soil expose 1'angle solide E compris sous les trois angles plans AEH, HEZ, ZEA; faisons les droites AE, HE, EZ egales chacune a la droite B; achevons le pa- rallclcpipede EK; faisons AM egal a A; sur la droite AM et au point A de cetie droite, construisons un angle solide qui etant compris sous les plans INAS, SAM, MAN soil egal a Tangle solide E ( 26. n ); faisons AS egal aB, el AN cg^l k r. Puisque A est a B comme B cst a r, quo A est egal a AM, que B est egal a chacune des droites AS, EA, et que r est egal a AN, la droite AM sera a la droite EZ comme la droile AE est a la droite AN; les coles places autour des angles egaux MAN , AEZ sont done reciproqueraeut proportioanels; le parallelclogramme MN est done LE ONZIEME LIVRE DES ypa) a.t. K< sVti (Two yuvim tTrivifoi tuSvypzfJ.- fJLOl 'iTOLt tlciV O.I V7TO AEZ, NAM, KO.I tTT O.VTUV fAiTiKipol tvBi7o,i * i'rov lirri TW t; B ffTepsy, IfiTrhtvpu ftiv , - \ >/ t~ \ \<, Eav apa Tpe;; , Kctl TOL 4^/K. ELEMENTS D'EUCLIDE. io5 asquale igitur MN parallelogramnaum paralle- logrammo AZ. Et quoniam duo anguli plaui rectilinei sequales sunt AEZ , NAM , et ab ipsis sublimes recta3 constituuntur AH, EH et aequales inter se ct asquales angulos coulinentes cum ipsis a principle) rectis utramque utrique ; ipsae igitur a punctis H, perpendicularcs , ductoe ad plana per NAM , AEZ , aequales inter se sunt j quare solida A0, EK in eaJcm altitudine sunt. Solida autem in acqualibus basibus parallelcpipeda et in eadem altitudine aequalia inter se sunt; sequale igitur est A0 solidum solido EK. Et est quidera ex ipsis A, B , r solidum 0A; ipsum vero EK ex B solidum; ergo ex ipsis A , B, r solidum acquale est ex B solido, asquilatero quidcm, aequiangulo aulem anledicto. Si igitur Ires , etc- egal au parallelogramme AZ (14.6). Et puisque les deux angles plans recti- lignes AEZ, NAM soul egaux , que les droites A3, EH qui sont egales entr'elles, et qui sont menees au-dessus des plans des angles egaux. AEZ, NAM font avec leurs cotes des angles egaux , chacun a cliacun , les perpendiculaires raenees des points s, H aux plans NAM, AEZ seront egales entr'elles ( corol. 35. n ); les parallelepipedes Ae, EK onl done la meme hauteur. Mais les parallelepipedes qui ont des bases egales et la meme hauteur sont egaux enlre eux (5i. n ); le pa- rallelcpipede A est done egal au parallelepipede EK. Mais le parallelepipede A a etc construct avec les trois droites A, B, r, et le parallelepipede EK a ele construit avec la droite B; le parallelepipede construit avec les trois droites A, B , r est done egal au parallelepipede construit avec la droite B , ce parallele- pipede etant equilateral et equiangle avec le premier parallelepipede. Done, etc. III. loG LE ONIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. ITPOTA2I2 PROPOSITIO XXXVII. O.VTUV STtfiot, 1 xa io.v 10. O.TI ctinuy frtfto. o/jioid Tt Ktt] o t uoiu; Kcii O.VTO.} 0.1 tuftt'icti a.ra.ho'yov ttrovr&i* EfrucAV Ttfffapt; tvQtTcti ttvahoyov tt! AB, TA, EZ, H 3 wf AB Trpof tnv TA 1 EZ 7ff>o; 7v H, xai TWI< AB, FA, EZ, H L^s/a re xa/ titti T Si qualuor rectac proportionales sint; et ab open*. Tt ipsis solida parallelepipeda et similia et simi- t AF+, TO KA ctpct Trpof T9 ' '' " ' AR * rnr FA. A*t TO AK o-Tepeov Trpoj TO \ w \ % , v * _3| AF flTspsof oi/TWf TO ME flTeptoi' Trpo? TO NH' As'} OT< ts-T/f &Jf AB tvfie?* wpoj Ty FA ovTWf EZ Trpcf TJIC H0. E^'.< 5/ap vaXiy TO KA Tpof TO AF Tp/TvAat- ir/ora Ac^cc e%t/ 7T8p AB Troof Ty FA, ft aait TO ME Trpof TO NH H EZ 7rpof TW H0 , > TO KA ape? TO AF O^TW; TO ME Trpof TS NH' xa; cot aptf AB Trflg rnt FA ourwf EZ iiv H. E*r otp Quoniam enim. simile cst KA solidurn pa- rallelepipedum ipsi Ar, ergo KA ad Ar tripli- catam rationem liabet ejus quam AB ad TA. Propter eadem utique et ME ad NH triplica- tam rationem habet ejus quam EZ ad H0. Atque est ut AB ad FA ita EZ ad H ; et ut igitur AK ad AF ita ME ad NH. At vero sit ut AK solidum ad Ar solidum ita ME solidum ad NH- dico esse ut recta AB ad TA ita EZ ad H0. Quoniam enim rursus KA ad AT trplicatem rationem liabet ejus quam AB ad FA j habet autem et ME ad NH triplicatam rationem ejns quam EZ ad H0 , et est ut KA ad AT ita ME ad NH; et ut igilur AB ad FA ita EZ ad H0. Si igitur quatuor, etc. Car puisque le parallclepipcde KA est semblable au parallelepipede Ar, le pa- rallelepipede KA aura avec le parallelepipede Ar une raison triplce de celle que AB a avec TA (33. n ). Par la meme raison, le parallelepipede ME aura avec le parallelepipede N T H une raison triplee de celle que EZ a avec H0. Mais AB est a IA comme EZ est a H; done AK est a AF comme ME est a NH. Mais que le parallelepipede AK soil au parallelepipede Ar comme le paralle- lepipede ME est au parallelepipede NH; je dis que la droite AB est a TA comme EZ est a He. Car puisque le parallelepipede KA a avec le parallelepipede Ar une raison tri- plee de celle que AB a avec FA, que ME a avec NH une raison triplee de celle que EZ a avec H, et que KA est a AF comme ME est a NH, la droite AB sera a la droite TA comme la droite EZ est a la droite H. Done, etc. jo8 LE ONZIEME LIVRE DBS ELEMENTS D'EUCLIDE. FIPOTASIS PROPOSITIO XXXVIII. Eat' tTTlTTtf'OI/ TTfOf t'fft'J Tircf mfAiiw TCV tv sci T&>vcu EZH af joignons EH. Puisquela droite ZH est perpendiculaire au plan IA , et qu'elle est rencontree par la droiic EH, qai est dans le plan FA; 1'angle ZHE sera droit. Mais la droite EZ est perpendiculaire au plan ABJ 1'angle EZH est done droit; deux angles du triangle EZH sont egaux. a deux droits, ce qui est impossible (17. i ); la per- pendiculaire menee du point E au plan AB ne tombe done pas hors de la droite AA ; elle tombe done sur la droite AA. Done si ; etc. no LE ONZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. PROPOSITIO XXXIX. TUIV a.711- Si solidi parallelepipedi oppositorum plano- a.\ Trhiupsti . n Mtvn plana producantur, communis sectio planorum n TWC tviirtfut Kcii ii TOU FTiptov no.- et solidi parallelcpipedi diameter bifariam se <^~ secabunt. Srspeou yap rod AZ TUY Solidi enim AZ parallelepipedi oppositorum TUV FZ, A a.1 TrXwttil planorum TZ , AQ latera secentur in K, A, K BW M \ A o N H % TjTyUiiVSaa-af Ka.ro. to. K, A,M,N,S, M, N, E, II, O , P punctis; per scctiones , O, P rn/xs7a, cT/st J ia,-}u>i>ics H AH* Ae^/w on 1cm esse ipsam quidem TT ipsi TS , ipsam vero JV tirrjc /uW TT i T2 6 , ? TE la-m xai TO AST Tfiyuvov T&> OTE Tfiyury 5W 8 , xa eei Ao/Trai ywieti ro.7; yuvia.ii; JVa/9* Jan ap usro SYA yuv'ict TM JTO OYE }n'tt* J/a (Tw TCUTO eufls/a esr; H AYE* ^/a ret curse ) ua) 11 B2H w&tio. ttrri xa V B2 Tii 2H. Kai sVe) FA rp AB /"irx \rn xai FA xa/ T>T EH Ttirov TTfiy/jLH-ra. hc-v-iira. ABFAEZ, xa; TO /xsc I^ST&) $a.>H\C'-}px/utM\> TO ABFAEZ Trp/V/^a , TOV (Te HO ffTtptcu MfJitffv TO HQKAMN7rp/K. lia inter se sunt ; rcqualc igitur cst AS solidum ipsi HO solido. Et csl ipsius quidem AE solidi dimidiumprismaABrAEZ, ipsius autcm HO solidi dimidium prisma H0KAMN ; ncqualc igitur cst ABTAEZ prisma ipsi H0KAMN prismali. Si igilur sint , etc. ]e parallelogramme AZ sera egal an parallelogramme K. Mais lesparallclepipedes qui ont des bases egales et la meme hauteur sont egaux enlr'eux ( 5i. n ); le parallelepipede A3 est done egal au parallelepipede HO. Mais le prisme ABFAEZ est la moitie du parallelepipede AS, ct le prisme HGKAMN la moitie du parallele- pipcde HO; le prisme ABFAEZ est done egal au prisme HSKAMN. Done, etc. FIN DU ONXI&HE LIVRE. EUCLID IS ELEMENTORUM LIBER DUODECIMOS. nPOTAZIS '. PROPOSITIO I. To. Iv roTf xvxhot; ofto/a Trobtyuvtt Trpcs In circulis s;milia polygona iater se sunt ut irriv u; to, a.7ra -ruv fictptTfuv n- cs diamctris (juadrata. xvxfot oi ABFAE, 2H0KA, KO.} Iv it'j- Sintcirculi ABFAE, ZH0KA, et in ipsis similia cpcio. 7TO*u-}uya.tfTia TO. AKTAE,ZHQKA., polygona sint ABFAE , ZH0KA , diamelri autem l BM,HN' \(yu circulorum sint ipsac BM ; HN; dico esse ut IE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUGLIDE. PROPOSITION I. Les polygones semblables inscrits dans des cercles scat entr'eux comme les quarres des diametres. Soieni les cercles ABFAE, ZHGKAJ soient dans ces cercles les polygones sem- blubles ABfAE ; ZH0KA, etqueles diametres de ces cercles soieni EM, HN; je dis q u e. jiG LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. on IS-TIV 6i; TO a.7ro Tf BM TiTpdyuvov 7rfo( quadratum ex BM ad ipsum ex HN quadralum TO OLTTO Tit? HN TSTp*7 ai'oy ouTfflf TO ABIME ita ABFAE polygonum ad ZHQKA poljgonum. rt; TO ZHKA sere/ o/noiof a.\ BE, AM, HA, ZN. TO ABFAE Tro^.iiycai'ov T&> ZHQKA woAu^wro), if S-T Kcti ti VTIO BAE TJ! VTTO HZA, utti trrif uf BA wp AE OUTUS HZ ?7pi? THV ZA* v atpat, I7 UTTO ZAH. AXX' M p'.v UTTO AEB T:? UTTO AMB Jungantur cnim ipsac BE, AM , HA , ZN. Et quoniam simile est ABTAE polygonum ipsi ZHQKA polygono, aequalis est et BAE angulus ipsi HZA , ct est ut BA ad AE ita HZ ad ZAj duo igilur triaugula sunt BAE , HZA unum augulura uni angulo xqualem liabentia , ipsum BAE ipsi HZA , circa a;quales aulcm angulos lalera proportionalia ; sequiangulum igilur est ABE triangulum ipsi ZHA triangulo, aequalis igitur est AEB angulus ipsi ZAH. Scd ipse quidem AEB ipsi AMB est tnqualis ; in cadem cnim. circumfc- rentia coasistunt ; ipsc autem ZAH ipsi ZNH , et ZAH Ti? 0770 ZNH* x le quarre de BM cstau quarre de HNcomme le polygonc ABFAE est an polygone ZH9KA. Car joignoas BE, AM, HA, ZN. Puisque le polygone ABFAE est semblable au polygone ZHei8w T V7TO HZN J'fl-JT KCO ti Xonrit apt*. r Ao/7rt)' \rsiv ! Ivvyuvtw efyee {or/ 5 TO ABM Tpiyuvcv ru ZHN Tfiyuvu* .px \; x BM wpcf Ti' HN o BA 5rpo? T/IC HZ. AMet TOU jUsc TJ BM Tpc; Till' HN Ac^ow JWActcr/wc effT/c o TOU i7ro TS BM T; G HN T^ HZ TO O.7TO TJ?J BM HN TSTpa^tt'/oc? srfTO ZH0KA crpof TO 0.710 S\ T; EA Trpo; ls-r}v o TOU ABrAE TTO^U- TO ZHQKA Trohuyuvov -it.au Trpef TO aa. p TO ABf-iE ELEMENTS D'E-U GLIDE. 117 ipse AMB igitur ipsi ZNH est xqualis. Estautem ct rectus BAM recto HZN asqualis ; et reliquus igitur rcliquo est aequalis ; EEquiangulurn igitur est ABM triangulum triangulo ZHN ; proportiona- litcr igitur est ut BM ad HN ita B A ad HZ. Sed ra- tionis quidem ipsius BM ad ipsam HN duplicata est ratio quadrati ex BM ad qtiadratum ex HN , rationis vero ipsius BA ad HZ duplicata est ratio polygoni ABTAE ad poljgonum ZHQKA; et ut igitur quadralum ex BM ad quadratum ex HN ita polygonum ABFAE ad polygonura ZH0KA. In circulis igilur, etc. droit BAM est egal a Tangle droit HZN (3i. 5); Tangle restant est. done egal a Tangle restant; les deux triangles ABM, ZHN sont done equiangles; BM est done a HN comme BA est a HZ (4. 6 ). Mais la raison du quarre de BM au quarre de HN est double de la raison BM a HN ( 20. 6 ) , et la raison du polygone ABFAE au polygone ZHOKA est double dc la raisou de BA a HZ ; le quarre de BM est done au quarre de HN comine le polygone ABFAE est au polygone ZHOKA (ii. 5). Done, etc. u8 LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. HPOTASIS ^'. Oi Kbxhot -jrpof ahXnhtus tinv u>; TO. 0.710 vuy fia.ij.iTf.uv Ttrpxttavx. xuxhot 01 ABrA, EZH, IOW %upiov Trpif thetirirov TO 2. Ka) l TiTfia.'yUl'OV TO EZH' f/'f TOC EZH TO ///sv TOU EZH xJxAou, eTrs/iTiiVsp lac Jict TWI/ E , Z , H , m/M/ar ewfle/rtf TCU jiJcAou ttT-ajw/xec , TOV r \ r ' ' (A'sVOU 77SCII TOI' XUiCAOl' T PROPOSITIO II. Circuli inter sc sunt ut ex diamctris tff-rt TCU HjUiVew? TC,V EZH KV- riam EZ , ZH , H0 , E circumferential in K 7 . TeT//>iV8wirc S~'iyjt a.\ EZ, ZH, H, E A, M, N puncHs , et junganlur ipsw EK , KZ KO.TO. TO. K, A, M, N o-ft4?a, ZA , AH, HM, M0 , N, NE; et unumquod- EK, KZ, ZA, AH, HM, M0, N, NE' KOU wetPror a pa, TKV EKZ, qne igitilr triangulorum EKZ, ZAH, HM0, NE ZAH, HM, NE Tptytivov fj.^iv \.pa J w 1 Ma ( ' , iiMFTW TUV gulorum dimidium erit parallelogrammi in quo EKZ , ZAH , HM , NE Tfiydruv itpitru " Mais le cercle est plus peiil que le quarre circonscrit; le qnarre inscrit EZH est done plus grand que la moilic du cercle EZH. Parlageons les arcs EZ, ZH, H, E en deux parties e"gales aux points K, A, M,N, et joignons EK, KZ, ZA, AH,HM, M, N, NE. Chacundcs triangles EKZ, ZAH, MH@, NE est done plus grand que la moi tie du segment dans lequel il est place; parce que si par les points K, A, M, N nous reenons dcs langentes au cercle, ei si sur les droites EZ, ZH, H, E nous cons- Uuisons des parallelogrammes, chacun des triangles EKZ, ZAH,HM@, NE sera Ja moitie du pctrullelograiume dans lequel il est place (Sy. i).Mais un segment est plus 120 LE DOUZIEME LlVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. rcS xetff tauTo wtt|)aA^>i07pa / (/ju.oi/. AAAa TO cst. Sed segmentum minus cst parallelogrammo X.O.S ict-jTO Tp.vifjLa. sAtfTTo'c tffri TOU TapaAA- in quo est; quare unumquodquc EKZ, ZAH , ^oyf,a.fj.(j.cv unm ixttyrov TUV EKZ , ZAH , HM0 , ONE triangulorum majus est dimidio HM0, 0NE Vfiyumv ptityv Itri rcu i\/j.is- t u>; segmcnli circuli in quo cst; sccanlcs igitur re- TCU xa.6' IO.UTO TjUiip.a.To; tou KUH^CV" rifMoiiTtf liquas circumfcrentias Lifariam , ct jungcutes TTlflftftietf xa.} iif TOV K\iY.\tiv TU EKZAHM0N Trohuyuvca OfJioiOt TO ASBOrilAP' 'iimv apa. u; TO a.7ro Tf BA TiTpayavov Ttps; TO a,7ri> TJ Z0 ' ct/T&ij TO ASBOrHAP Tro^it^tavov . AAAa xa} TO avo T? Z0 cyTWf o ABTA xvxhc; Tipc; TO 2 ^p/oy ai a? apci o ABFA xuahaf Trpcf TO 2 %tapioi> cvTta; TO ASBOrnAP TroXuyuvw -7rpG$ TO EKZAHM0N -Trchvyuvov* IcaXAa^ p n'f o ABFA xt/KAof Trpcf TO Iv O.VTU Trchtjyuvw ainu; TO 2 %upiov TJ-poc TO EKZAHM0N vo^vyavov. Mi'T 6 "' ^ ABFA xuAo; TOU Iv O.VTIJ> TroXu- yuvcu' fjLiT^av apa xxt TO 2 %u>piov TOU EKZAHM0N Trchvyuvou. AXXcc xa.} sAaTTor, 6VX AfX Ifl-T/C 11 f TIJ TO EKZAHM0N TO ac.7ro T>7? BA TST deurs exposecs. Qu'on alt ce reste, et que ce soient les segments da ccrcle EZH places sur les droiies EK, KZ, ZA, AH, HM, MO, N, NE, et qu'ils soient plus petits que 1'exces du cercle EZH sur la surface 2 ; le poiygone res- tant EKZAHM0N sera plus grand que la surface 2. Decrivons dans le cercle ABFA un poiygone ASBornAp semblable au poiygone EKZKNMN ; le quarre de BA sera an quarre de z comme le poiygone ASBornAP est au poiygone EKZAHMN ( 1. 12). Mais le quarre de BA est au quarre de z comme le cercle ABIA est a la surface 2 ; le cercle ABFA est done a la surface 2 comme le poiygone ASBOrnAP est au polygoue EKZAHMN ; done , par permutation , le cercle ABFA est au poiygone qui lui est inscrit comme la surface 2 est au poiygone EKZAHMSN. Mais le cercle ABFA est plus grand que le poiygone qui lui est inscrit ; la surface 2 est done plus grande que le poiygone EXZAHMGN, Mais il est aussi plus petit, ce qui est impossible; 1IJ. 16 122 LE DOU2,lEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. if BA Ttrpayuvov vpo? TO O.TTO TK Z& B ^ ad ipsum ex Z0 ita circulus ABFA ad o ABFA KUX.I.O; Trpas eAarroV ri rou spatium aliquod minus circulo EZH0. Similiter IZH0 xu'xAou %uplov. QfjLOtuf fit fti^o/mtv, OTI utique ostendemus neque ut ipsum ex Z0 ad ciiSi a; TO OLTIO rSff I2 Z vrpot TO pior, Ae'j-w fa cm cup w; TO tt-TTO T))J BA ABrA XVK^O; TO a.7ro T( Z oi/TWf o ut ipsum ex B A ad ipsum ex Z0 ita circulum AETA ie7c'p TI TOIJ EZH xvzhou adaliquod spalium majus circulo EZH0. Si enim Trpo? fjiiifyv TO possibile, sit ad majus S. Invertendoigitur est ut TO a.710 THS Z0 quadralum ex Z0 ad ipsum ex BA ita spatium 2 TO a.7ro T; BA OUTM; TO 2 ad circulum ABFA ; sed ut spatium S ad cir- wpo? TO ABFA KVHhov' aAA' u>t TO 2 culum ABTA ita circulus EZH ad aliquod spa- Trpo; TOV ABFA xvxXov OUTU; o EZH tium minus circulo ABrA; et ut igitur ipsum J Trplc SATTO'C TI TOW ABFA le quarre de BA n'est done point au quarre de Z0 comme le cercle ABFA est a tine surface plus petite que le cercle EZH0. Nous demontrerons semblableruent que le quarre de z n'est point au quarre de BA cornme le cercle EZH est a uae surface plus peiite que le cercle ABFA. Je dis ensuite que le quarre de BA n'est point au quarre de z comme le cercle ABrA est a une surface plus graude que le cercle EZH. Car si cela est possible, que le quarre de BA soit au quarre de z comme le cercle ABFA est a uue surface 2 plus grande. Par inversion, le quarre de z sera au quarre de BA comme la surface 2 est au cercle ABFA. Mais la surfuce 2 est an cercle ABFA comme le cercle EZH est a une surface LE DOUZIEM.E LIVRE DES ILL^MENTS D'EUCLIDE. no.} us af* ro i-nl rtif Z' 6 Trpof ex Z ad ipsum ex BA ita circulus EZH ad TO awo T?f BA drat '<> EZH xw'KAof Tpoj spatium aliquod minus circulo ABrA , quod fAaTTo'c TI rcS ABFA xJxAou ^p/'oi' , OTrep impossibile ostensum est. Non igitur est ut qua- tfti^Sx 1 '' u* apa tirr)c :8 us TO dratum ex B A ad ipsum ex Z0 ita circulus ABFA BA -rirpiiyuitov fl-po? TO ATTO Tf Z d spatium aliquod majus circulo EZH. Os- tensum est aulem neque ad minus ; est igilur ut quadrature! ex BA ad quadratum ex Z0 ita circulus ABFA ad circulum EZHQ. o ABFA Kvxtes -Tiff EZH0 xw'xXcu %upior, Efii%6tt ft OTI ov$i eAaaros" tsr/c apei as TO a?ro TM; BA ytarov Tito; TO awo TJ Z0 TeT s ABrA xt/'xXef 77po? Tf EZH Oi ap* JtOKAo; , Kati Tct t^ V T/ TU Circuli igitur , etc. plus petite que le cercle ABFA; le quarre de ze est done au quarre de BA comrne le cercle EZHQ est a uue surface plus petite que le cercle ABFA, ce qui a etc demon tre impossible ; le quarre de BA n'est done pas au quarre de z comme le cercle ABFA est a une surface plus grande que le cercle EZH. Mais on a demontre que le quarre de BA n'est point au quarre de z comme le cercle ABFA est a une surface plus petile que le cercle EZH ; le quarre de BA esi done au quarre de z comme le cercle ABFA est au cercle EZH. Done , etc. LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. A H M M A. LEMMA. Aej-w eT>), DTI TdtJ 2 &>p/eu fJLiiovC{ OCTS Dico ntique , spatio S majore existentc TOU EZH xuzhou , effT/y (if TO 2 "xuitiov KM f circulo EZH0, csse ut spatium 2 ad circulum TO ABFA xvxhov C'IJTU; o 1 EZH xJxAos Trpcj ABPA ita circulum EZH0 ad spatium aliquod T; TC> ABFA zvxt.cv yupior. minus circulo ABFA. A Z TO T Te^oi'srw yap w? TO 2 ^wp/sc TTOO? ABFA KOKAor CDT&)? o EZH T %upict/' "htyut OT< sAa(r * S circul EZH0 ' Ma > r i 8 itur et drculus c ABFA 5A T wfiov 2 .Vr)r4 , s P atio T > 1 uare est ut s P alium s ad circulum Ti 2 Wor rp TO, ABFA ;X oiW o' ABFA ^ ClrCuluS EZH0 ad S P atium ali 1 uod mi - EZHe x' X X 8f 5rp rx*TTo'v T, TOV ABFA nus circul ABrA ' Q uod P or ^bat ostendere. %eifior. Owep s) , Kati e/'j - apec *a; c^ue/oV tin/ TO AE0 Tfiyatov ru 6KA Tf>t \ 1 in'rf x * n ' TS es-r/ xai cfjLtitv ' apat wupetjUlf, <; puris fj.il' J3T/ 11 TO AEH Tp>&)roi', xopwipii i / TO p\y ABr tpiywov T&> AKA quidem, triangulum triangulo AKA simile est, AAr 1$ AA0'4. K ' ett BA, AT f K, A tieiv , oux. Iv TW itliSt iVetf yurlttf 7ripit%eu?iv l6 ' JVw VTTO BAF yuvia. Tii" viro KA. Ka ttrriv us BA WpOfTJJC AF CUTWJ KQTrpcg rir A' epoiov TO ABr rpiyuvov T^O KA Tfiyurf TO ABT ipsum vcro AAr ipsi AA0. Et quoniam dua; reclae sese tangcntes BA, AT parallels sunt duabus reclis sese tangentibus K0 , A, non in eodem piano existences , aequales angulos contincbunt; cequalis igitur est angulus BAT ipsi KQA. Et est ut BA ad AF ita K ad A0; simile igitur est triangulum ABT triangulo KA ; et pyramis igitur , cujus basis quidem est ABr triaHgu- litm, vertex autem A punctum , similis est py- , xt>f>vq>H ft TO A m/uulov , 'o j.tr ten TO GKA IffT/ ramidi, cujus basis quidem est KA triangulum parallclement a un des cotes AB du triangle AAB, le triangle AAB sera I'q liangle avec le triangle AK ( 29. i ); mais ces deux triangles out leurs coles propor- tionnels (4- 6 ), le triangle AAB est done semblable au triangle A0K. Par la meme raison , le triangle ABr est semblable au triangle AKA , et le triangle AAF semblable au triangle AA. Et puisque les deux droites BA , AI qui se touchcnt sont paralleles aux deux droites K, A qui se touchcut et qui ne sont pas dans le meme plan , ces droites compreudront dcs angles egaux ( 10. ii ); Tangle BArest done egal a Tangle KA. Mais BA est a Ar comme K est a A; le triangle ABr esl done semblable au triangle KA ( 6. 6 ) ; la pyramids dontla base est le triangle ABF et dont le sommet est le poiut A est done sem- blable a la pyramide dont la base est le triangle KA et dout le sommet est le LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 129 ii ft TO A ffH/j-tTw. AAAa TJ-uftt.ou?, { vertex autem A punctum. Scd pyramis , cujus fj.ii/ i/rri TO eKA vfi-yuvov , ;:opvipti ft basis quidem cst KA trjgngulum , vertex au- TO A s-x/u/oc, op.oia. ifti%8>i l 9 Trup */j,ift , we tcnl A punctum, similis ostensa est pyramidi , j6{tV/? /xw tfl-r/ TO AEH rpiyavov , Kopup pup Si TO A quidem est ABF triangulum , vertex autem A fftipsiov, 0/u.oi* tffri wvpatpifi , Is fidei; (*iy punctum , similis est pyramidi , cujus basis qui- tfri TO AEH Tpi^avov, nopvipu ft TO f ZF, anrXda-iov \iAo'- 22 fj.a.TO.' itrcv apa, s-ri^ quoniam si sint duo prismata acqucalta , et liabcat unum quidcrn basim parallelogrammum, allcrurn vero triangulum , duplum autem sit pa- rallelogrammum trianguli , asqualia sunt pris- mata; a^quale igitur est prisma coutentum sub duobus quidem triangulis BKZ , E0H , tribus autem parallelogrammis EBZH, EBK0 , 6KZH KZH Ttf 7rp'nr/j.at.Ti TW w-pit%ciuii'ta VTTO fuo prismali contcnto sub duobus quidem triangulis (Ay Tftywitav TUV HZF, KA , tftuv fl 7Ty.pa.X- HZr,0KA, tribus aulemparalle]ogrammisK.ZrA, AiAo7pa^i//c TUV KZfA , AI~H0 , KZH, Kai AFH0, KZH. Et evideiis ulrumque prismatum tfartpov on ty.ciripw TWV TTpif^a.TWV , cw Te et cujus basis EBZH parallelogrammum, oppo- y.ctl TO /Jiv t fi Tpiyuvov, TOV Ttiyavw , if* cTi TO. irpf- TO Trp/V/xa TO Tripit- UTTO (TJo fJL\v Tfi^uvKV TUV BKZ , E0H , Tptuv fl 7ra.fai^H^^p^f^fJu>if Ttov EBZH , EBK0, point A. Mais on a dcmontre que la pyramide dont la base est le triangle 0KA, et le soramet le point A , est semblable a la pyramide dont la base est le triangle AEH et dout le sommet est le point; la pyramide dont la base est le triangle ABF, et dont le sommet est le point A esl done semblable a la pyramide dont la base est le triangle AEH et dont le sommet est le point 0; chacune des pyramides AEH, KAA est done semblable a la pyramide entiere ABFA. Et puisque BZ est egal a zr, le parallelogramme EBZH sera double du triangle Hzr (41. i). Mais deux prismes de meme hauteur, dont 1'un a pour base un parallelogramme, et dout 1'aulre a pour base un triangle, sont egaux entre eux, lorsque le parallelogramme est double du triangle (40. 1 1); le prisme compris sous les deux triangles BKZ, EH et sous les trois parallelogrammes EBZH, EBK, KHZ est done egal au prisme qui est compris sous les deux triangles HZF,KA et sous les trois parallelogrammes KzrA,AFH0, KZH. Mais il egl evident que chacun de ces prismes et celui dont la base estle parul- III. 17 i3o LE DOUZ1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. f}d.ns TO EBZH 7rapet^)tXcypcifjifjt.oy, airway- sila autem 0K recta, ct cujus basis HZr trian- T/OC fl if 0K ti/bm'ct , xa/ ou fia.irt;'*^, TO gulum, opposilum autem KA0 triangulum, majus HZF Tfiyuvoy, UTrtt'cwTiov ft TO KAQ rpiywov esse utraque pyramidum, quarum bases qui- fj.{iCpv ear/ tKctTtpaf TUV TT'jpafjiifcav , lav dern AEH , KA triangula , vertices autem , A /SaVs/j fj.lv TO. AEH, KA Tfiywa, , Kopucp*.} S~t puncta; quoniam et si jungamus EZ, EK rcctas , TO. , A Iffrt Tf Tiupx- TO EBZ yu/iTof, HJ /8aVv y.al sub acqualibus enim et similibus plauis conti-. xa; TO nentur; quare et prisma , cujus basis quidcm lelogramme EBZH oppose a la droite K, et celul dont la base est le triangle HZr oppose au triangle KA est plus grand que chacune des pyramides dont les bases sontAEH, KA et les sommets les points e, A; parce que si nous joignons EZ, EK; le prisme dont la base est le parallelogramme EBZH oppose a la droite K , est plus grand que la pyramide qui a pour base le triangle EBZ et pour sormnetle point K. Mais la pyramide qui a pour base le triangle EBZ et pour somrnet le point K, est cgale a la pyramide qui a pour base le triangle AEH et pour sommet le point e (dcf. 10. ii ), car elles sont comprises sous des plans egaux et semblables; le prisme qui a pour base le parallclograrame EBZH oppose a la droite K ? est done AEH -rpi- dcm AEH triangulum, vertex autem puuc- v S'< TO Q a-//e?!3c. Icrov Si TO p.iv turn. Sed ocquale prisma quidem , cujus basis TO EBZH wapaA- quidem EBZH parallelogrammum , opposita au- re w K ei/9s?a, TW tern K recta , prismati , cujus basis quidem TO HZF TfiywYOV, HZF triangulum , oppositum autem KA trian- e TO KA Tfiyuvov'- n Si Trupx/uCif, gulum; pjramis vero , cujus basis quidem AEH TO AEH rpiyuvov, x.opv$n S~l triangnlum , vertex aulem punctum, asqualis est pyramid! 7 cujus basis quidem 0EA triaii- ou Qoiiri; ou TO } Si TO A v t'l'f TI fuo vctpa/J.iS'a.i i PROPOSITIO IV. Si sint duoc pyramides sub eadcm altitudinc , triungulares habentcs bases , dividalur aulem ulraque ipsarum ct in duas pyramides TM C>M, x<* (/ fu6 TTfiff- interscelsimilestoli.ctinduoprismalaaequalia, Kct 'if a. , xa } Twi' yttefJivar TOV CtVTOl' TpOTTOr, KttiTOtJTO it} US Tiif p.lS.( TTVpeLfJLlftf $a.\rf one 7rvfa.fj.iai! UTTO TO CU/TO cvFtti fiasntf TO.*; ABr , AEZ, Ttt H, o-o/xs/a, y.ctt Z AA TM AT' /uei' BF Tf TS, H tfi EZ Tf Z* apa t; BE Trpof TJII' TS ct/TWf it EZ Trpoj TV Z4>. Ka) a.t'ctysypa.7TTcii ourra yusf Tay BI", T3 oftoto. ti y.a.} ofj.oia; Knaves, ii/8'jjfa.ufj.a. TO. ABF, AHF, aas . Et descripta sunt quidem ab ipsis Br, TE et similia et similiter posita rec- tilinca ABT , ASr , ab ipsis autem EZ , Z* et similia et similiter posita reclilinea AEZ, P*Zj est igitur ut ABF triangulum ad AEr triangu- lum ita AEZ triangulum ad P*Z triangulum ; la pyramide ABFH sont a tous les pristncs conlenus dans la pyramide AEZ, ces prismes etantegaux en nombre. Car puisque BH est egal a sr, et AA egal a Ar , la droite SA sera parallele a la droite AB (2.6), et le triangle ABF sera semblable au triangle ASF (4- 6 ). Par la merae raison, le triangle AEZ sera seroblable au triangle PM. Et puisque la droite BI est double de la droite rs, et la droite EZ double de la droite z$ , la droite Br sera a la droite rs comme la droite EZ est a la droite z. Mais les figures rectilignes semblables et semblablement placees ABr, AHr ont ete decriles sur les droites Br, rs, et les figures rectilignes semblab'es et semblablement pkcees AEZ, P^z ont ete decrites sur les droites EZ , z; le triangle ABr est done au triangle ASr comme le triangle AEZ est au triangle Pz( 22. 6); done, par permutation, i34 LE DOUZIEME UVRE DES ELEMENTS D EUCLIDE. tpaAAa^ apot lar/i/ w; TO ABr T^'iyuvov Trpif T permulando igiturcstut ABr triangulum ad AEZ AEZ rpiyurov cinu; TO ASF Tp/'^apOfS 71-00? Iriangulum ita AEr triangulum ad P'I'Z trian- TO P4>Z rpiyavoy, AAA &j TO AHF Tpiyavov gulum. Sed ut AEr triangulum ad P'I'Z trian- TO P'I'Z Tpij-wfoc ourag TO wp;V//ss, gulum ita prisma, cujus basis quidcm est AST *s'i> sor;9 TO AHr Tfiyuvov , awscar- triangulum, opposilum autem OMN, ad prisma, T/OC Z triaugulum , oppositum /y TO P*Z Tpi^urst', auTivaLvriov Si TO 2TY* aulem STT ^ ct ut igitur ABF triangulum ad a< ft;? pst TO ABr TfiyuTOV Trpo'f TO AEZ Tp/- AEZ triangulum ita prisma, cujus basis qui- ^-wfoi' ooT&if TO 7rp , opposita autem yetvrlev Si TO OMN, ot/raj TO jT-p/V/xct, oy 2T recta , ad prisma , cujus basis quidcm P'I'Z $air.'f /UEC EnP, a.7Tivenriov Si i 2T eufle/k, triangulum, oppositum autem STYj componcndo wpsf TO wpV^wa, oi /Saws /xsc TO P4>Z Tp/- igitur ut K.BSAMO , ASFMNO prismata ad yuvov, eLTnvafTiov $$ TO 2TV Z oppose a STY. Et puisque les deuxprismes qui sont dans la pyramideABFH sont egaux entr'eux, et queles prismes qui sont danslapyramide AEZ sontaussi egaux entr'eux, le prisme qui a pour base le parallelogramme KAHB oppose a la droile MO sera au prisme qui a pour base le triangle AHF oppose & OMN comme le prisme qui a pour base le' parallelogramme Enp* oppose a la droite 2T est au prisme qui a pour base le triangle Pz oppose a sir; -done par addition ( 18. 5), les prismes KBHAMO AHFMNO sont au prisme AHFMNO comme les prismes rmwrr , P*ZIT sont au prisme ASTMNO LE DOUZ.IEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. i35 a. nEfcPST P$Z2TY ASFMNO prisma ita nEP2T , F*Z2TY prismata P*Z2TT PfcZSTY ii ASF OUTKS TO ASFMNO fiffp*. .Off )f AEZ jSatwc' act) w? /:* TO ABF ad P*ZSTT prisma j pcrmutando igitur ut KBEAOM, AHFOMN ad nEZSTY pris- mata ita AHFMNO prisma ad P*Z2TT prisma. Ut autem AEFMNO prisma ad P*Z2TT prisma ita otensa est AZF basis ad P*Z basim, et ABF basis ad AEZ basim , et ut igitur ABr rpl? TO AEZ rpiyitror cu-ra; TO. \v triangulum ad AEZ triangulum ita in ABTH py- T ABrH Trvca.uiS'i iTu'o v^fJafta. TOO; TO. \v ramidc duo prismata ad in AEZ pyramide duo TM AEZ 7rvpa.fjiifi fuo TrpitrfjiaTa.. Opoiu; Z5TY; done, par permutation, les prisraes KBSAOM, ASFOMN sont aux prismes n:$PST, pi>z2TY comme le prisrne AHFMNO est au prisme P*ZSTY. Mais on a denoouire que le prisme AHFMNO est au prisme P*zrrY comme la base AST est a la base P'tz, et la base Asr est a la base PZ comme la base ABr est a la base AEZ ; le triangle ABF est done au triangle AEZ comme les deux prismes qui sont dans la pyramide ABFH sont aux deux prismes qni sont dans la pyramide AEZ. Si nous partageous de la rneme maniere les uouvelles pyramides OMNH , ZTY, la base OMN sera a la base STY comme les deux prismes de la pyra- mide OMNH sont aux deux prismes de la pyramide 2TYe. Mais la base OMN est a i36 LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. uf OMN fta.fi; Trplf tvt ~S.1t $iZ; et ut igitur basis ABr ad AEZ basim ita ct in ABTH pyramide duo prismata ad duo prismata in AEZ0 pyramide, ct in OMNH duo prismata ad duo prismata in STY pyramide, ct quatuor ad quatuor. Eadem autcm ostendcntur ct in pris- malibus factis divisione pyramidum AKAO ct AITPS , et omnium simplicilermultitudiue aequa- lium. Quod oportebat ostendere. I'cfs; la base 2TY comme la base ABr est a la base AEZ; car chactm des triangles OMN , STY est egal a chacun des triangles ASF , P*Z; la base ABF est done a la base AEZ comme les deux prismes de la pyramide ABFH sont aux deux prismes de la pyramide AEZ, comme les deux prismes de la pyramide OMNH sont aux deux prismes de la pyramide 2TY0, et comme quatre prismes sont a quatre prisrnes. On demontrera la meme chose pour tous les autres prismes qu'on obtiendra par la division des pyramides AKAO et ADPS ; et eufia de toutes les pyramides egales cu uombre. Ce qu'il fallait demontrer. LE DOUZIEME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. AH MM A. COROLLARIUM. Or; Si la-riv &( TO AST -r^lyavcv wpo? TO 1 TfijWCiV , C!/T6>f TO Vffflfif, CV @O.CI{ TO AST I rpfwvpy 3 a.7Tti r a.v~toif Z , O.TTO ttov H , xci&nct STT T ABr, AEZ Ka.} l-xit iTJo u8e/st/j T6 Hr xa aTo TotT H xa'SsTCf J?TO Tirafa.^.^ti^eay frriTrifup rav ABr, OMN Ti/LlVCVTCil , (If TDUf CtVTSUS A(/'^Cl/f T/xufliirocTa/. Ka TST/^JiTa/ H Hr tf/'^a t/5ro TOU OMN 57r/^f(Tou xaTa TO N' xa/ a-rro TOW H act xafirTic 7r< TO ABr s/r/VeiToc ^ tSy OMN, 2TY r fl yim^M ABFj AEZ per pendiculares j xquealta igitur TO. ABr, AEZ xa,QtTOi' ivov-iti apa. lirr* 3 to. , , , v sunt prismata , quorum bases quidem sunt 7rp;o7*ttT , &)f petntf /mtv tti > ^,XXT ^^^- " AEr Pu-3-)i rvy- prismatibus dcscripta, et xquealta , inter se sunt a^AiiAa \> perpendiculaires menees des points H, e aux plans ABr, AEZ sont egales enlr'elles; les perpendiculaires menees des triangles OMN, STY aux triangles ABr, AEZ sont done egales entr'elles ; les prismes qui ont pour bases les triangles AST, pZ seront entr'elles comme les prismes dont nous avons parle. Ce qu'il i'allait demontrer. LE DOUZIEME LIVRE DES E^MENTS D'EUCLIDE. 189 i. PROPOSITIO V. A/ VTTO 10 auTo He,; clffxi vvf^iftf 10} Pyramides in eadem altitudine existentes et t^oos-ai j8V/s Trpos aAXiiAa; eiric habentes triangulares bases inter se sunt ut bases. Sint in eadem altitudiue pyramides , quarum bases quidem triangula ABr, AEZ, vertices autempuncta H, j dico esse ut ABT basis ad basim AEZ ita pyramidcm ABITH ad AEZ9 pyramidem. VTTO TO eturo J4f 7rufa.ij.ifi?, Z>v jJ.lv TO. ABF, AEZ rfiywct, Kcpvfeti i TO. H, m/J.-c7o.' As'^w OTI IfTlv u; ABF crpof TV AEZ 1 $i?iv oiirus ti ABFH Tiix AEZ Ei >ap JWM 6ffr;c a; 11 ABF fiy.fi; vpo; fiiv Si enim non est ut basis ABF ad basim AEZ @x.s yivojutfttt TTU- a/mows faipfiif6uffu,v* 3 Kcii TOWTO tit} ttas oil Azip6a(r/ Tins vrufeifAiolf 0.7^0 at tiffiv l^cLrronf riff / AEZe vrvfetpif TOU xa; euTaa-af Ao'^cu a.1 AnP2, 2rT0- hciva. Ufa. TO. Iv ~iy AEZe 7rvf,a l uiS~i Trpieputrtt ptifyfa. \-vpa.[j,}i; Ti-po; t^etrrov n THf ABFH TTU- a; tfj.7rpoffjilft( f CLTCTTOV tS*tt%6' Dun a.f,ct tTTlv"^ us ii ABT Trpoj ran AEZ $ii ABFH 770- -po; fjLil'^cv rt -ru; AEZe vvfafjiifcf ffrtfiov. E UTTQ TO ctvTO v-y-o; Trv at &a.ms piv T*. ABFAE, ZH0KA u "OTI \TT\V tices autem M , N puncta ; dico esse ut ABFAE ZH6KA fiatriv basis ad basim ZH0KA ita ABFAEM pyramidcm wps TC ZH6KAN ad pyramided ZH9KAN. yap acl AT, AA,Z0, ZK. Jungantur enim ipsa?Ar, AA , Z0 , ZK; TU oSv Suo Trupctp.iS'ts t'ldtv a.1 ABFM, AFAM Quoniam igitur duae pyramides sunt ABPM , t%avtrcti fixfftic , y,a.\ i/4f im 5 AFAM , triangulares habentes bases, et altitu- tltriv u>; a.1 @a.)^ AAEM Tru^dfj.iS'at.' s; >/ ''i.T^rt' v u-vf-o; HTQV ' tfTtf oifa. u>; AAE jia.iri; Trpog ZKA @ci? ABFAE /3aV/!T srpo? THV AAE $aw oSrwf H ABFAEM AAE fittf!? "Trpof TMf ZKA (&n.fn AAEM mipct/JLi; Trpof TMV ZKAN ap* w? ABFAE fidiris Trpcf TC ZKA ctlraj ABFAEM Trypa^uj? wpcf TV ZKAN Trupa/x/iTa. AAAa /x.5i< Jc wf i) ZKA jSaV/? Trpcf TC ZH0KA /Sacr/f oi/T? v xa* H ZKAN Kvpx/jit; crpo? Tf ZH0KAN TT y.a) (T/iVoy TTaX/f 8 apa wf ABFAE $O. J BA* 'irov apa irrrl TO ABA Tfiywrct T^ EAB Tp;^ &'&) /a/ 11 wu- c.a.y.i; apse, MS /3aV/f //sv TO ABA Tftywcv , EO- ) t^s TO T fl-D/^'Joy , JVn IO-T) 7rvpar./j.ifa , we TO EAB T/^wcof, xowipii JOT/ TO ABA rpi- Jgitur, cujus basis quidem est triangulum ABA f Kcpinfii ft TO T o-Hjue?oc , in IFT'I wop- vertex autem punctum r , aequalis est pyra- f j8aV/f /xsV ttni TO EBF Tp/j-wcoc, midi, cujus basis quidem est EBr triaugulum , i (Ts TO A fftt/JLtiav. Uci^ir, l-xti 7ra.pa.h- vertex autem punctum A. Pmrsus , quouiam t/rri TO ZFBE , TCt/ i) TE, Tirol' lor} TO EFZ TEE -Tfi^uvtf xa.} rrupctu.i; apa. , JK ITT/ TO BEr ifi^uttv^ r.cpvpn (T: TO A TO BrE Tp TO A 5-K//s7oi', !V)I tii%Qn TTVf H? /Sacr/? JUST s 5"T< To ABA Tp/'^&)!'0i', Hc TO I o'nueTcf' xai 7rvpx/j.if tipo., DC TO TEZ rpiytivtv , xopt;iTa; apa turn A. Pyramis aulcm. cnjus basis quidem cst ETE triangulum , vertex aulem punctum A, a:qualis ostensa est pyramidi, cujus basis quidem cst ABA triangulum , vertex aulem punctum T; et pyramis igitur, cujus basis quidem estrEZtrian gulum , vertex autem punctum A , a:qualis est pyramidi , cujus basis quidem est ABA triangu- lum, vertex autem puuctum T; dividilur igitur triangle ABA, et pour sommet le point r, est done egale a la pyramide qui a pour base le triangle EBT, et pour sommet le point A. De plus, puisque la figure ZFBE est un parallelogramme qui a pour diagonale la droite TE, le triangle Erz est egal au triangle FEE ( 34. i );la pyramide qui a pour base le triangle BEr,et pour sommet le point A, est done egale a la pyramide qui a pour base le triangle Erz , et pour sommet le point A (5. 1 1 ). Mais ou a demontre que la pyramide qui a pour base le triangle BFE , et pour sommet le point A, est egale a la pyramide qui a pour base le triangle ABA, et pour sommet le point r; la pyramide qui a pour base le triangle FEZ, et pour sommet le point A, est done egale a la pyramide qui a iour base le triangle ABA , et pour sommet le point r; le prisme ABFAEZ cst done i48 LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. TO ABfAEZ vptirfjia. tie r fit's TrvpafJiifttf 'lints ABTAEZ prisma in Ires pyramides scquales inter , Tfiyuvoue t%evrat fiiiffntf). Ka) se, triangularcs habentes bases. Et qnoniam py- MS $*V/f IJAV ttrrt TO ABA ramis, cujus basis quidem cst ABA triangu- Tfii-)u>vcv, xopvifYi Si TO r (TM/XS/CC , i) O.VTH lum , vertex autcm punctum r , cadcm est cum 7rVfct.fJi.if), if fia.fi; /uilii to TO FAB Tp<- pyramide, cujus basis quidem TAB triangulum', ii i AB wpo? TWV AE CUTW? Br Trpo; TMC EZ, K.O.} TTipt 'tffetf yteVHtf at titrn" c/uiaiotr apa. 4 / f, V \ aca frTfpea u^o cf^oicav nrnr'.owv i/rav TO TrAjiflof 7rsp/'%eTaA c^s/ec apa s,- ' Ao'^/M 65T Tr CfjiO^CyUV W^tUfUV TO BHMA apa irrspsof crpo? TO-EeHO triple,!* Tfi- o Br Trpcs TWC IfJi'j^oycv Trhtvpctv TV EZ. Xlf ^e TO BHMA m-epscy wpo? TO E0HO 9Tjie ef/Tas ABFH irvpetfMf Trpcs -rvv AEZ0 TU- fetpifx, l7riif7rtp Trvfct/J-}; txTOV pipes '^~n TOU irr-ptoS, fta. TO xctt TO Trpitr/JLO. iipm ov TCU TH? Trt/fa/x/cTo;' xa) ABPH apa 8 vrpos Tiiy AEZ0 Trupajuiftt TfiTrhctweva. Ao s/ Ji'^-s BF Trof TC EZ. ELEMENTS D'EUCLIDE. i5i tria vero En , EE, EP rribus oppositis et equalia et similia sunt; solida BHMA , E0IIO igitur similibus planis numero oequalibus continentur; simile igilur est BHMA solidum solido E0no. Similia autem solida parallelepipeda in Iriplicata ratione sunt homologorum laterum ; soliduni igitur BHMA ad soliduni E0HO Iriplicatam ra- tionem habetejus quam habet lalus homologum Br ad homologum latus EZ. Ut autem BHMA soliduin ad solidum E0IIO ita ABFH pyramis ad pyramidem AEZ0 } quia pyramis scxta pars est ipsius sohdi ; et prisma , dimidium exis- teiis solidi parallclepipedi , triplum est pyrami- dis; et pyramis igitur ABTH ad pyramidem AEZ0 triplicatam rationem liabct cjus quam BF habet ad EZ. Quod oportebat ostendere. opposes , et les trdis parallelogrammes En, E~, EP sont aussi egaux et semblables aux trois parallclogrammes opposes (24. n ); les parallelepipedes BHMA, Eeno sont done compris par des plans semblables et egaux en norabre ; le parallele- pipede BHMA est done semblable au parallelepipede Eeno ( def. 9. 1 1 ). Mais les parallelipipedes semblables sont entre eux en raison triplee de leurs cotes homo- logues ( 53. ii ); le parallelepipede BHMA a done, avec le parallelepipede Eeno, une raison triplee de celle que le cote homologue Br a avec le cole homologue EZ. Mais le parallelepipede BHMA est au parallelepipede Eeno cornme la pyramide ABFH est a la pyramide AEZS ( i5. 5 }, parce qiie la pyramide est la sixieme panic du parallelepipede, et que le prisme triangulaire qui est la moitie du paralle-* lepipede est le triple de la pyramide ; la pyramide AErH a done avec la pyra- mide 4Eze une raisou triplee de celle que BF a avec EZ. Ce qu'il fallait demoa- trcr. LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. riOPISMA'. En ? \v T 'n*p& fj.ia. t%cvffei fi i i%ou on TUV ABFH , AEZ8 puncta ; dico pyramidum ABFH, AEZ0 reci- procas esse bases altitudinibus, et esse ut ACT ABF fidffif Trpof TVV basis ad AEZ basim ita pyramidis AEZ alli- AEZ $i ABr Tp/^wfccwpcj TO AEZ xdiuscifizTO AErTp/^&JvocTT-pcjTO AEZ OVTUI; TO TCU EHO ffrtpicu u-^c; Trpsj TO TCU BHMA o^Tspscu S4oj. AAAa TO ^sc TOW pSOt; t!-v}-0f TO ct^TO 40~T/ TW TC AEZ S4e/ , TO ^ TOU BHMA ffripsou v-^o; TO CtUTo' 8'->{-'='' e5* Tr &pa ABFH, AEZ 3 WVfttftifuv uvTiTTt'Trovfta.s-iv ai j) TWC ABFH , AEZ ELEMENTS D'EUCLIDE. pyramidi AEZ0 , ct est pyramidis quidem ABTH sextupulum BHMA solidum , pyramidis vero AEZ0 sextupulum solidum E0no ; a:quale igitur 3HMA solidum solido E0no. JKqualium autem sohdorum parallelepipedorum reciprocal sunt bases altitudinibus; est igitur ut BM basis ad EH basirn ita E0HO solidi altitudo ad al- titudinem solidi BHMA. Scd ut BM basis ad En basim ita ABr triangulum ad triangulum AEZ; et ut igitur ABr triangulum ad triangulum AEZ ita solidi E0no altitudo ad altitudinem solidi BHMA. Sed solidi quidem E0no altitudo eadem est cum altitudine pyramidis AEZ0 solidi vero BHMA allitudo cadem est cum al- titudine pyramidis ABfH; est igitur ut AET basis ad AEZ basim ita AEZ0 pyramidis altitudo ad altitudiuem pyramidis ABTH ; pyramidum ABTH , AEZ0 igilur bases suut reciprocal alti- tudinibus. At vero pyramidum ABrH, AEZ0 reciprocse siut bases altitudinibus, et sit ut ABT basis ad egale a la pyramide AEZ, que le parallelepipede BHMA est le sextuple de la pyramide ABrH, et que le parallelepipede Eno est aussi le sextuple de la pyra- mide AEZ , le parallelepipede BHMA sera egal an parallelepipede no ( i5. 5 ). Mais les bases des parallelcpipedes egaux sontreciproquement proportionnelles atix hauteurs ( 34. n); la base BM est done a la base En corame la hauteur du parallelepipede E0no est a la hauteur du parallelepipede BHMA. Mais la base BM est a la base En comme le triangle ABr est au triangle AEZ ; le triangle ABF est done au triangle AEZ comme la hauteur du parallelepipede E0no est a la hauteur du parallelepipede BHMA. Mais la hauteur du parallelepipede E@no est la meme que la hauteur de la pyramide AEZ, et la hauteur du parallelepipede BHMA esl la meme que la hauteur de la pyramide ABFH ; la base ABr est done a la base AEZ comme la hauteur de la pyramide AEZ est a la hauteur de la pyramide ABFH; les bases des pyramides ABFH, AEZ sont done reciproquement proportionuelles aux hauteurs. Si les bases des pyramides- ABFH, AEZ sont reciproquement proportionnelles LE DOUZlEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. i55 w; i ABr /SotV;? wpo? Tx AEZ $dTo' TW EnO ^apaAAMAs^/we'i **,\* / l\ ^ I \>/> fo{ TO auro S TOU BHMA JrotpxhXtihtTwrifov i-^u' irriv apx. to( ii BM ficiffis 6 vris ry EH i56 LE DOUZ1EME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. TO TOU E0I7O irapa.hhMfamTriS'ov v^cs Trpoj TO TOU EHMA 5TpAAX67r/5T/of']. Hv ft yrtfiav wrfpoAAx^iw/TrscJW a.vTiTrt-Trov&itffiv act fititrti; TO?? l-^tfiv iffat, \ffriv tKi7vtt' foot afa. ear) TO BHMA fTiptov wapctAAwAe^VscToi' fS E0I1O ffrifsy wapaAAJiXew/Trsifiw. K/ fjitv BHMA tKToif [tipci; ABFH Si EnO -TspioD9 yu.!po? AEZ TrvfX/MC 'iffti ap >i ABTH /^V an- dratum dimidium est circumscripti j ct sunt ab 7fptcfj.a.ra. iis erecta solida parallelepipeda prismata aeqnc- dri:quoniam si circa circulum ABTA quadratuai T o5 describatur ; inscriptum in circulo ABFA qua- tna.fjn\a. a-ripa*. Ifft>v4' TO. ft CTTO TO 7rapaAXMAs7j-/7Te(Ta Trptf xai TO STTI TOU ABrA ap , , , , . aLva.fra.biv TrpirfAa. ]Mffu \ffrt TO > \ ~ \ v O.TTO TOU ?rtpi TOC ABFA >fow 5 i t tip \xa.rrou superius ostendimus. Erigantur ab uuoquoque ruv AEB, BZF, FHA , A0A rpiywm irpis-fjiarct iriangulorum AEB , BZF, FHA , A0A prismata " " \.y r xuA/i /pa' xcc] "ixcto-rov apz ruv a.t r a.r- asquealta atque cylindrusjetunumquodqueigitur ruv TTfi'TfJi.a.rav p.tiQv i- TA , AA ducamus et compleanius ad ipsas AZ , pw, KOI (ru[j.tv ret nr} ruv AB, BF, BF, TA , AA paralllogramma , et ab ipsis eri- gamus solida parallelepipedaaequealta atque cy- lindrus , uniuscujusque erectorum dimidia sunt prismata in AEB, BZr, FHA, A0A trianerulis: ra. vpitr/^itra. ra. ITTI reav AEB, BZF, FHA, A0A ip^iW- / tVr/ ri rcS et sunt cylindri segmenta minora erectis solidis ATTOV ruv ava. A0A prismata majora sunt quam ffpia-fJMTit /Wow tfTiv >> TO A/tutu rw uati dimidium segmentorum cylindriin quibus sunt; IO.UTO. TOO" ttubhtyw TfiHifMiTuv' re'/wom? se cantesutiquereliquascircumferentiasbifariam, ft, -ra.g I'lr&u'irwiva.f *ipivuvvtswbiia.s, KO.} avirreivrtf \<$ mJiffTou . . . .. , trzangulorum prismata aequealta atque cylmurus, Tuy rp/T-afwc Tro'ir/Jcna. ]ii e * hoc simper facientes , relinquemus qusdam aai TCUTO au\ TTCICVVTIS , Karcttei-yc/jiiv TIVOL , i .1 f, * / >, ' secmentacyHndriquae eruntminoraexcessu.quo aTrs^uHjUaTa Ton xuhivdfcu , a ta-reti 6Aa.T- J rout Tt vmpoxjif , f wpwi o xfaivfys u P"at cylindrus triplum coni. Reliquantur, et TOU TflTT^Affiou TCU Kwvou. Alfoi , Kcti ta"Ti0 sint AB , EB , BZ, Zr, TH , HA, A, A; Ta AE, EB, BZ , Zr , TH, HA, A, A' reliquum igilur prisma , cujus basis quidcm lotvov apct TO vpiffM, , ou /3a v ~ AEBZtHA vohvyuvov , tof-Of Jt TO at/To TU .. , . . . ' , ^ quse cylmdn , majus est quam triplum com. , ^ w, /U?r*C sffT/f ^ wpiTrheiiricir TOU nuvov. v ', , , \ oed pnsma, cujus basis quidem est AEBZPHA0 TO 'Trttrptt , ou ftitfis . r>\ i \ polygonum, altitudo autem eadem qua; cylindri. AEBZIHA 'Trohuyuvov , v-^Cf die TO WTO T^> r '" J xu>/KTp&), rpmlwov Sari 6 T>K wwpa^af, triplum est pyramidis , cujus basis quidem poly- .; jSctir/s yt*6f eT/ TO AEBZFHA woA^acoi', gonum AEBZFHA, vertex autem idem qui com'; xcputpu Si n ttinn ry xavif x.a.1 TrvpajAtt; ctpsi, et pyramis igitur, cujus basis quidem poly gonum ir iwi/oi', KO- AEBzr HA0, vertex autem idem coni , major TOU TOC ABFA xvxAoc. parallelepipedes; les prismes qui ont pour bases les triangles AEB, szr, FHA, AA sont done plus grands que les moities des segments du cylindre danslequel ils sont places. Partageons les arcs restants en deux parties eg ales, menons les cordes , sur chacun des triangles elevens des prismes qui ayent la meme hauteur quele cylindre, et faisons tou jours la meme chose, ilreslera certains segments du cylindre qui seront plus petits que 1'exces du cylindre sur le triple du cone (i. 10). Qu'on ait ces segments restants; que ce soient les segments AE, EB, BZ, zr, ra, HA, A, A; le prisme restant, dont la base est le polygone AEBZFHA, et dont la hauteur est la meme que celle du cylindre, sera plus grand que le triple du cone. Mais le prisme dont la base est le polygone AEBZFHA , et dont la hauteur est la merae que celle du cylindre, est triple de la pyraraide dont la base est le polygone AEBzrKA, et dont le sommet estle meme que celui du cone (7. 12); la pyraraide dont la base est le polygone AEBZFHA, et dont le sommet est le meme que celui du cone est plus graude que le cone dont la base est le cercle LE DOUZIEME LIVRE DES xai yap Cir O.UTOU cTpoj LTCV r. apa far*? o ut/^0)V Tp5rAsioc9. CTI cwJI ATTW H SB-Tic rp/57-Aair/o? 10 TO? Kumu. E* >ap JVMTOP H Tp/wAasvo? o xt/A/VJp? TCV ' apa o r.oirsf TC-J xt/A/rctyou [Jitifytt l 4 \ ~ apet TiTp27!'GC yUHCOl' t^T/l' TO Vp.la wupa/xi? TO HfJUOTJ (Ui'pOf TOt/ X6>I'OU, IS'tixtuntr , CTI la: wcp/ TO ABFA H//./ITU TCW Trep Tc TtTfctyuvcu*' 2 ' no.} sai' a^ro Tw Kcavea, a. KO.I a.vatrra.^lv OLTTO TOU ABrA TSI; ws/ TOC ELEMENTS D'EUCLIDE. 161 et minor, comprehenditur cnim ab ipso, quod esl impossible ; non igilur cst cylindrus major quain triplus coni. Dico ct ncque mi- norcm esse cylindrum quam triplum coni. Si enimpossibile , sit minor cyliudrus quam triplus coni; invertendo igitur conus major est quam tcrtia pars cyliudri. Describatur igilur in ABFA circulo quaclratum ABrA quadratum igitur ABTA majus est quam dimidium circuli ABTA. Et erigatur a quadrato ABrA pyramis, verliccm cumdem babens quern conus ; erecta igitur py- ramis major est quam dimidia pars coni; quo- niam , ut ante demonslravimus , si circa cir- culum quadratum describamus , erit quadratum ABrA dimidium descripti quadrati circa cir- culumj et si a quadratis solida parallelepipeda erigamus sequealta atque conus, quac et appcllan- turprismala; erit erectum a quadrato ABTA dimi- dium erecti a quadrato descripto circa circulum , inter se euim sunt ut bases ; quare et tertige ABFA. Mais la pyramide est plus petite, car le cone la contient, ce qui est im- possible ; le cylindre n'est done pas plus grand qae le triple du cone. Je dis enfin que le cylindre n'est pas plus petit qne le triple du c6ne. Car que le cylindre soil plus petit que le triple du cone, si cela est possible; par inversion , le cone sera plus grand qne la troisieme partie du cylindre. Dans le cercle ABFA decrivons le quarre ABFA; le qnarre ABrA sera plus grand que la moitie du cercle ABFA. Sur le quarre ABFA elevens une pyramide qui ait le meme sommet que le cone ; cette pyramide sera plus grande que la moitie du cone ; parce que si nous circonscrivons tin quarre au cercle, le qnarre ABFA sera la moilie du quarre cir- conscrit a ce cercle, ainsiqtie nous I'avonsdemontre plus haul, et si sur ces quarres nous elevens des parallelepipedes de meme hauteur que le cone , c'est-a-dire des prismes, celui qui sera eleve sur le quaire ABFA sera la moitie du prisme.eleve sur le quarre circonscrit, car ces prismes sont entr'eux comme leurs bases ( 5a. 1 1 ); III. 21 LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. ficiffti;' uirri xa ra, rpira,' paries ; et pyramis igitur cujus basis quadratum xcti 7rvpetf-ii? fl p a j MS @d. tffTIV H txa.v XATATW ctl-rov ramidum sic erectarum major est quam di- fjiti&v tffrivn TO fain rou xo.8 Uvfo midium segment! coni in quo est. Secantes ou xwcoo'4- Ttpvovrif v xuvov, a. "vrreu sAarroc* rtis UTtt- erunt excessu, quo superat conus tertiam par- vmpi^tici KWOSTOU rpirov fjupcusrou tern cylindri. Ilelinquantur , et sint qua; in v. AeA/ipfl , x) Iff fa T ITT) TK AE , ''psis AE , EB , BZ, ZF , TH , HA , A0 , 0A; re- EB, BZ, Zr, TH, HA, A6, 0A' AO/WM ajs* liqua igitur pyramis, cujus basis quidem est poly- TTufctfj.1; , ws Pdrif piv Iffrt TO AEBZIHAe gonum AEBZPHA0, vertex autem idem qui coni, yrotiyurov, xopvipn f a.tn T? KUVU , pif&v major est quamvtertia pars cylindri. Sedpyramis, Tfhev pipo; TOU itvtit'fpeu. AAA cujus basis quidem est polygonum AEZrHA0, t)?, f /8a-/f fJiiv \ffri TO' AEBZFHAe altitude autem eadem quae coni ; tertia pars est M awTi) T5 Kat'ji, rp/Tdx prisrnatis, cujus basis quidem est AEBZTHA0 ,VT yue'pof'6 T oy wpitrfJUtTog , ov fia.ri; pit polygonum, altitude eadem quae cylindrijprisma tffTi TO AEBZrHAe Trotiyuvov , v-^tf & TO igitur, cujus basis quidem est AEBZrHApolygo- a^To TW xuhivfpu' TO apo. TrpVfca , o /8aV;f num , altitudo autern eadem qua? cylindri,majus /*e'v \s~ri TO AEBZIHAe woAJ^ai'oc, 24o? & cst cylindro , cujus basis est circulus ABPA. TO auTO TW Xt/Ajf)'Act/j tifjv U( tl @a. ,8'titrn-f fur. tlrit 1 ol ABrA,EZHQ a4f*< Si o! KA, MN, fodfjaTpoi ap /WM , eirra/ 3 wf o ABFA xvicXt; Trpo? TOV EZ.H Kur.fav tvrtof o AA Kwcof MTO<* vrof Iif eadem altiludine exislentes coni et cylin- dri inter se sunt ut bases. Sint in eadem altitudine coni et cylindri , quorum bases circuli ABFA, EZH0, axes autem KA, MN, diametri vero basium AT, EH; dico esse ut ABFA circulus ad circulum EZH0 ita conum AA ad EN conum. Si enim non , erit ut ABrA circulus ad circuhum EZH0 ita conus AA vel ad solidum ABrA. Mais le prisrae est plus petit que le cylindre , car le cylindre contient ce prisme ; ce qiii est impossible; le cylindre n'est done pas plus petit que le triple du cone. Mais on a demon tre qu'il n'est pas plus grand que le triple; le cylindre est done le triple du cone ; le cone est done la troisieme partie du cylindre. Done, etc. PROPOSITION XL Les cones et les cylindres qui ont la meme hauteur sont entr'eux comme leurs bases. Solent les cones et les cylindres de meme hauteur, dont les bases sont les cercles ABFA, Ezne, don l les axes sont les droites KA, MN, et qui out pour diametres de leurs bases les droites AF, EH; je dis que le cercle ABFA sera au cercle EZH conime le cone AA est au cone EN. Car si cela n'est point, le cercle ABFA sera au cercle EZHO comme le cone AA LE DOUZIEME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. i65 OYTI TOU EN xwrou srtptov 57-pc? w/or. aliquod minus cono EN vel admajus. Sitprimum EOT*. vpoTtpof wpos &&TTOV TO 3 , xttl $ **a.w ToS EN xwcv ixiirtp }'rov EN huic aequalc sit* solidum : conus igitur EN TO V 9-Tspscr o EN tiSvts *f* iVev JOT* est xqualis ipsis S , * solidis. Describatur in EI >&>pa'ffl6&> t/f Toy EZH0 EZH0 circulo quadratum EZH0; quadratum i gi- ro EZH0- TO ap* TTpa7&)- t ur majus est quam dimidium circuli. Erigalu* vw fMl&v \rtiv TO H/uttv TOU xix\ov. Artr- a quadrato EZH0 pyramis aequealta atque conus; EZH0 TtTC&yurcv 77vc,xu}g erccta igitur pyramis major est quam dimidium, t \' KOLI txd/rTM cipo. TUV irvpatft'if'uf /nt?t,at \7-cw TO TOtJ KO.&' / K Tt; , x*TaAs;'4%"''' TU> Kara, zx.} 0.1} TOUTO S TTS/OUC- rofi a X/ip6a, Ka} e AA KU>VU. T*7Ttl QUV IfTIV to? TO CL7TO THf AF "POSf TO O.7TO TKS EH OUT; TO ATATBOFX TroKvyuvov Ttpo? TOV OEFIZPH2 TToXvyuvov , u; Si TO O.TTO TH; AF xpcs TO a.7ro riff EH OVTU; o ABFA xu/tAcf TOV EZH xyKXoi'' net] a; ecpa, o ABFA Trpo; TW EZH KVH^OV CUTUI; TO ELEMENTS D'EUCLIDE. 167 culo ABFA ipsi OEUZPHS polygono et simile et similiter positum polygonum ATAYBrx , et erigatur ab ipso pyramis aequealta alque conus AA. Quoniam igitur est ut quadratum ex Ar ad ipsum ex EH ita ATATBv evTug o AA K.UVOI; Trpof TO 2 conns AA ad S soliclum; ct ut vero polygc- (mpicv,af ft TO ATAYB*FX -xohvyuvov fpoc num ATA TB*rx ad polygonum OEHZPHSita TO OEFIZPH2 Tro^vyai'ov ouTUf ti Trvpctfj,}; , Jif pyramis, cujus basis quidem ATATBFX iroXvyuvov , xcpu^ii gonum , vertex autem punclum A , ad pyrami- de TO A (TH//S/W , Ttpos THV vu pa.p.iS'ix. , c Aem, cujusbasis quidempolygonnmOEnZPH2, jwec TO OEnZPHS w un polygone ATATB^rx qui soil semblable au polygone OEnzPHS, et semblable- ment place, etsurle polygone ATAYBrx elevens une pyramide qui ait la meme hauteur que le cone AA. Puisque le quarre de Ar est au quarre de FH comme le polygone ATATE*rx est au polygone eoEDZPHS ( 20. 6, et i. 12 ), et que le quarre de AF est au quarre de EH comme le cercle ABFA est au cercle Ezne (2. 12); le cercle ABFA sera au cercle EZH comme le polygone ATAYBOIX est au polygone OEHZPHS ( 1 1. 5 ) . Mais le cercle ABFA est au cercle EZH comme le cone AA est au solidc 2, et le polygone ATATB^FX est au polygone OEHZPHS comme la pyramide qui a pour base le polygone ATATBOFX, et pour sommet le point A est a la pyramide qui a pour base le polygone OEFIZPHS, et pour som- 1 68 LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. ft TO N ffiifAilov Kelt u>s ctfa. H AA xuvc; TO S fTtftCV CtlTW? 77t/p///f, HJ /3a'(TJJ yUJC TO ATAYBOrX TroA^fflcsf , *cpu

V , TO >OEriZPH2 TTO A (,'}&>!> or, Kcputpii ft TO N i OT/ ^ ta-T/c wf o ABTA Kvr.hof TTftG; TCV EZH0 xy^Aoc CUTU; o AA cf //e/^o'c T/ TSU EN E/ TO ABrA afo. lirriv us EZH0 xu^Ao? Trpo? TOP v cu-ru; TO S ffTiptov Trps; TOV AA vertex autem punctum N; ct ut igittir conus A A ad E solidum ita pyramis , cujus basis quidem polygonum ATATB*rx, vertex aulem A punc- tum, ad pyramidem, cujus basis quidem polygo- num 0OEnzPH2, vertex autem N punctum; per- mutando igitur cst ut conus AA ad pyramidem qnae in ipso est ita solidum S ad pyramidem quae est in cono EN. Majoraulem conus AA pyramide quae est in ipso ; majus igitur et solidum pyramide qua; in cono EN. Sed et minus, quod absurdum; nou igitur ut ABTA circulus ad cir- lum EZHQ ila AA conus ad solidum aliquod minus cono EN. Similiterostendemus, nequeesse ut EZH0 circulus ad circulum ABTA ita conura EN ad solidum aliquod minus cono AA. Dico ncque quidem esse ut ABFA circulus ad cir- culum EZH0 ita AA conam ad solidum aliquod majus cono EN. Si enim possibile, sit ad majus E , inverteudo igitur est ut EZH circulus ad circulum ABrA ita solidurn S ad AA co- met le point N (G. 12); le cone AA esl done au solide S comme la pyramide dont la base est le polygone ATAYBFX, et le sommet le point A, est a la pyramide dont la base est le polygone OEDZPHS etleeommet le point N; done , par permutation , le cone AA est a la pyramide qui lui est inscrite comme le st>lide H est a la py- ramide insciite dans le cone EN. Mais le cone AA est plus grand que la pyramide qui lui est inscrite; le solide S est done plus grand que la pyramide qui est ins- crite dans le cone EN. Mais le solide S est plus petit que cette pyramide, ce qui est absurde; le cercle ABFA n'est done point au cercle EZH comme le cone AA est a un solide plus petit que le cone EN. Nous demon- trerons semblablement que le cercle EZH n'est point au cercle ABFA comme le cone EN est a un solide plus petit que le cone AA. Je dis enfin que le dercle ABFA n'est point au cercle EZH comme le cone AA est h un solide plus grand que le cone EN. Car que ce soit a un solide H plus grand, si cela est possible; par inversion, le cercle EZH sera au cercle AEFA comme le solide s est au cone AA. LE DOUZ1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 169 ', A>A' of TO S rrip-tov Trpof TOV AA xuvov num. Scd ut S solidum ad AA conum ita co- tXcLTTov TI TCU AA BUS EN ad solidum aliquod minus cono AA et ut igitur EZH circulus ad circulum ABrA ita conus EN ad solidum aliquod minus cono aS*uva.Tov A.A., quod impossible ostensum est; non iA* ug o xwvo; n XUfOV OUTffif' 3 Xt/A/PlTpOf TTpOf TOV TpiTthxtriuv yap txctrtpoe txemptv' net} ABFA xt/'xXof wpof TQV ZH0 xuxhov 01 ITT ctuTuv Ifou-^t7f ro/V KUVOI; O/ oifce. VTTO , no.} TO. t^Hi. Ostensum autem est neque ad minus ; est Jgitur ut ABTA circulus ad circulum EZH Jla conus AA ad EN couum. Sed ut conus ad conum ita est TOV cjlindrus ad cylindrum, triplus enim utcrquc 0( , j utriusque; et ut igitur ABTA circulus ad cir- culum EZH ita cylindri in ipsis aequealti conis. Sub eadem igitur, etc. apse, Mais le solide s est au cone AA comme le c6ne EN est a un solide plus petit que le cone AA ; le cercle EZHO est done au cercle ABFA corarae le cone EN est a un solide plus petit que le cone AA , ce que nous avons demontre impossible; le cercle ABFA n'est done point au cercle EZH0 comme le cone AA est a un solide qiielconque plus grand que le cone EN. Mais on a demontre que ce n'est point a un solide plus petit ; le cercle ABFA est done au cercle EZH comme le cone AA est au cone EN. Mais un cone est a un cone comme un cylindre est a un cylindre, car un cylindre est le triple d'un cone ( 10. 12 ) ; les cercles ABFA, EZH sont done en- tr'eux comme les cylindres qui ont ces cercles pour bases et dont les hauteurs sont egales a cellfis des cones. Done , etc. III. LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. O ofAOioi xwvoi Kit} xuA/fffpo/ tv TtirfMfittl Ao'> 6w or; o ttSrot , oS jSaavf fisf Iff-m 2 o ABFA KUK^C?, xcpvifti S\ , wpos roc xwcof, BU ^acr/;//if 6ff'T(y xcpuipH cTs 3 TO N GV crtpiiv \oyov, n Trpls /Julfyv. E%S'T&> wpcrtfov wpsf tA^TTOi' 5 TO S , xa} \-}yr}py.ifiQtt> tif TOC EZH xvxhov Ti-rpa.yai'ov TO EZH0' TO apa EZH TO ttj.isn TOV EZH0 E< PROPOSITIO XII. Similes coni et cyliadri inter se in triplicate, ratione sunt diametrorum basium. Sint similes coni et cylindri, quorum bases quidem circuli ABTA , EZH0, diametri vero basium BA , Z0 , axes autem conorum et cy- linclrorum KA , MN dico conum , cujus ba- sis ABTA circulus, vertex autem punctum A, ad conum , cujus "basis quidem est circulus EZH0 , vertex autem N punctum , triplicatam habere rationem ejus quam liabet BA ad Z0. Si enim non liabet conus ABTAA ad conum EZH0N triplicatam rationem cjus quam BA . ad Z0 , habebit ABFAA conus vel ad soli- dum aliquod minus cono EZH0N triplicatam rationem, veladmajus. Habeat primum ad mi- nus E , et describatur in EZH circulo qua- dratum EZH0J quadralum igitur EZH0 majus cst dimidio EZH circuli. Et crigatur a qua- PROPOSITION XII. Les cones et cylindres semblables soul entr'eux en raison trlplee des diameires de lours bases. Soient les cones el les cylindres semblables dont les bases sont les cercles ABPA, EZH, dont les bases ont BA, z pour diameres , et dont les axes sont les droitesKA, MN; je dis que le couedoatla base est le cercle ABFA, et lesommet le point A, a avec le cone dont la base est le cercle EZH, et le sommet le point N une raison iriplee de celle que BA a avec z. Car si le cone ABFAA n'a pas avec le cone EZHN une raison triplee de celle que BA a avec z, le cone ABFAA aura avec un solide quelconque plus petit ou plus grand que le cone EZHN une raison triplee de celle que BA a avec z. Que ce soil d'abord a un solide s plus petit. Dans le cercle EZH declivous le quarre EZH ; le quanc EZH sera plus petit que la moitie du cercle EZH. Sur le quarre LE DOUZIEME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. 171 . Ka ivttrra.ru in} roS EZHQ rtrpa- drato EZH pyramis eumdem verticem habeas ywou irvp*(*.is rv *lrv xofvtpiv i^ova-a? r$ quern conus; ergo erecta pyramis major estquam Kai'a' n a.pa. iva.fr a^uya. Trupaf*}; /Ui/'fwF eyrie dimidia pars coni. Itaqvfe secentur EZ ZH TO fi/(ru ^e'po? TOW KMi-cu. TsT^tx'irflajiroti/ i BA Trpc; THC Z olnun; o KA ac vplf TOC MN afopa. flf \_ 3U. ASA/^y&), )frti tff'TW Tct tTTl TWI' EO 3 Zn, HH, HP, P0, 02, H Trvpctfjus , ; |8a8(t> T$ EOZDHP02 O/XO/o'f TS / O/JLOtUf KiifAll'OV TO ATBYFflAX, xo.} aiu ITT} TOV ATBYTAX la^ij TMI' avTy xcpucpiiv \~xj,UTa. TWV ^ter TTIDH^VTKV Till' WpH- iv \ quoniam est ut eat'O. nA/!', l7rtila~Tiv wf BK Trpcf THf KT H BK ad KT ita ZM ad MO , et circa aqua- les angulos BKT, ZMO, etenim qua? pars est angulus BKT illorum qui sunt ad K centrum quatuor rectorum , eadem pars est et angulus- ZMO illorum qui sunt ad centrum M quatuor JVa? yufiets <*'* Trhivpa} a.va.^oyov rectorum ; et quoniam circa a;quales an- I'HTH' CJJLOIW apa lC/af TCCJ t/wo TKA, OMN, op9a; 7-ap , a* 57/eufot/ acaAoT/oc iiffiv cf.pct eC AKB , NMZ Tpi-}M'(av tvrir a; AB Trpof THV BK OI/TWJ NZ wpof THC ZM, ? ii MZ wpo? THf ZO' J/iVflti apa &>; x AB Trpoj T? BT oilTWf NZ TJ-JJS? ti' ZO. 6< fix TJIC o^io(OTTa TWf ATK , JS'OM ? M AT Trpn THK TK citrus OM , irMupSv n apx BKTA TrvpttfJLn; Trpos TWV ZMQN xvpa.fj.iS'ct -rpi~ t%ti yTttp BK ?rpsg t^v ZM. \ \ \ O/xo/w fn tTriZtuyrivrsf ano rSv A, X, A, *, ZM. Similit'er utique ducentes rectas a punctis T, Y ITT} TO K u8s/rtf l5 , KOI OLTTO -rui> E , 2, A , X, A, *, T , Y ad K , et a punctis E, S , 0, 0, P, H, n ITT} TO M, x.a.1 a.virr luatir- T , H, n ad M , et erigentes ab unoquoque Tcu' 6 TUV Tpiyuvuv TrvfHtfji.iS'a.s TC avToisxcipU' triangalorum pyramides eosdem vertices ha- pa?'7 Ipovrctf TO?? xa'ro/f, fti^ofntv on no.} bentes quos coni , ostendemus et unamquamque litaa-TX Ttoc cfAOTctySv Trupo.fj.if'tov Trpcs iKtinnv pyramidum cujusdam ordiuis ad unamquamque ifj.no.jn 7rupx/ui.ifa. rpiTr^cta-iovee. ^o-yovt^ti 7np ejusdem ordinis pyramidem triplicatainrationem BK t/ucAo^cs wAsupa Trpc? TM ZM c^cAc^ov habere ejus quam BK latus homologum ad ho- !TAeupat' 5 TCUTs'rr/y Sirtf v BA 7Tff Tijy Z0. mologum latus ZM, hoc est quam BA ad Z6>. le point A, est done semblable a la pyramide dont la base estle triangle ZMO, etle sommetle pointN (def. g. i i)j car ces pyramides sontcontenues sous des plans sem- blables et egaux en nombre. Maisles pyraaiides semblables qui ontdes bases trian- gulaires sont en raison triplee de leurs cotes homologues (8. 12 ); la pyramide BKTA a done avec la pyramide ZMON une raison triplee de celle que BK a avec ZM. Menant semblablement des droites des points A, x, A, $, T, r au point K, et des droites des points E, 2, e,p,H, n au point M, et elevant au-dessus de chacun des triangles des pyramides quiaynt les memes sommcts que les coues, nous demon- trerons semblablement que chacune des pyramides d'un certain ordre aura ayec chaque pyramide du merue ordre une raison triplee de celle que le cote Lomo- logue EK a avec le cote homologue ZM ; c'est-a-dire que BA a avec z. Mais im 176 LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. .AAA'' 8 AX Trohujwov, xcpvtfn ATBYFOAX polygonum , vertex autem punctual effc TO A o - jtyue?oi' , srpoj TWC eAHi/ vtipetfjilfct, !i( A, ad totam pyramidem, cujusbasis quidem po- j8f ywei' ro'S> EOZnHPeS weAo'^wwc, jccpuipji lygonum EOZnHP02 et vertex punctumN^ quare i TO N (rHyue/sc' tas-Tt Kttt Trvpci/n}*; , f IBo.ciffj.ly ct pyramis, cujus basis quidem ATBYr*AX poly- TO ATBTrAX ^oAuT-wcov , xopuQH Si TO A * BA wpoj ^ o ABFA opt/pi TO A , Trpof TO S puipti S"\ TO A AX woAw^wi'oi' 2 ^ wpy^i) TO A, wpof TIIC 7TVpa.fj.if*, f /SaV/j yut'c TO EOZnHP02 TrcAt/^wyoi', y.opuipti ft TO N' cipa, ug o xvoc, at @x.ff/{ fjii pyramis , cujus basis quidem ATBYr*AX polygonum, vertex autem punctum A, ad pyramidem , cujus basis quidem polygonum EOZnHP0S, vertex autem punctum N permu- tando igitur ut conus, cujus basis quidem est ties antecedeuts est a un des consequents comrae la somme des antecedents est a la somme des consequents ( 12. 5); la pyramide BKTA est done a la pyramide ZMON comme la pyramide entiere, dont la base est le polygone ATBYrAX, et le sommet le point A, est a la pyramide entiere dont la base est le polygone EOznHP2, et le sommet le point N ; la pyramide dont la base est le polygone ATBYrAX, et le sommet le point A , a done avec la pyramide dont la base est le polygone EOZRHP02, et le sommet le point N, une raisou triplee de celle que BA a avec z. Mais on a suppose que le cone dont la base est le cercle ABFA, et le sommet le point A , a avec le solide 3 une raison triplee de celle que BA a avec z ; le cone dont la base est le cercle ABFA , et le sommet le point A , est done au solide s comme la pyramide dont la base est le polygone ATBTTAX, ct le sommet le point A est a la pyramide dont la base est le polygone EOZHP02 et le sommet le point N ; douc , par permutation , le cone dont la base est le LE DOUZ1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 177 o ABFA TO A, TO 3 fTtp'QV TTfOf TJJC TO EOZFIHP T A mi/uti7o^ s , vrpcs circulus ABFA, vertex autem punctum A, ad TO pyramidem quse in ipso est, cujus basis quidem ATBYrAX polygonum , vertex autem A , ita solidum H ad pyramidem , cujus basis quidem KOpi/a.} BA Trpof T>IC Z. O/Jioiiat va.Tov ps impossibile dcmonstratumest; non igitur ABTA A ABFAA xui'Cf 7rp:j fj.tlfyv T; TC/U EZH0N KUVOU TV Z. ABTAA apa. hoyov t%ti conus ad solidum aliquod majus cono EZH0N hoyov "^u iiirtp >i BA Trpc; triplicatam rationem habct ejus quam BA ad w Si on oiiS^l Trpof ihetTTQV o Z0. Demonstratum est autem ncque ad minus j Trpo; rov EZH0N KVOV rpi- conus igitur ABrAA ad conum EZH0N tripli- fi BA Trpoj TC Z0. catam ratioucm habct ejus quam BA ad Z0. peiit que le cone ABIAA ime raison triplee de celle que z a avec BA. Je dis enfm que le cone ABPAA n'a pas avec un solide plus grand que le cone EZH0N tine raison triplee de celle que BA a avec z. Car si eela est possible, que ce soil a un solide s plus grand ; par inversion, le solide 3 aura avec le cone ABFAA une raison triplee de celle que z a avec BA. Mais le solide 3 est au cone ABFAA comme le cone EZHN est a un solide plus petit que le cone ABFAA ; le cone EZHQN a done avec un solide plus pelit que le cone ABFAA une raison iriplee de celle que z a avec BA , ce qui est demontre impossible ; le cone ABFAA n'a done pas avec un solide plus grand que le cone EZH0N une raison triplee de celle que BA a avec Z0. Mais nous avons dernonlre que ce n'est point non plus avec un solide plus petit; le cone ABFAA a done avec le cone EZH-SN une raison triplee de celle que BA LE DOUZIEME L1VRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 176 flf ft o x.u>vos vrflt TDK xui'or ourat^-t o xt/A/?- Ut autem conus ad conum ita cylindrus . ecr/ rsif enrtfMTltf TOP 0.^01'ct. 60 os yap o AA iiXiM AB , TA , tiTTi; o a PROPOSITIO XIII. Si cylindrus piano secetur parallelo existente o xv- oppositis planis , erit ut cylindrus ad cylin- _.;.. drum ita axis ad axem. H0 TIM H0 -riTuvf- Cylindrus enim AA piano H0 secetur parallelo existente oppositis plauis AB , TA , et occurrat TO axi EZ planum in K puncto j dico esse ut BH TO K wpwv' tiyu l-vt C yii n d rus a a cylindrunt HA ita EK axem ad o BH xuhivfboc "Tipls TCC HA zuhiv- , >. axem KZ - o EK afwi/ wpoj Toy KZ aEova.. a avec Z0. Mais un cone est a un cone comme un cylindre est a un cylindre, car un cylindre est le triple d'un cone qui a la meme base et la meme hauteur; car on a demontre que tout cone est la troisieme partie d'un cylindre qui a la meme base et la merne hauteur que le cone ( 10. 22 ); un cylitidre a done avec un cylindre une raison triplee de celle que BA a avec z. Done, etc. PROPOSITION XIII. Si un cylindre est coupe par un plan parallele aux plans opposes , 1'un des cylindres sera a 1'autre cylindre comme 1'axe du premier est a 1'axe du second. Car que le cylindre AA soitjcoupe par un plan H0 parallele aux plans opposes AB, TA, et que le plan H rencontre Taxe EZ au point K; je dis que le cylindre BH est au cylindre HA comme 1'axe EK est a 1'axe KZ. i8o LE DOUZIEME L1VRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. ExSt^Mta y*t o EZ fwv lq> exartp* TO. Producalur enim EZ axis ex utraque parte uiptt % vrn ra A, M WfJiiTel, *cti ly.Ki ad puncta A , M, et ponantur axi quidem EK fjilv^ EK a^cvi 'ttroi ls-oiS~7rcrotJy o< EN,NA, TW a;quales quolcunque rectae EN , NA , ipsi vero & ZK tfoi coiX Z ftifMi'av xa; ra?f fi^fftiri TOU OX VUTOLV -rcvf PS , TT xuAii'ffpc? o OX cu N, O gatur circa AM axem cylindrus OX cujus bases circuli OH , 4>X ; ct ducantur per N , Z puncta Tfl7f AB, FA, N / plana rarallela ipsis AB, TA, et basibns cylin- pou' xett Troiti- 1 7T6p) re N , S dri OX; et faciant PS, TT circulos circa N, 2 \ Ka; inti oi AN, NE , EK a.^ /rjv aAAAo/f o/ a'pa'l DP , PB , BH /Vj!< &>f ee/ @&fftie. lira/ oe i'troi a.f.0. KOI oi HP, PB, BH . E77e; oir KC(< oi 6 AN, NE, EK ce< a- ^ es inter se, etaequalis estmultitudo ipsarum AN, AN , NE , EK TU wA5i9u tuv HP, PB, NE, EK multitudiui ipsarum HP, TB, BH; quotu- Car prolongeons de part ct d'autre 1'axe EZ -vers les poinis A, M ; i'aisons tant de drones EN , NA qu'on You. Ka) tl pit ftrcs Irriv o KA a'fwc tu KM OL^OVI , int sXf T u-vf." PROPOSITIO XIV. *} Ki/A/cJpo/ In scqualibus basibus existentes coni ct cylmdri ut altitudincs. sc ?ap ew JVav /SaViuc TW? AB , FA Sint cnim in aequalibus basibus AB , TA cy- xfoivfpot cl EB, ZA- ^e?u CT< IX/v/po< aMJiAo/? 3 . Ka/ ITTI} *oX*rJ]pf a ZM \7mri S'lf TtrfJ.HTO.1 -r$- 1 EB xjx/f/jpcf ^pj TOV ZA xi/A/i'iTpci' ci/TUf I H0 a^aic wpof Tor KA a^cfa. fig fi o EB xuAlfvot fJi.lv oi ABFA , EZH0 xux^ci , JW'/Tpo/ Si tt\nuv al AF, EH, afou? ft cl KA , MN , oi' UV { IMl'UV )l Ktt} ipwff-6airai' ol AS, EO xJA/i ASJ&) or/ TUV A3 , EO Kuhll'fycl>^ a*Ti7!nr ttl @a JVaf. O; 7ro TO 'otrt; KUVOI xai xvXi;fyoi Trpcf PROPOSITIO XV. JEqualium conorum et cylindrorum reciproca; sunt bases allitudinibus; et quorum conorum et cyliiidrorum rcciproca; sunt bases altitudi- nibus , aequales sunt illi. .Sint sequales coni et cylindri , quorum bases, quidem ABTA , EZH0 circuli , diametri autcrn ijisorum ipsas AT , EH , axes vero KA , MN , qua: et altitudines sunt conorum vel cylindro- rum ; et compleanlur eylindri AH, EO dico AE, EO cylindrorum reciprocas bases esse alti- ludiiiibus , et esse ut AErA basis ad EZH basiia ita MN altitudinem ad KA altitadinem. EtenimKA altitude altitudini MN vcl acqualis est, vel non. Sit primum a;qualis. Est autcrn AS cylindrus cylindro EO onqualis. In eudcrn autem altitudine cxistentes coni et cyliudri PROPOSITION XV. Les bases des cones et dcs cylindres egaux sont rcciprequemeut proportion- nellcs aux hauteurs; et si ]es bases des cones et des cylindres sont recipro- quernent proportionnelles aux hauteurs, les cones et les cylindres sont egaux cntr'eux. Soient les cones et les cylindres egaux, dont les bases sont les ccrcles' ABFA , EZH0, qui ont pour diametres de leurs bases les droites AF, EH, et dont les axes sont les droites KA, MN, qui sont aussi les hauteurs des cones ou des cylindres ; ache- Tons les cyliudres A3, EO; je dis que les bases dcs cylindres A3, EO sont rcci- proquement proportionnelles aux hauteurs; c'est-a-dire que la base ABFA est a la base EZHO comme la hauteur MN est a la hauteur KA. Car la hauteur KA est egale a la hauteur MN ou elle ne lui est pas egale. Qu'elle lui soit d'abord egalc .-puisque le cylindre A3 est egal au cylindre EO , et que les cones et les cylindres quiont la meme hauteur sont entr'eux coratne leurs LE DOUZIEME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. i85 tlriv tti ficiirtiC t 5 , a>f > ABFA fioiirif TrpcfTM EZH fidiriv ouruf TO MN u-^-Of Trpof TO KA wlof. AAAa eTVi yu itrrca TO KA v-^os T&> MN JVoc, AA' tw? T&> KA JVop TO DM, Keti )cEZHjS ap TO I>TO u4ff I'VlC oi AS, E2 o EO xwX/ctTbof wpo? TOC E2 curias TO MN quoniam asqualis est AS cylindrus cylindro EO, alius autem aliquis cyliiidrus ES ; cst igitur ut AS cylindrus ad ES cylindrum ita EO cylindrus ad ES cylindrum. Sed ul quidem AS cylindrus ad ES cylindrum ita ABTA basis ad EZH0 ba- sim; sub cnim allitudine eadcm sunt A2, ES cyliudri; ut autem EO cyliiidrus ad ES ita MN bases (11.12), la base ABFA sera egale a la base EZH; les bases sont done reci- proquementproportionnellesaux hauteurs, c'est-a-direquelabaseABFAest a la base EZHcommela hauteur MN est a la hauteur KA. Maisque la hauteur KA ne soil point egale a la hauteur MN, et que la hauteur MN soil la plus grande. De la hauteur MN retranchons la droite nM egale a la droite KA, et par le point n coupons le cy- lindre EO par le plan TYS parallele aux plans des cercles EZH0, PO, et conce- vons un cylindre E2 dont la base soil le cercle EZH0, et dout la hauteur soil nM. Et puisque le cylindre AH est egal au cylindre EO, et que E2 est un autre cylindre, le cylindre AH sera au cylindre ES comme le cylindre EO est au cylindre E2 (7. 5). Mais le cylindre AH est au cylindre ES comrae la base AEFA est a la base EZH0 ( u. 12), carles cylindres AH, ES out la merae hauteur, et le cylindre EO est HI. 24 1 86 LE DOUZIEME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. v4cf vpl; TO Mil i/'4of , o >f> EO KuA/y/po? IT"- altitude ad MIT altitudinem; ctenim cylindrus TY2 7r*fctM*e> ovrt -r EO isecalur plane TY2 parallelo existente oppo- Iviirifoif tffnv apa K|9 fc? ABfA sitis planis ; est igitur ct ut ABFA basis ad EZH9 ? basim ita MN altitudoad Mnaltitudinem.^Equalis TO MD EZH Tttv EZH0 <; ABFA ^*{ wpo? Tttv EZH jSaavr OUTJ TO MN v-y-o? irpo; TO Mn v-^of 10 . AAA' 5 ptv ABFA $a.fis TTflg THV EZH0 &a. CI/TWJ o AH xuhit'ffos Trpoc TQV E2 xuhltfyov, VTTO ya,p TO av-rc v-y-os tlriv uf Si TO MN J4 c f TptS T M n 24?' ! tuTw; o EO xuA/i'!^9&) S7T/ TO T' Ar apot t^a.Tnna.t rev EZH xuzhov ri/AvwrK H T> BAA Trtpiiptpiictv JV^a, no} Tf fj,ls-na.v " AA, AM, TH; AA. As^s/pflw, tT T TO N, awo TCU A tT TW BA PROPOSITIO XVI. '. '*.. a irfi-T 4- Duobus circulis circa idem centrum existen- tibus , ia majori circulo polygonum et sequi- latcrum et parilaterum describere, non tan- gentem minorem circulum. Sint dati duo circuli ABFA, EZH circa idem centrum K j oportet igilur in majori circulo ABFA polygonum et aequilaterum et parilate- rum describerc, non langentem EZH circulum; Ducatur enim per K centrum recta BKA, et a punclo H ipsi BA ad rectos angulos duca- tur HA , et producatur ad r- ergo AT tangit EZHO circulum - } secantes utique BAA circum- ferentiam bifariam, et dimidium ejus bifariam , et hoc semper facientes, relinquemus circumfe- rentiam miuorem ipsa AA. Relinquatur, et sit AA , et a puncto ad BA perpendicularis ducatur AM, et producatur ad N, et jungautur A A , PROPOITION XVI. Deux cercles etanl concentriques , decrire dans le plus grand un polygone dont les cotes egaux et pairs en nornbre ne touchent pas le plus petit cercle. Solent les deux cercles ABFA, EZHayant le meme centre K; il faut dans leplus grand cercle ABFA, decrire un polygone dont les cotes , egaux et pairs en nombre , ne touchent point le plus petit cercle EZH. Car par le centre K menons la droite BKA , du point H menons la droite HA per- pendiculaire a BA, et prolongeons cette droite vers le point r; la droite Ar touchera le cercle EZH ( 16. 3 ). Partageons Tare BAA en deux parties egales, sa moilie on deux parties egales, et faisons toujours la meme chose; il restera un arc plus petit que Tare AA ( i. 10). Qu'on ait cet arc, et que cet arc soil AA ; du point A menons la droite AM perpendiculaire a BA ; prolongeons cette perpen- diculaire vers le point N ? et joignons AA ? AN ; la droile AA sera egale a la droite AN. LE DOUZ1EME LIVRE DES E"LE"MENTS D'EUCLIDE. 189 6atru.v a.1 AA, AN' tangit EZ HO circulum j a fortiori igitur . a.1 AA , AN oux \v i THV fttifyva f^ct.pAv fTtptoy jo fQtt'pm Vip TO OLUT o TO A' ft? JH tif Tttv (Mtotitt fftfa,7petv LE DOUZIEME LIVRE DES E~LE"MENTS D'EUCLIDE. * ' ' PROPOSITIO XVII. Duabus sphxris circa idem centrum existcn- tibus, in majori spb.aera solidum polyedrum describere , non tangcns minorem spbxram se- cundum. superficiem. lutelligantur duac sphxrx circa idem cen- trum A ; oportet igilur in majori sphaera soli- dum polyedrum describere, non langens sphac- ram minorem secundum superficiem. Seceutur spliasra; piano alicjuo per centrum due to j sectiones igitur erunt circuli, quoniam manente diamelro et circumducto semicirculo facta est sphaera^ qua re et in quacunque si intelligamus semicirculum , planum. ejus pro- ductum planum efficiet in superficie sphaertc circulum. Et evidens est , et maximum , quia diameter spbserae quae est et semicirculi dia- meter scilicet et circuli , major est omnibus rectis in circulo vcl sphacri ductis. Sit igitur Tin actra. THf I 9wCTpOU X TTlplQlpOfJUVOU . /'/ o< r^ Xj TOV Mi//^yxA/cy fytyvtTO Ji fftyAtptt* w0"T6 /:ctt Ka6* ci'aj ac Biftu; iTrivonffufAtv TO MfAittuxhiov , TO ' OLUTCtJ t>. vtpov CTI uttl THJ tr/fuipetf , MT/J JOT* X.OL} Tov , tTrsiiTtiVep M ^/a/xtTpc; i) aj TCU KuxAou, /JLti^av ts^i MC TWK 6/f TOC KUJiAO!' M THy f!fia.7pa.V PROPOSITION XVII. Deux spheres elant concentriques, decrire dans la plus grande spliere un polyedre dont les faces ne touchent pas la plus petite sphere. Concevons deux spheres autour du meme centre A ; il faut dans la plus grande sphere decrire un polyedre dont les faces ne touchent pas la plus petite sphere. Coupons ces spheres par un plan mene par le centre; les sections seronl des cercles, car une sphere etant engeadree par un demi-cercle qui tourne autour de son diameue immobile ( def. 14. 1 1 )> dans quelque position que nous conce- vions ce demi-cercle, le plan de ce demi-cercle etant prolonge produira un cercle dans la surface de la sphere. Et il est evident que ce sera un grand cercle, parce que le diametre de la sphere, qui est aussi ceiui du demi-cercle, c'est-a-dire du cercle, est la plus grande de toutes les droi'.es menees dans le cercle ou dans pa, LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 191 . Eirrw ovv \v fj.lv T fttifyvi fftp&t- in majori quidem sphaera circulus BFAE; in o BFAE, Iv St T l^tiavovi ff T ivHpttruf T? ( , TUV BA , KN $~ictp.irpuv TA B3A, K3N. Kai 3A opQ ifTi vrpof TO TOU BfA KuxAoy 3A \7ti- ITT} THJ iTrHfutviicts u>v I' , XO. TTOLVTO. O.pet TO. ItTTiv op8i 8 Ttflg TO TOW BFAE XVK^OV \"7ti- v' 3>t/j,ixuKXta. , iTrt yap urav tlffl S~ia.fJt.iT pav TUV BA, KN, \?o. trTi xx.i TO. BE, B3, K3 TETapTjUc'psa AS , et occurrat su- perficiei spliaerae in E ; et per A 2 et utram- que ipsarum BA, KN plana ducantur, facient utique ex dictis in superficie sphacra: rnaximos circulos. Faciant, quorum semicirculi BEA , KEN sint ex diametris BA , KN. Et quoniam EA recta est ad BFAE circuli planum, et oinnia igitur per SA plana sunt recta ad BTAE circuli planum j quare et BSA , KEN semicirculi recli sunt ad BrAE circuli planum. Et quoniam aequales sunt BHA, KEN semicirculi, etenim super sequales sunt diametros BA, KN , aequales sunt et BE, BH, K.S quadrantcs inter se ; quot igitur sunt in BE quadrante latera polygon! tot sunt et in BE , KE quadrantibus aqnalia rectis BK , KA , AM , ME. Describantur , et sint BO, on, nr, ?u, KS, 2T, TT, YH, ct jungantur 2t> , TH , YP , et ab ipsis O , S ad BrAE , circuli planum perpendicularcs du- cantur; cadent utique ipsaeiu communes BA, KN elevens la droite A3 perpendiculaire au plan du cercle BrAE ; que cette droite rencontre la surface de la sphere au point S ; menons des plans par la droite A3 et par chacune des droites BA, KN; ces plans, d'apres ce qui a ete dit, pro- duiront des grands cercles dans la surface de la sphere. Qu'ils soient produits , etque leurs moities BSA, K3Nayenl BA, KNpourdiametres. Puisque la droite 3A est perpendiculaire au plan du cercle BPAE, tous les plans qui passeront par SA seront perpendiculaires au plan du cercle BFAE ( 18. ir ); les demi-cercles B3A, KSN sont done perpendiculaires au plan du cercle BFAE. Mais les demi - cercles B3A , K3N sont egaux, car ils sont sur les diametres egaux BA, KN;" les quarts de cercle BE, BS, K3 sont done egaux entre eux; chactm des quarts de cercle BS, K3 contient done autantde droites egales a chacune des droites BK, KA, AM, ME que le quart de cercle BE. Inscrivons ces droites, et qu'elles soient BO , on, np, PS, K2, ST, TY, Y3; et joignons so, Tn, YP, et des points O, 2 menons des perpendiculaires au plan du cercle BFAE ; ces perpendiculaires tooiberont LE DOUZIEME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. ig3 tat jcaj TO. TWC B5A, KSN ITT/- plana recta sunt ad BrAE circuli planum. 576.A reliqtiae XA est aequalis; est igitur ut ad *A ita KX ad XA ; parallela igitur est X dans les communes sections BA, KN des plans ( 38. it ), parce que les plans BSA, KSN sont perpendiculaires su plan du cercle BrAE. Que ces perpendiculaires tombent dans les communes sections, et qu'elles soiento*, 2X; joignons *x. Puisqu'on a pris les arcs egaux BO, KS dans les demi - cercles egaux BSA, KSN, et qu'on a mene les perpendiculaires o* , sx, la droite 0$ sera egale a sx, et la droite B egale a la droite KX. Mais la droite entiere BA est egale a la droite entiere KA ; la droite restante $A est done egale a la droite restante XA ; la droite B est done a *A comme KX est a XA; la droite x* est done parallele a la droite KB (2. 6), III. 2 5 DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. apa. Itriiv ti X-l> TV KB. Kai \TIII t-.a.- ipsi KB. Et quoniam utraque ipsarum O*, 2X fifA TW O, 2X opflti \H-TI wpo<; TO TOU BFAE recta est ad BFAE cireuli planumj parallela igitur est O* ipsi SX. Ostensaautemest ipsiet sequalis; etK*, SO igilur aequales sunt et parallela:. Et quoniam parallela est X* ipsi SO, sedKl> ipsi KB est parallelaj et igitur SO ipsi KB est parallela. Et < JVit* 2O apa i'lrcu e;V) . Kai X riT KB 2O apct TM KB tar; . Kai TO KBO2 apa T li'i ItTTiv UT,, v quadrilaterum in uno est piano. Est aulem etTPS w tvi IITTIII tTFtTnaia. EOT/ tt nat TO - 1 q> txct-ripcts ctruv Ax^)' /7i Ta (Tx^us/a \7TtC,wyviifJi'v' 'if l, sx est perpeadiculaire au plaa ducercle BFAE; la droite o* est done parallele a Ja droile sx ( 6. 1 1 ). Mais on a demontre que ces droites sont egales; les droites X4>, 2O sont done egales et paralleles ( 33. 1 1 ). Et puisque x* est parallele a so, et x a KB, la droite so est parallele a KB (g. 1 1^. Mais ces droites sont jointes par les droites BO, K2; le quadrilatere KBOS est done dans im seul plan, car si deux droites sont paralleles , et si dans chacune de ces droites on prend des points quelconques, les droites qui joignent ces points sout dans le meme plan que ces paralleles (7. 1 1) (*). Par la merae raison, chacuri des quadrilateres sonr, TDPY est dans un seul plan; et le triangle (*) Euclides hscc addere potuisset : Rursus apunctis H , T ad BTAE cireuli pla- num perpendiculares ducanturj cadent utique in communes planorum sectiones BA,KN; conjun- gantur puncta in quibus perpendiculares occur- runt rectis BA, KM, et jungantur ipsse OB, TK. Similiter ulique ostendcmus rectam KB paralle- lam fcsse ipsi Tn. Ostensum est autem et rec- tam KB parallelam essc ipsi SO ; recta igitur SO parallela est ipsi TH; quadrilaterum igitur ZOnT in uno est piano. Propter adern utique et drilaterum TFIPT est m uno piano. (*) Euclide aurait pu ajouter ce qui suit: Des points n, T menons des perpendiculaires au plan du ccrcle BTAE. Ces perpendiculaires tomberont dans les communes sections BA , KN des plans. Joignons les points ou ces perpendi- culaires rencontrent les droites BA, KN , etioi- gnons aussi ITB,TK. Nous de'montrerons sembla- blementque la droite KB est parallele a Tn. Mais on a de'montre' que la droite KB est parallele a SO; la droite SO est done parallele a TIT; le quadrila- tere SOnT est done dans un seul plan. Le qua- drilatere TriPT est dans nn sen! plan ; par la meme raison. , LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. TPS Tfiyuvoy If it'} iTTiTnftf). Bay tfta/jitv triangulum in uno piano. Si igitur intelligamus i-7tl TV O, 2, n, T, P, T us composita , quarum bases quidem mt fJilv TO. KBO2, 2OPT, TIIPV TtrpaLTrXtupa. KEO2 , 2OIIT , THPT quadrilatera et TPS trian- Kcti TS TPS Tfiyurov, xcpuQH V f^f 3 Dico etiam" dictum polyedrum non tacturum esse minorcm sphocram, secundum superficiem i n q uii estZH0 circulus. Ducatur a puncto A ad KBOZquadrilatcriplanumperpendicularis A*, et Jp sa occurrat piano in puncto *, et jungantur ipsa; B+ , *O. Et quouiam A* recta est ad KBOS quadrilateri planurn, et ad omnes igitur rectas eam tangentes ^ et existcntes in quadrilateri piano , perpendiculars est ipsa A* ergo A^ perpendicularis est ad utramque ipsarum Bi-, *- Et quoniam sequalis est AB ipsi AO , a;quale est ct quadratum ex AB quadrate ex -AO. Et sunt quadrate quidem ex AB a-qualia quadrata ex Air , *B , rectus enim angulus ad *, quadrate autem ex AO aequalia. quadrata ex A*, *Oj quadrata igitur ex A*, *Ji scqualia Sphere un certain polyedre compose des pyramides qui ont pour bases les quadrilaieres KBOS, SORT, TDPT et ]e triangle TPH, et les quadrilateres et les triangles du merne ordre que ces quadribteres et que ce triangle, le point A etaiit le sommet commun de ces pyramides. Je dis que les faces de ce polyedre ne toucheront point la plus petite sphere dans laquelle estle cercle ZH. Du point A menons la droiie A* perpendiculaire ati plan du quadrilatere KBO2 ( 1 1 . 1 1 ) , que cette perpendiculaire rencontre ce plan au points, et joignons B*-, ^o. Puisque A* est perpendiculaire au plan du qua- drilatere KBOS , la droite A* sera perpendiculaire a toules les droites qui la ren- contrent, et quisontdans ce plan (def. 5. 1 1) ; la droiie A-^estdouc perpendiculaire a chacune des droiies B^, ^o. Mais AB est egal a AO; le quarre de AB est done egal au quarre de AO. Mais les quarres des droites A-*', SPB soutegaux au quarre de AB, et les quarres de A^ , -i'O sont egaux au quarre de AO (47. i ), car Tangle ea * est droit; les quarres des droites A^ ? -^B sont done egaux aux quarres LE DOUZIEME L1VRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 197 *0. Kr i^fM* wo TJ A*' Afir nt quadratis e* A*, *o. Commune auferatur it* -rl i*l -nt ' B* Afliw* T i*i -rSt *O for quadratum e* A* j reliquum igitur quadratum ex \rrh- rcli( l uo " i S itur B * IT i 'r.tti a.1 a7ro TCU * twi T* K , 2 IT/^^IU- /U8f*< tifls?** J's-a/ t/Viv ticaTfpaTwi'B-^, *O- o a TW * xa fizffrtpciTi in TW *B , Ku'x/cf Sfei na KS , K( tKiisffuv M OS, Kai tr. TCO xspTpou Toff KUX>.OV IDT/!' B^J" TO afet O.TTO Tf BO Tot/ d^ro T; B"'!' yUs/^cc 6ffr;i' w JWAaV/or. Ka) ^6 a^~o TSW O tnxsroo^ t77< TJIC BA xaBnof O. Ka* BA AB, if BA Trpoj Tf A"I> oc/ra? TO OTTO woj TO UTTO Tftii' A4>, 3>B no, TO B TCV ITTI Tf OA T O Tav 22 AB, B$ apa TO? UTTO TOC A, ' it i'trw T O.7TO Tiff BO, TO , $B /VoC TO) KTT; TS O$' TO apa O.TTO TJ OB ti7T/i' M , et est ut BA ad A* ita rcctangulum sub AB , J} ad rcctangulum sub A* , OB j descripto igitur ex B* quadrato , et complete super ipsam *A paral- lelogrammo, et rectangulum igitur sub AB , B aequale est quadrato est BO , rectangulum autem sub A* , <1>B sequale est quadrato ex Oj quadratum igitur ex OB minus est quam du- plum quadrati ex O*. Sed quadratum ex BO majus est quam duplum quadrati ex B* ma- Puisque la droite KB est plus grandc que la droite x, et qtie la droite x* est egale k la droite so , la droiie KB sera plus grande que la droite so. Mais la droite KB s est egale a chacune des droiles KS, BO; chacune des droites KS, BO est done plus grande que la droiie so. Et puisque le qtiadrilatere KBOS est deciit dans un cercle, que les droites KB, BO, KSsont egales, que la droite os est la plus petite, et que la droiie BSK est un rayon du cercle, le quarre de BO sera plus grand que le double du quarre de B"p (12. 2). Du point o menons la droite o per- pendiculaite a BA. Puisque BA esl plus petit que le double de A*, ct que BA est a A* comme le rectangle sous AB , BO> est au ijpctangle sous A$, *B ( i. 6 ) , si 1'on decrit un quarre sur BO , et sisur A, on complete le parallelograrr.me, le rec- tangle compris sous AB, B* sera plus petit que le double du rectangle corapris sous A*, B. Joignons AO; le rectangle sous AB, BB egal au quarre de o*; le quarre de BO est done plus petit que le double du quarre de O*. Mais le quarre de BO est plus grand que le double du quarre de B^y le quarre de o* est done plus grand que LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 199 ffiot fJLiifyv afa TO O.TTCI rS( O* TOO i TMf jus igitur quadratum ex O* quadrato ex B+. B-*-. K=u Ivti ir *, *A' T ap ex B* , +A , quadrato autem ex OA sequalia quadrata Cx O*, *A ; quadrata igitur ex B* , a.vt> T TIMC B^, S'A Tira , ut TO a.770 TC Q9 a.p, TOV CLTTO Ttif B , v fi AH quidem ipsa A* ad unam polyedri basim , le quarre de B-^. Mais BA est egal a AO; le quarre de BA est done egal au quart e de AO. Mais les quarres dcs droites B^ , -^A sont egaux au quai-re de la droite BA ( 4y- i ), et les quarres des droiies Oi>, *A egaux au quarre de la droite OA; les quarres des droites B^, -PA sont done egaux aux quarres des droites O* , A; mais le quarre deo est plus grand quete quarre de B^ ; le quarre restant de A estdouc plus petit que le quarre de-^A; la droite A* est done plus grande que la droite A ; la droile A* est done, a plus forte raison, plus grande que la droite AH. Mais la :zuu -rtiv TK TO woXviov ou pa? XT< TI/ 0-Qttipa.i; t7riv , on Ostendendum est autem alitcr et expeditius A* TV AH. H^fl TTO TOW H majorem esse A* ipsa AH. Ducatur a puncto H TW AHTrpcf o/>9<*{ ti HQ, KI i , / > \ < apa EST/V H afce. f> BO T; B^-'. BK , KS , et minor OS ; obtusus igitur est * angulus ; major igitur BO ipsa B*. Sed puisque le quadrilalere BK2O est inscrit dans un cercle , que les droites OB, BPC, KS sont egales , et que la droite 02 est plus petite que chacune de ces droites, Tangle B^o sera obtus ; la droite BO est done plus grande que la droite B^. Mais Perpendicularis a puncto A ad SKBO quadri- lateri planum ducta inlra hoc quadrilaterum cadit ; Euclides hoc non demonstrat , quia haec demonstratio" ilium dc via sua amovisset sine ullsi necessitate. Etenim ut ostendatur SKBO quadrilateri planum non tangere minorem spliae- ram , tantummodo est ostendendum perpendi- cularem a puncto A ad ZKBO quadrilateri pla- num ductam miuorem esse recta AH. La perpendiculaire mence du point A au plan du quadrilatere ZKBO tombe en dedans de ce quadrilalere j Euclide n'en donne pas la de- monstration , parce que celtc demonstration au- rait relarde' sa marche sans nc'cessite'. En effet , pour de'montrer que le quadrilatere SKBO ne louche pas la plus petite sphere , il suffit de faire voir que la perpendiculaire mene'e du point A au plan du quadrilatere SK.BO est plus petite que la droite AH. ipsA BO major est ipsaHJ2; multo igitur major est y apt*. KOI TO i-nl TV; Hn ipsa B* ; majus igitur et quadratum ex HO il TM{4 B"f. K*i tws) In \ awo ipsi AB , sequale igitur et quadratum ex AO T?{ AB. AA*a T&> / uii' a.7ro T; Afi W Ta BTTO quadrate ex AB. Sed quadrate quidem ex AO TWC AH , Hn , T i TU tv T BfAE p'ia 7roAus CJJ.QIOV frtptoii pi), TO tv T? BFAE ffQctipa, rrtptov TO tv TH tT'cp.i ff^ttifo, iova. hoyov a t%ii 7rtp THJ BTAE fo./; fittfAtrpos Trpof THV Tf ttipttf ctyaipoi; 1 ,Atj ii 1 rpl7T\a.fiovt hoyu tiff} TUV ofj.o- ^oyui> nXwpuv ti -rrupafj.^ apa 3 , ; ^Sa5-/;/^ec ifl"T/ TO KBO2 Terpa Asypoc, Kcpnifii Js TO A q, ofj.ora.yti 7rsp 11 o/xo- Trpc? TMC cfAohoyov Trhtupav, TOU- M AB SK TO? xirTpov Tf TO A 7rpO THf 6K TOO /&if T wep TO xvrpov TO A COROLLAIRE. Si Ton decritdans une autre sphere un polyedre semblable k celui qui est de- crit dans la sphere BFAE, le polyedre decrit dans la sphere BFAE aura avec le polyedre decrit dans Fautre sphere uneraison triplce de celle que le diametre de la sphere BFAE a avec le diametre de 1'autre sphere. Car ayant divise ces polyedres en pyramides egales en nombre et du ineme ordre, on aura des pyramides seru- blables. Mais les pyramides semblables sont entre elles en raison triplee des cotes homologues (cor. 8. 12) ; la pyramide, qui a pour base le quadrilatere KBO2 , et pour sommet le point A, a done avec la pyramide du meme ordre de 1'autre sphere une raison triplee de celle qu'un cote homologue a avec un cote homologue ; c'est-a-dire, de celle que le rayon AB de la sphere qui a pour centre le point A a avec le rayon de 1'auire sphere. Semblablement chacune des pyramides de la sphere qui a pour centre le point A aura avec chacune des pyramides du meme LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 207 txaWwr cfjumyti jTupa.p.if'a. ruv IP T A ad unamquamque ejusdem ordinis pyrami- vQaipa. TfrntttTiotai boyov Z%u tmif tTtpa^ 6 Tfatipa.;. Ktti catam rationem habebit ejus quam AB ad rcctam uf \v Tur wjovpitvov Trpof \y Tar iTTCfjuvuv ouTftif ex centre alterius spherae. Et ut unum antece- tt.Tia.tTtt TO. tiyGbfAirct irpos 0.710.^0. TO. \7rlfj.wa.' dentium ad uuum consequentium ita omuia no. e^cc TO v TJT Trtfi TO x a. FTipiov v&t.iJtS'piv Trfif cAsr TO yev "tti~ 7rtp AB ^po? Tr ix. -rov , TOUTSST/F >imp BA ^o A. ir TJT O s anlecedentia ad oinnia consequenlia j quare et totum in spbaera circa centrum A solidum polye- drum ad totum in altcra spbera solidum polye- drum tripl:etam rationem habebit ejus quam AB ad rectam ex cenlro alterius sphaerae, hoc est ejus quam BA diameter ad alterius sphxrae diametruni. Quod oportcbat ostcndere. ordre comprise dans 1'autre sphere une raison Iriplee de celle que le raj-on AB a avec le rayou de 1'autre sphere. Mais un des antecedents est a un des conse- quents comme la somme de tous les antecedents est a la somme de tousles con- sequents (12. 5 ); le polyedre entier compris dans la sphere qui a pour centre le point A a done avec le polyedre entier compris dans 1'autre sphere une raison triplee de celle que le rayon AB a avec le rayon de 1'autre sphere , c'est-a-dire de celle que le diametre BA a avec le diametre de 1'autre sphere. Ce qu'il fallait demontrer. 2 o8 LE DOUZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. FIPOTASIS /'. AEZ A* f$ct7pat iftWV ( al ABF, AEZ, ~ia/ut- Si aurav a.! BF , EZ' hiyu OTI ABF pa, Trpe; tin 1 AEZ irpet?pa i^S/ tlTTtfi M Br WpO{ TW EZ. ABr Trponpoi/ s'Aas-(roia Ttic H0K, xa) rtvorier&u AEZ ff^ TiT H0K Trspi TO avrc KjfTpoCj xa j/5 THV fjLtifyro. iriptt7pai> rvf AEZ tmptov fpot fj,H -^avcv THf sAaTTOfOf fpa/fois TW; HOK ABr Ay's<>4> o/uoioi> ABF frtptov ec TT AEZ ffQetiptt TTO- v woAt/6a7pa, est in ipsa ; major igitur et H0K sphaera po- 7Ti,>~uiffcv. AAAa x.ai \>.a,fruv , lfj.7rtpii?jTa.i lyedro in AEZ sphaera. Sed et minor, com- O.TT a.'j-rotj, cTrtp a GUK apa ABr prchenditur cnim ab ipso , quod impossibile; ?pa Trpoe thcirs-ova. T? AEZ o^ipa/paf rptTrhct- nou igitur ABr sphaera ad minorem spliaera AEZ ffisia. Ao^-oc tyn >i7Ttp Bl" Ti/>t5Tpof Trptf Titv triplicatam rationem habet ejus quam BT dia- EZ. Ojmciais ) fii^o/unv on cvS'l AEZ tripaJisa, meter ad EZ. Similiter utiquc ostendemus ne- cril dans la sphere AEZ uneraison triplee de cclle queBr aavecEZ (cor. 17. 12). Mais la sphere ABF a avec la sphere HGK une raison triplee de celle que fir a avec EZ ; la sphere ABF est done a la sphere HQK commele polycdre decrit dans la sphere ABF est au polyedre decrit dans la sphere AEZ ( 1 1. 5 ); done, par permutation, la sphere ABr est au polyedre decrit dans cette sphere comrae la sphere H0K est an polyedre decrit dans la sphere AEZ. Mais la sphere ABr est plus grande que le polyedre qui lui est inscrit; la sphere H0K est done plus grande que le polyedre decrit dans la sphere AEZ. Mais elle est plus pelite, car elle y est comprise, ce qui est impossible ; la sphere ABr n'a done pas avec une sphere plus petite que la sphere AEZ uue raison triplee de celle que le diametre BF a avec EZ. Ncus de- montrerons semblablement que la sphere AEZ n'a pas avec uue sphere plus pclile III. 27 aio LE DOUZ1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. wpcj \*i v xlyov Si recta linea extrema et media ratione secla TO u.t'i&i' TMHMa 7rpi.a.ov Tiic tifjiidictv fucrit , major portio assumens dimidiam totius TW; oAf wscTaTT^aV/oc .TJvaTa/ TO? a-o THJ quintuplum potest ipsius ex dimidia totius. Evdj?a yotf "pawwn AB axpov xa) yueVci' Recta enim linea AB extrema et media ra- ',o>oi' Ttru OLTlfi TWf AA. AvawpdipSu yap 7 j.a4 T* AE, AZ, AZ TO a, x*i v AB Kfty x*< /xeroc AB, AF Tsrpa- Describantur enim ex AB , Ar quadrata AE , Iv rS A Z, ct dcscribatur figura in AZ , ct producatur zr ad H - Et quoniam AB extreml et media ratione secaturinTj ipsuru igitur sub AB , BF H ZF twi TO H. Ka otTO F' TO ac* IJTJ-O Tflfc AB, BI !W SITTJ TW OLTTO T;?{ AF. Ka) to-T/TO /xei- Jwo TWC AB, BF TO TE, TO 7c AA , )V K Ei3fle~* >^p yfttftfJtti H AB U AP wet'TaTrAar/ov tTi/rarflffl, TMJ f> a^' txaTtfitf ruf AB , TA TCI AZ, TH , xa/ xctTa^E^paipflw 2 sc TM AZ TO yyj/i{J.a. , net} S'lityfiu w 2B tT< TO E . Ka< ITTSI griVTtUVXtU'iar tT TO a^ro TJ BA TCW TM; Ar TreiTawXaV/c'c I-T/ TS AZ, TOW A, H Recta enim linea AB partis suae AF quintuplum. possit, et ipsius AT dupla sit TA j dico, ipsius rA extrema et media ratione sectse , portionem majorem essc TB. Describantur enim ex utraque ipsarum AB , rA quadrata AZ, TH, et describatur figura ia AZ , et producatur ZB ad E. Et quoniam quin- tuplum est ipsum ex BA ipsius ex AT , quintu- plum est AZ ipsius AQ j quadruplus igitur PROPOSITION II. Si le quarre d'une ligne droite est egal au quintuple du quarre d'uii de ses segments , et si le double de ce segment est coupe en extreme et tnoyenne raison, le plus grand segment est la partie restante de la droite premierement exposee. Que le quarre de la droite AB soil egal au quintuple du quarre de son segment Ar, et que TA soil double de AT; je dis que si la droite TA est coupee en extreme et moyenne raison , la droite IB sera son plus grand segment. Car decrivons avec les droites AB, JA, les quarres AZ, IH; achevons la figure dans AZ, et prolongeons ZB vers le point E. Puisque le quarre de BA est quintuple du quarre de Ar, la surface AZ sera quintuple de Ae; le gnomon MNS est done LE TREIZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. * '- apt o MNS yi'uiutuv rot! A. K MNS gnomon ipsius A0. Et quoniam dupla ewe Ajj \ AF Tf FA, TeTpawAaV/oi' est AF ipsius FA, 'quadruplum igitur cst ipsum cf'pa TO a^-o TJ AF -rev iirt -TUG FA 6 , TstmVr/ ex Ar ipsius ex FA, hoc est FH ipsius A0. TO FH TOU A. EiTe/^6 r. Ka ear/ To/x.ecBH TO UTTO ruv FA, AF ipsi F ; dupla igitur ct KF ipsius F0 ; duplum igitur et KB ipsius B0. Sunt autem et ipsa A , B ipsius B dupla ; a:quale igitur KB ipsis A , B. Ostensus est autem et to - tus MNS gnomon toti FH aequalis; ct reliquum igitur Z ipsi BH est acquale. Et est quidem BH AB, In yap FA TH AH, TO Si Z T WO,TS BF- Toapau7roT7 f FB- ipsum sub FA, AB, ocqualis enim ipsa FA ipsi >psm Z vcro ipsum ex BF; ipsum igitur THV BA. Mu'Cc AB *quale est ipsi ex FB j est igitur ut AF ad FB ita FB ad BA. Jlajor autem AF ipsa FBj quadruple de A. Mais AF est double de FA , le quarre de AF est done quadruple du quarre deFA (20. 6), c'est-a-dire que FH esi quadruple de A. Mais on a demontre que le gnomon MNS est quadruple de A; lc gnomon MNS est done egal a FH. Et puisque AF est double de FA, que AF est egal a FK, et AF egal a r; ladroite Kr sera double de r ; le rectangle KB est done double de BQ. Mais les rectangles A, B pris ensemble sont doubles de B (43. n ); le rectangle KB est done egal^aux rectangles A, B. Mais on a demontre que lc gnomon entier MNS est egal au rectangle entier rn ; le quarre restant z est done egal a EH. Mais BH est le rectangle sous FA, AB, car FA est egal a AH , et z est le quarre de BF ; le rectangle sous FA, AB est done egal au quarre de FB ; la droite AF cst done a FB comme rs est a BA( 17. 6 ). Mais AF est plus grand que FB; la droite FB est LE TRE1ZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 217 a FB TC BA. Tiff FA Qti'a( ax.pox xcti Major igitur et TB ipsa BA. Recta? igitur FA ex- trema et media ralione sects major portio est ipsa FB. Si igitur recta , etc. AO'T-OP TtfJLfOfJdtMt TO /ue/cr Tjufji.a. I ij FB. Eac cpa sv9-ia, TSC A H M M A. Or/ i AF ^/^ KaTce TO A* AS'T-W OT/ TWToOT^ao'/OF SOT/ TO awe T{ BA TCU ttTTO THf AF. Ava.ytypa.lfSu yap awo T? AB Tirpsiyuvov TO AE , xa) xaTa77/pa hoc est MN ipsi NEj quare etMZipsi ZE est TW ZE tirrii- ?c. AXAa TO MZ TU TH eiTTii' itrov'1' aequale. Sed MZ ipsiTH estaequale; et TH igitur i TO TH apse T&J ZE irriv laov. Kctvov vptir- ipsi ZE est aequale. Commune apponatur ipsum u TO TN' o apa HOH }i'u/u.uv JVof ffl-7< ; gnomon igitur HOn aequalis est rectangulo FE. AAAa TO FE TtTpa.Trhifttv lfti%Qn TOW HZ' TE. Sed FE qnadrnplum ostensum est ipsius xa.} o SOn apa 8 yvaftav TfTfa.7rha.yiof IO-TI TOU HZ ; et SOU igitur gnomon quadrnplus est ZH ZH T o HOn afct yviafjuav no} TO ZH 7rwTa.7rha.riot> \ \ -' ", \ ~ f TO CtTTO Til; OAHf KStl TOW T0t TlTf EOTO> JJLlffW TO AT* H AB, xa< AAEB , xaj uapov i'.ctl KO.TOL TO F, Xa} tffTU (J-illCfiV TfjXfJ.0. CTI TO. CLTTO TtoV AB , BF TplTT^O.- TOU O.7TO T5 FA. S&) yap awe TH; AB TtTpctyurov TO &) TO (T^ityUot. EWSI 5UC AB cxfGV KOI f/.tfCV hoyOV TtTfJIMTCtl XCLTCt TO , xtt) /Xt/Zfop Tfj^/JLci tfTiv H AF* TO apee PROPOSITIO IV. Si recta linea extremu et media ratione secta fueritj ipsa ex tola et minore portionc, utraque simul quadrata , tripla sunt quadrati ex maj ori portionc. Sit recta AB , et secetur extrema et media ra- ione in r, et sit major portio ATj dico ipsa ex AB , BT tripla esse ipsius ex AT. Describatur enim ex AB quadratum AAEB, et complealur ftgura. Quoniam igitur AB extrema et media ratione secta esl in r, et major portio est AT ; rectangulum igitur sub AB , Br aequale est quadrato ex AT. Et est quidem reclangu- lum sub AB , BT ipsum AK , quadratum autem ex AT ipsum 0H ; jequale igitur est AK ipsi H. Et quoniam ffiquale est ipsum AZ ipsi ZE, commune apponatur ipsum TK; totum igitur A K toti TE est a;quale ; ipsa igitur AK, TE ipsius AK suut dupla. Sed ipsa AK, TE ipse AMN gnomon PROPOSITION IV. Si une ligne droite est coupee en extreme et moyenne raison, le quarre de la droite enliere, conjointement avec le quarre du plus petit segment, est triple du quarre du plus grand segment. Soil la droite AB; qu'elle soit coupee en extreme et moyenne raison au point r^ et que Ar soil le plus grand segment; je dis que le quarre de la droite AB ? con- jointement avec le quarre de Br , est triple du quarre de TA. Car decrivons avec AB le quarre AAEB, et completons la figure. Puisque AE est coupe en extreme et moyenue raison au point r, et que Ar est le plus grand segment, le rectangle sous AB, Br sera egal au quarre de AF ( 17. 6). Mais le rectangle sous AB, sr est AK , et le quarre de AF est H ; le rectangle AK est done egal a H. Et puisque AZ est egal a ZE ( 43. i ), ajoutons le quarre commun nt; le rectangle entier AK sera egal au rectangle eutier FE; le rectangle AK, conjointement avec FE , est done double de AK. Mais les rectangles AK, FE coniieuent le gnomon TWC AB, Br Js'OC ||7T< T CtTTO T5 AF. K TO p.lv V7TO TUiV AB , BT TO AK, TO 'ttrov' TO. a.fot AK, TE TOU AK eo-rj S'm'ha.ina.. AAAa Ta AK, PE o AMN yvufj.uiv i TtT/xJiVflw xarct TO F fiifA fj.i!fyv Tfjwp.0. v AT, not Tt? AF i'crH xi'i\ AA* Ae'j/ft) art AB sufls;* aVpot- xa./ /xsV ' T6T//J)Ta/ KOLTO. TO A, Xt) TO [JLtTCflV s^ "fPC* f tti^tta, AB. ipQu yap otTra THJ AB Ttrpdyuvov TO AE , KOC) KaTaT-e^pa'^flci) TO o-^|Ua. Ecrs; oii'^ H AB axpof ai fjurov Xo^oc TtTfJiMTa.1 xctTa. TO T, TO apa UTTO TWC AB, BF /Vor \ T AE Aeigitursequale estipsiE. Commune apponatur iffort. Ka.} fFTl TO p.\v AK TO OTTO T&Jc BA, 0B i totum igitur AKtotiAEestsequale.El est AK A A , JVo ^ttp AA TjT AA , TO Si AE TO <*7ro THJ quidem ipsum sub BA, AA, jequalis cnim AA ipsi AB* TO' p* VTTO TUV BA, AA JW ttrri rp O.TTB AA, ipsum autem AE ipsum ex AB j ipsum igitur e TJIJ AB' IST/II a fata; ri AB wpoj TMI' BA cSr? i! sub BA , AA aequale est ipsi ex AB ; est igitur BA wpof TV AA. Me/^ar DUTCH; at 7=tp T;S AB aitpop ILOLI f^teroir hoycv u Kara, TO F* xa s^ra /taor r/j.fMt TO AF* Aej,&> CT; lirrji' 015 avvajjitpoTtpo: M BAF wpoj Ti' BA ot/Taf BA Trpof TC AF. Ke/Vflw ^p TH AF V >i AA fe'f i) AB wpoc TIIC BA OUTW? ya.f ) AB axpov am /Aiffov TO r, xcti fj.'Cifyiv T/xif^ua eT* TO AI* p Wf BA TpOf THC AF OUTWf H AF TTpOf TC TB. It Ji )i Ar TH AA* wr/r pa w H BA wpoj THC AA OUTWC H AT TT'pcf THV TB* a.va.7Tfthltr ap* l{ H AA wpoj THC AB ot/Tw; H BF Trpos TC TA" awbivTt p e;BA7rpof THK AF' JV Si ostensum est ut AB ad BA ita BA ad AFjjequalis Ar-rtf" AA* r/x apse a? AB wpoj TM^ BA euTWf autem At ipsi AA; est igitur ul AB ad BA }'. v BA wpif rr AA. H AB ap* axpo? xa) ^sVoc ita BA ad A A. Jpsa igitur AB extrcma et me- TiT/xar*/ *aTa TO A, xi TO pifcov T/*- did ratione secta est ia A , et major porlio \\a. i{ AF i'ffov IOT) TO V770 TUV AB , BF , ^ap AB Quoniam enim quinluplum est ipsum ex FA ipsius ex AA , ipsum autem ex FA aequale est ipsa ex TA , A A cum ipso bis sub TA , AAj quadrata igitur ex TA, AA cum ipso bis sub FA, AA quintupla sunt ipsius ex AAj dividendo igitur ipsum ex FA cum ipso bis sub FA , AA quintuplum est ipsius ex AA. Scd ipsi qui- dem bis sub FA. A A sequale est ipsum sub BA , AF , dupla enim BA ipsius AA , ipsi autem ex AF xquale est ipsum sub AB, EF, eleuim ANALYSE DU PREMIER THEOREMS SANS FIGURE. Que la droite AB soil coupee en extreme et raoyenne raison au point r, qne AT soil le plus grand segment, et faisons AA egal a la moitie de AB ; je dis que le quarre de FA est quintuple du quarre de AA. Car puisque le quarre de FA est quintuple du quarre de AA, et que le quarre de FA esl egal aux quarres des droites FA, AA, conjointement avec le double rec- tangle sous FA, AA( 4. 2 ), les quarres des droites FA, AA, conjointement avec le double rectangle sous FA, AA, seront quintuples du quarre de la droite AA; done, par6oustraction , le quarre de FA , coujointement avec le double rectangle sous FA, AA , sera quadruple du quarre de AA. Mais le rectangle sous BA, AF est egal au double rectangle sous FA, AA; car BA est double de AA, et le rec- tangle sous AB , BF est_egal au quarre de AF ( 17. 6 ) ; car AB est coupe en extreme LE TREIZIEME LIVRE DES E"LE"MENTS D'EUCLIDE. 327 axpov xa} pirov hoyer TtTfjitiTat- TO ap* VTTO ipsa AB extrema et media ratione secta estj TM BA , AF jMTii rS vvo TUV AB , BF TiTpa- ipsum igitur sub BA , Ar cum ipso sub AB , w*VioV IffTi ToS ivo Ti?f AA. AAXa TO CITTO TUV Br quadruplum est ipsius ex AA. Sed ipsum sub BA, AF /ufT TOV VTTO TUV AB, BF TO ivo THJ BA > Ar cum ipso sub AB , AF est ipsum ex AB ; AB ear/' TO apet awe T7ro TWC BA, AF /UKTO. TOW u^o TO>P AB, BF TSTp7rAaV/oy Sv AB, BF itroc efl~r( T^O a?ro Tiff AF* TO a-pa. avro Tf AF ^ATO. TOV HS'. Eufls/cc l-ap TIC TA TU.VUO.TOC IOLUTMS TOU i ' ' AA Tf^VTO.'iT^a.siav furttffSa , TW? o>i' TJ'T- Quoniam enim AB extrema et media ratione KctT* TO F, no.} TO fjiufyv T^H^ua Is-T/c secta est in F , et major portio est AFj ipsum Ar- TO pa OTTO TUV AB, UTirov \ lor -ru UTTO rut AA, AP -rev OLTTO riff AF. JY TO O.TTO T; AB TOU O.TTO T? TeTp7r>,as7ov apct xcu TO !f AA, TO cTif WTTO Taif AA , AT a.fa. O.TTQ TUV AA , AF yweTot TCU U7TO T&iy BA , Ar fJLvro. TOU O.TIO TMJ AP xa< KOIVOU f r* * \ r" \V f Cf/ptoil'TCf TCU U770 TWCBA, Ar, /VO/TTOf ctpat TO JTTC TKi' AB, Br /Voi- IITT) T&> a^ro Tf Ar- ?(TT/)' pt wf BA wpof TMC Ar OVTOJJ ii AT TMi' TB. Mei'^wf X.O.TO. TO T .'tyu> OTI wei'TaTrAamcV lff BA TO? esse ipsum ex BA ipsius ex rA. f TA. double rectangle sous AA, Ar, qui estle rectangle coropris une seule fois sous BA, Ar conjointement avec le quarre de Ar, est done egal au quarre de AB. Mais le quarre de AB est le rectangle sous AB , Br conjointement avec le rectangle sous BA , Ar (2. 2); le rectangle sous BA, Ar, conjointement avec le rectangle SOUSAB, Br, est done egal au rectangle sous BA , Ar, conjointement avec le quarre de Ar; retran- chons le rectangle commun sous BA , Ar ; le rectangle restant sous AB , Br sera egal au quarre de Ar ; la droite BA est done a Ar comme Ar est a rs ( 17. 6 ). Mais BA est plus grand que Ar; la droite Ar est done plus grande que TB ; la droite AB est done coupee en extreme et moyenne raison au point r ( def. 5. 6 ), et Ar est le plus grand segment. Ce qu'il fallait demonlrer. ANALYSE DU TROISIEME TIIEOREME. Que la droite AB soil coupee en extreme et moyenne raison au point r , que Ar soit le plus grand segment, et que TA soit la moitie de Ar; je dis que le quarre de BA est quintuple du quarre de TA. LE TREIZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 2 3i H ya.f jrtfra.TrXcifiov \s-ri TO i-nl tt BA Quoniam cnim quintuplum est ipsuin ex BA TOV O.TTO Tf FA, TO p -yfttwii AB a.xfcn Kcti pi Recta enim linea AB extrema etmediA ratione T/J.H- secetur in r , et sit major portio AFj dico P.O. TO AF' Ae>w In to. O.TTO TUV AB , BF Tp/wAst- quadrata ex AB , BF tripla esse quadrat! ex AT. iOT/ TOU Et77C THf AF. AB , BF Tp/TrAstfr/a lim Quoniam enim ipsa ex AB , BF tripla sunt i T ? AF, aAAtt TO. awo Twf AB, BF TO ipsius ex AF sed ipsa ex AB , BF ipsum T;? H AD iufcv not fjiicttv ?\iyov Recta enim quadam AB extrema et media ra- > KO.TO. T'O F, y.a.} t<7T(a {j.-Ci(,w Tf*i(v.a. tione secetur in r , et sit major portio AT, Ar, X/,T!J AF tfH x'.Mu ' AA- As'jw CTI i AB et ipsi AP aequajis j^onatur AA; dico ipsam AB aa.ro. TO A, y.a^i extrema et media ratione secari in puucto A, et majorem portionem esse BA. a.y.fOf HO.} fji'urov \oyov TO f^u^ov rptipa. ia~Fiv BA. SYNTHESE. Puisque la droite AB est coupee en extreme et raoyenne raison an po'nt r, et quo AF est le plus grand segment; le rectangle sous AB, BF sera egal au quarre de AF( 17. 6); le double rectangle sous AB, Br est done double du quarre de Ar; done, par addition, le double rectangle sous AB, Br, coiijointementavec le quarre de Af, est triple du quarre de Ar; mais le double rectangle sous AB, Br, conjoin- ( emem avec le quarre de Ar, est egal aux quarres des droites AB, sr( 7. 2); la somme des quarres des droites AB, Br est done triple du quarre de Ar. ANALYSE DU CINQUIEME THEOREME. Qu'une droite AB soil coupee en extreme et moyenne raisou au point r, que Ar soitle plus grand segment, et faisons AA egal a Ar ; je dis que la droite AB est coupee en extreme et moyenne raison au point A, et que BA est le plus gracd segment. 111. 3o 234 L E TREIZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. S; yap n AB etxpoy xo.i fj.iyov hoyw rirfj.ii- Quoniam enim ipsa AB extrema et media ra- reti Ka.ro, TO A, KO.I TO fj.{itsv ry.n/j,a. \of rnv AA. Iff- S\ n AA TJ AI"' "iirrtv a fa, u; ipsi AFj est igitur AB ad BA ita BA ad AT; conver- AB wpof THP BA o'iiruf n 'BA Trpo? rnv AF' tendo igiturut BAad AA ita ABadEFj dividendo iva.trbi-\vrl epa, u; BA wptf THC AA citrus igitur ut BA ad AA ita Ar ad FOB. JEqualis autern AB 77-po? rnv BF' fi&ovn apa. uf n BA wpcj AA ipsi AF; est igilurut BA ad Ar ita AF ad FB. rnv AA ot/Twj AF Trpo; rnv FB. Ta-H t ' AA TM Est autem , etenim ipsa AB extrema et media AF' tirriv apa. ug 11 BA Ttpcf rnv AF citrug n AF ratione secatur in r. Trpi; rnv FB. E TWJ AA. PHTOV A TO ctTTO TVf AA, pHTJ) 2 IO-T/C AA vfjuirtia, oZira. TH? AB P'JITM? cunts' \>/ \ i > \ . 3 * * \ pitTov apa )ta/ TO tt^ro Tf FA 3 * piiTjf apa esr Ka< TA. Kai ITTH TO aTO TI^J TA Trpof TO 0.7:0 THG A A Xsy-or OI/K j^s; or TeTpa^&ii'O? ap/fljUo j wpof Terpct^wcof apifljucc, amJyUyUETpc? "p* p.Mt it TA TM AA* e(i TA, AA apa pmai tiiri S*vvdftt V AB 3 J3F f AF I' TO / 'A^- ^ Eac apa snas/a, x< ipsius ABj quadratum igitur ex TA ipsius ex AA quintuplum estj ipsum igitur ex FA ad ip- sum ex AA rationem habet quam numerus ad numerum j commensurabile igitur ipsum ex TA ipsi ex AA. Rationale autem ipsum ex AA ; ratio- nalis est enim AA dimidia existens ipsius AB ra- tionalis existentis j rationale igitur et ipsum ex FA- rationalis igitur est et TA. Et quoniam ipsum ex TA ad ipsum ex AA ratiouem non habet quam quadratus uumerus ad quadratum numerum, incommensurabilis igilur longitudine ipsa TA ipsi AA ; ipsse TA , AA igitur ratio- nales sunt potentia solum commensurabiles ; apotomc igitur est AT. Rursus , quoniam AB extrema ct media ratione secta est , et major portio est AT; ipsum igitur sub AB , Br ccquale est ipsi ex AT j ipsum igitur ex AT apotome ad AB rationalem applicatum latitudinem facit BT- Ipsum autem ex apotomc ad rationalem ap- plicatum latitudinem facit apotomen primam; apotome igiturprima ipsa BF. Ostensa est autem et AF apotome. Si igitur recta , etc. du qnarre de AA ( i. i5 ); le quarre dc TA a done avec le quarre de AA la raison qu'nn nombre quarre a avec tin nombre quarre ; le quarre de FA est done com- mensurable avec le quarre de AA ( 6. 10 ). Mais le quarre de AA est ratiouel, car la droite AA est rationelle , puisqu'elle est la inoitie de AB qui est rationelle. Le quarre de FA est done aussi rationel ( def. 6. 10 ) ; la droite FA est done rationelle ( def. 8. 10 ). Et puisque le quarre de FA n'a pas avec le quarre de AA la raison qu'un nombre quarre a avec un nombre quarre; la droite FA est incommensurable en longueur avec la droite AA ( g. 10 ) ; les droites FA , AA sont done des rationelles commensurables en puissance seulemeut; la droite AF est done un apotome (74. 10 ). Deplus, puisque AB est coupe en extreme et moyenne raison, et que AF est le plus grand segment, le rectangle sous AB, BF est done egal au quarre de AF ; le quarre de Tapotome AF applique a la rationelle AU a done pour largeur la droite BF. Mais le quarre d'un apotome applique'a une rationelle a pour lar- geur un apotome premier (98. 10 ); la droite BF est clone un apotome premier. Mais on ademontre que AF est uu apotome. Done, etc. LE TRE1Z1EME LIVRE DBS CLEMENTS D'EUCLIDE. I1POTAZI2 PROPOSITIO VII. Ear yniToyiavou iVowAstlpow a/ Tpe/f yurletl, Si pentagonisequilateri tres anguli, sive dein- TC; < xaTtt TO i%i; n tti py X.O.TO. TO l|fV, ceps sive non deinceps, aequales sintj aequian- Jou yap ItowfaofW TOO ABFAE cei Pentagoni enim asquilateri ABTAE tres anguli Tptlf yuvlai TrpoTtpev a.1 KO.TO, TO ^VS atl 7rpa( priruum deinceps ad A , B , r asquales inter se A, B, F JW/ AAi)Aa/f irTWfa.v Ae'jw CT/ sint ; dico aequiangulum esse ABFAE peuta- ttni TO ABFAE Ttti Tdyuvov. goaum. yap a.1 AF, BE, 2A. Ka) \7tti Junganlur enim ipsae AF , BE , ZA. Et quo- TTO AEB iW Kct/ 3 A apa viro BFA oAit T AEA tiTT(v4 iV. AAAa JTTO BFA i'mt VTroxsiT&i T?? 7ipo( TO?'; A, B ynviaif*' KOLI IITTO AEA apa, Tctif wpo? TO?; A, B yuvicits iV. OfMiat J angulo AEB aequalis ; totus igitur BPA toti -AEA est sequalis. Sed angulus BPA oequalis po- nitur est angulis ad A, B et AEA igitur angulus angulis ad A , B aequalis est. Similiter utique TAE T-wy/'a JV>| SITT) T/; demonstrabimus et TAB angulum squalem esse wpff TO?; A , B yuvidif iroj-uvtor apct ;O-T< TO angulis ad A , B ; asquiangulum igitur est ABFAE ABFAE WTciyMOv, peutagonum. A on xai H F A " JUH iffTUFctv tea.1 ttl Kara, TO l^itf At ver-o non sint jequales deinccps auguli , sed yuvla.1 , aAA* eoTwsw JVa ai wpos TO?; A , T, A sint sequales ipsi ad A , r , A punctis ; dico et mifjLtioif Aej-w an aj CUTCO; Jaro^wyiflu sr* TO sic aequiangulum esse ABFAE peutagonum. ABFAE irtrrtiyuvtv, sera egal h Tangle BEA, et Tangle ABE egal a Tangle TAB (4. i); le cote AZ est done egal an cote BZ ( 6. i ). Mais on a demontre que la droite entiere AF est egale a la droite entiere BE ; le reste zr est done egal au reste ZE. Mais FA est egal a AE; les deux droites zr, FA sont done egales aux deux droites ZE, EA ; mais la base ZA est commune; Tangle ZFA est done egal a Tangle ZEA (8. i ). Mais ou a de- montre que Tangle BFA est egal a Tangle AEB; Tangle entier BFA est done egal a Tangle entier AEA. Mais Tangle BFA est suppose egal aux angles places aux points A, B; Tangle AEA esl done egal aux angles places aux points A , B. Nous demon- trerons semblabletnent que Tangle FAE est egal aux angles places aux points A, B; le pentagone ABFAE est done equiangle. Mais que les angles egaux ne soient pas de suite , et que les angles egaux soient ceux qui sont places aux points A , r, A ; je dis qe le pentagone ABFAE est encore equiangle de cette maniere. LE TRE1ZIEME L1VRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. a: t%tv%8u 7p ' BA. Kai tvi] BFA Tfiyuufi 7 TO ABFAE Trt rra^ way. O?r!p Car joignons BA. Puisque les deux droltesBA, AE soul egales aux deux drohes Br, FA, et qu'elles comprcnent des angles egaux, la base BE sera egale a la base BA ( 4. i )>' le triangle ABE sera egal au triangle BTA, et les angles reslants sontendus par des coles egaux, seront egaux entre eux; Tangle AEB est done egal a Tangle TAB. Mais Tangle BEA est egal a Tangle BAE (6. i ), parce que le cote BE est egal au cote BA ; Tangle entier AEA est done egal a Tangle eniier TAE. Mais Tangle FAE est suppose egal aux angles places aux points A, r; Tangle AEA est done egal aux angles places aux points A, r. Par la meme raison, Tangle ABT est egal anx angles places aux points A, r, A; le pealagoue ABFAE est done equiangle. Ce qu'il fallait demontrer. LE TRE1ZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. ITPOTASIS '. PROPOSITIO VIII. Eac frwrctydivotj itrovhtupou KO.I t ra.f xttra. TO axpov not lAtirov \ttyvv TO. Si pentagoni asquilateri et aequianguli deinceps duos angulos subtendant recise , extrema et media ratione se mutuo secant , et majores ipsarum auT&if TfAvputTa. 'lira. eiAj KO.TO. TO , tturav ctxpov x.ai IAWOV hoyov xtna. TO fitf^iTov 1 , xa,} TO. [j.tioi>& , 'tea, rv 0,1 AF, BE, art Pentagon! enim aequilateri et sequianguli ABFAE duos angulos deinceps ad A , B subtendant rectae AF , BE , se mutuo secant in puncto j dico utramque ipsarum extrema et media ratione secari in puncto, el majores earum por- tiones sequales esse pentagoni lateri. flw yap Tftp} TO ABFAE itwriyu- Describatur enim circa ABFAE pentagonum iw XVK&OS o ABIAE. Ka< i Mo tv8i7cti i VTTO ipsi A0E quare et E recta ipsi EA, hoc est 0AE yoovitt TV uiro AQE* am xa,} E tuftua, ipsi AB, est aeqiialis. Et quoniam aequalis est T EA , TCUTiVr/ TM AB ea-T/f I'ffH. Ka) \7rii /V BA recta ipsi AE , aequalis est et angulus ta-r/v H BA eJfle~t T AE, /V \'M triangulis et ABE et AB est ipse ABE reliquus ray wi-/'a Xo/77ij angulum igitur est ABE triangulum triangulo T 0770 AB ls~rir 'In' Iffoyunsv apst Itrr} 6 TO AB0; proportionaliter igitur est utEB adBA ita ABE Tp/7-wcoy T^? AB0 TftyavK- a.va.'hoyov apa, AB ad B0. JEqualis autem BA ipsi E0; ergo i-TfCtetif>a BF, l^ctyuvou ft FA, xa) fl-av sV tu6iftt(* },'tyu CTI 2/.M eufls/k ' BA axpoc Jtai //tfl-oy Ao'jov Ter/xoTa/ xara T6r 2 ,x)To a 6ffeu/ a/EB, turn , et jungantur ipsae EB , ET, EA, et produ- EI, EA , xa.i SD'.^U n BE IT!"} TO A. K< \Tril calur BE ad A. Et quoniam decagoni a;tjui- PROPOSITION IX. Si Ton ajome ensemble le cote de 1'hexagorie et le cole du decagone, ces poly- gones etant decrits dans le meme cercle , la droite entiere sera coupee en ex- treme et moyenne raison , et son plus grand segment sera le cote de 1'hexagone. Soil le cercle ABr; decrirons ces polygones dans le cercle ABF; que Br soil le cote du decagone , et FA le cote de 1'hexagone , et que ces cotes soient places en ligne droite ; je dis que la droite entiere BA est coupee en extreme et moyeune raison au point r, et que FA est son plus grand segment. Car prenons le centre du cercle, et que ce soil le point E; joignons EB, EF, EA, et prolongeons BEvers le point A. Puisque Br estle cote d'un decagone equi- 244 LE TRE1ZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. IfOirXivfw Ti^ivpa. tfTiv ;i BF, wee- lateri latus est BF, quintupla igitur AFB cir- cipct H AFB Tripiipipiici THJ BF Tript- cumferentia circumferentiae BF quadruple igi- . tnt tur Ar c i rcum ferentia cifcumferentiae FB. Ut p* AF FB. fi; ft AT TTtpitpttiitt, TTfl; TIIV FB ct/rac f . j , -. autem AF circumferenUa ad ipsam TB ila AEF V UTTO AEF yuivia. Trace "rvv UTTO TEB* TerpaTrAa- , , , , ,v , , ,,-,,, angulus ad ipsum FEB ; quadruplus igitur angu- ffiuf apt*, VTTO AEf THJ VTTO FEB. K< ews< KTH , x ,< , ^v_ .^ .1 lus AEF anculi FEB.Et quoniam aequalis csl EBT KTTIV UTTO EBF yunct TII into EFB, w f I/TTO AEF >v; A W A't.rr} T w EFB. K) an S uIus 'P ErB > ergo AEF angulus duplus est SO-T<^ EF iu36?t T FA, tKATtpit jdp ipsius EFB. Et quoniam sequalis est F recta ipsi lien TOV ABF < TCU rA, utraque enim ipsarum xqualis est hexagoni *p*p8A"it*-t , im Itrrt lateri in ABF circulodescripti, aequalis est et TEA TEA yuvia. TH FAE wc<'a 6 rV ooro EAF. TJij UTTO EFB Tangle TEA sera egal a Tangle FAE (5. i ); Tangle EFB est done double de Tangle EAF( 02. i ). Mais on a demon ire que Tangle AEF est double de Tangle EFB; Tai gleAEF est done quadruple de Tangle EAF. Mais on a demon tre que 1 'angle AEF est quadruple de Tangle BEF; Tangle EAF est done egal LE TRE1ZIEME LIVRE DES AEF' Tim afa. vvo EAF -iS vvo BEF. KO/VH ' EB T AF* itrriv apct a; BA crpo? Ty AF euT&)f AF 3~pof THV IB. ME/^W)' cTt BA T? AF' [MiLuv ap* 9 xa 11 AF T; FB* BA ap* tv8i7a. a^pov xai [Atrcy hoyov TST/-IHTCH xara TO F, cai TO /ttfi^br a.^t\g T/x/xa 10 es AF. OTTs 2 TO pentagonum aequilaterum describatur ABFAE- a Tangle BEF. Mais I'angle EBA est commun aux deux triangles BEA, BEF; Tangle restant BEA est done egal a Tangle restant EFB (52.' i }; le triangle EBA est done equiangle avec le triangle EBF ; la droite AB est done a BE comme EB est a BF ( 4. 6 ). Mais EB est egal a AF ( i5. 4 ); la droite BA est done a AF comme AF est a FB. Mais la droite BA est plus grande que AF ; la droite AF est done plus grande que FB ; la droite BA est done coupee en extreme et moyenue raison au pointr (defi3. 6), et AF est son plus grand segment. Ce qu'il fallait demontrer. PROPOSITION X. Si Ton decrit dans un cercle im pentagone equilateral, le quarre du cote du pentagone sera egal a la somme des quarres du cote de Thexagone et du cote du decagone, ces polygones etant decrits dansle meme cercle. Soit le cercle ABFAE , et decrivons dans le cercle ABFAE le pentagone equila- 246 LE TREIZIEME LIVRE DBS ^LltMENTS D'EUCLIDE. ABFAE' Xtj-w on TOW ABFAE Vivretyuvou dico ABFAE pentagon! latus posse et latus hexa- vhiupa. J~vva.Titi T'C rt TOW ^ttyurov x THK goni et latus decagoni in eodem ABFAEcirculo TOV JWj-wi/oo Trhtvpciv , TWC e/f TOC ABFAE descriptorum. TO ,Z Sumatur enim centrum circulipunctum Z, et E/Xiiipflw 5/ap TO xscTpof TOW t//,s?oc 3 , net) i7ri.u%6t7} TH TTtpKpifiiia. Ao<77 Ttf AH 4w^;' T uVo KZB x) TrtfKpiftiit. H AK T>7 KB '{o-rii- In- AB TrtpiQiptia. Tf BK wep/P si ZB > et perpendicularis Z0 ; aequalis igi- tur et AZK angulus ipsi KZB j quare et cir- cumferentia AK ipsi KB est ajqualis j dupla g itur AB circumferentia circumferentia;; BK ; decagoni igitur latus est recta AK. Prop- ter eadem . utiquc et AF ipsius KM est dupla. Et quoniam dupla est AB circumferentia cir- teral ABFAE; je dis que le quarre da cote dapehtagone ABFAE est egal a lasornme des quarres de 1'hexagone et du decagoue , ces polygones etant decrits dans le cercle ABFAE. Car prenons z le centre du cercle ; ayant joint AZ , prolongeons cette droite vers le point H; joignons ZB, du point z menons la droit ze perpendiculaire a AB ; prolongeons cette droile yersK; joignons AK, KB; du point z menons ZA per- pendiculaire a AK; prolongeons cette droite versM, et joignons KN. Puisque 1'arc ABFH est egal a 1'arc AEAH, et que Tare ABF est egal a 1'arc AEA, Tare restant FH sera egal a 1'arc restant AH. Mais FA est le cole du pentagone; la droite FH est done le cote du decagone. Et puisque AZ est egal a ZB, et que Z0 est une perpendiculaire , Tangle AZK sera egal a KZB ; 1'arc AK est done egal a 1'arc KB ; 1'arc AB est done double de 1'arc BK ; la droite AK est done le cote du decagoue. Par la menie raisou, 1'arc AK est double de 1'arc KM. Et puisque 1'arc LE TRE1ZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 247 cumferentise BK , ajqualis autem FA circum- ferentia circumferentia; AB ; dupla igitur et FA circumfereutia circumferentiae BK. Est aulem FA circumferenlia et ipsias FH dupla ; aequa- lis igitur FH circumferentia ipsi BK circumfe- rentiae. Sed BK ipsius KM est dupla , quoniam et KA; et FHigituripsiusKMest dupla. Sed quidera et FB circumferenlia circumferential BK est du- y- Si FA mpiqiputt TtT AB Tttpuptptia.' ap xi FA Tftpiiptpli* TJ BK ET/ ft ' FA 7rtpi UTTO HZB xa.} T; inro ZAB tag AB ei/9e; Trpo? THC BZ ZB Trpof Ty EN' TO apa VKO rut* AB, BN JVcc 5 AB , BN aequale est quadrate ex BZ. Rursus quoniam xqualis cst AA ipsi AK , communis autem et ad rectos ipsa AN ; basis igitur et KN basi AN est xqua- lis ; et angulus igitur AKN angulo AAN est scqualis. Sed angulus AAN angulo KBN est aequa- lis; et AKN igitur angulus angulo KBN estaequa- lis. Et communis duobus triangulis , et AKB et P BA, AN irov irr} r O.TTO T( AK. Efii%Q Si xeti TO IITTO TUV AB , BN i'my AKN, angulus NAK; reliquus igitur AKB reli- quo KNA est aequalis; aequiangulum igitur est KBA triangulum triangulo KNA. Proportiona- liter igitur est ut BA recta ad AK ita KA ad AN; rectangulum igitur sub BA , AN est sequale quadrato ex AK. Ostensum est autem et rec- tangulum sub AB,BN a;quale quadrato exBZj BZN ; la droite AB est done a BZ comme BZ est a BN ( 4. 6 ) ; le rectangle sous AB , BN est done egal au quarre de BZ ( 17. 6 ). De plus, puisque AA est egal a AK, et que la perpendiculaire AN est commune ; la base KN sera egale a la base AN (4. i ); Tangle AKN est done egal a Tangle AAN. Mais Tangle AAN est egal a Tangle KBN (5. i ) ; Tangle AKN est done egal a Tangle KEN. Mais Tangle NAK est commun aux deux triangles AKB , AKN ; Tangle restaut AKB est done egal a Tangle restant KNA ( 62. i ); le triangle KBA est done equiangle avec le triangle KNA. La droite BA est done a AK comme KA est a AN; le rectangle sous BA, AN est done egal au quarre de AK ( 17. 6 ). Mais on a demontre que le rectangle sous AB, BN est egal LE TREIZIEME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. 249 y i-TTO BZ- TO off* VTTO TUV AB , BN (JUTO. rectangulum igitur sub AB , BN cum rectangulo TS UTJ-O TF BA,AN, 67rsp \ \ ~ , > ~ * 1 .. aequale est quadrato ex BZ cum ouadrato ex ITCV trri TU> a7fo Tti; BZ /zero. -rev 0.7:0 Ttif AK. ', v , , , ., AK. Et est quidcm AB pentaa;oni latus, ipsa K, ,T,r . /m AB w ,rT>vc **p , <^ BZ ycro , alus bexagoni ; ipsa A BZ ?|*>wi-ou, M Ts AK (TjKotjwciu. decagoni. H v ABF Tti' AEA JV tori 3 - AO/5TH apct IH AO;WM TM HA leTiv 'in. K lav tTri^v^fji^ rv AA, vrAi epQo.} &l Trpog T^ A yuvim , a/ 11 AT TMf 5 FA. A/a Ta auri <^ 6 xa / TW M flffl*/ e;V/, *) hv*-*f.'3 AT r( FM. ETTS) ouc wc/ TH i^o AMZ, KO/|'|) TO AAP 1 AO/WM ae* JTTO AFA AO/WH T>7 UTTO MZA ISTIC ' pa. Itrrif at AF vrpo; THV^> FA OIITU; MZ wpo? THC 10 ZA, x Twy ej-o^usi-wr Ta et AMZ, angulus AAF; rcliquus igilur ATA reli- quo MZAest ajqiialis^scijuiangulum igitur est AFA triangulum triangulo AMZ proportionaliter igi- tur est ut Ar ad TA ita MZ ad ZA , ct antcceden- tium dupla ; ut igitur dupla ipsius AF ad Puisque la droite AZ est rationelle, la droitu ZK sera rationelle. Mais BZ est ra- tionel; la droite cntiere BK est done ralionelle. Et puisque 1'arc AFH est egal a Fare AAH , et que 1'arc ABF est cgal a 1'arc AEA, Fare restant FH sera egal a 1'arc res tan t HA. JoignonsAA; les angles seront droits en A, et AF sera double de FA ( 35. i ). Par la meme raison, les angles seront droils en M, et AF sera double de FM. Et puisque Fangle AAF est egal a Fangle AMZ, et que Fangle AAF est commun aux deux triangles AAF, AMZ, Fangle restant AFA sera egal a Fangle reslant MZA ( 5a. i ) ; le triaugle AFA est done semblable au triangle AMZ; la droite AF est done a FA commc MZ est a ZA (4. 6 ) ; doublant les antecedents, le double Trpo; TV FA OI/T&K MZ /rpo? TV ' , v ~ c , v 7f ZA, Xct* TWf tTTOjUUVUV TX LE TRmZlEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 2 5i S~nr*a.tria.' w? 'apa Ttit AT JWAii Trpo? THC TA TA ita dupla ipsius MZ ad ZA. Ut autem euTut H TJ MZ (T/jj-AtT Trpof THC ZA. flf / ' ' ipsius MZ dupla ad ZA ita MZ ad dimidiam T MLtnriS wp3? Ttix ZA writs *MZ^ wpo; ; psius ZA . et ut igkur dup]a .^ Ar ad TIIC tiuta-iittv TH; ZA' *ai &>? apst ii TJ?? AF _, -, ,. , ,. .,. . . , x v v e , TA ita MZ ad dimidiam ipsms ZA et con- setjuentium dinudia ; ut igitur dupla ipsius AF ad dimidia m ipus FA ita MZ ad quar- TA o^Tftif MZ wpof TO rirctfTov -rttg ZA. Ka) tam partem ipsius ZA. Et est ipsius quidem t' ZK' sirT/c ipsius autem ZA quarta pars ZK; est igitur ut Ar ad rM ita MZ ad ZK - Componeado et ut utraque AFM ad TM Ua MK ad KZ ; et ut . \ / ~ v i . , - igitur ipsum ex utraque ArM ad ipsum ex TM tTfo ffu\'afj,w';'oo o/oc TMV AF, axpsv ' 3 , TO piifyv T/XM.M* Ttf TCV TTil'TttyCiVOU TrfaupSl, TCUTifTI ; , , " v TO ? /J.ia.( 7rpc; TO aero Tf TM cyrj {(Te/^flo ad ipsum ex TM ita osteusum cst ipsum ex MKad TO avo Tf MK crpoj TO dwo THjKZ' WTO.'***- ipsum ex KZ; quintuplum igitur ipsum ex MK fitv apo TO a.7ro rii( MK TOO O.TTO TJ KZ. PTOC ipsius ex KZ. Rationale autem ipsum ex KZ , ra- S~l TO O.TTO T;I? KZ, p'T >p H Ji/*iTpcf pMTCf tionalis enim diameter ; rationale igitur cst ct c'p* io TJ BK TCU i-TTo Tj?f KM' BK ipsius ex KM; ipsum igitur cxBK ad ipsum TO apa aTTo TMJ BK Trpo? TO awo TC KM 20 Xc'jcc ex KM rationem non habet quam quadratus nu- mcrus ad qnadratum numerum ; incommcn- v BZ TMf ZK 3 apa. ITT}V ti BK T? KZ' 8 ' tixo TO C47TO T? BK TOt/ 770 Tf KZ'9. TO a.7ro Tf MK TOV awo TWJ KZ de la sorame des droites Ar, TM sera quintuple du quarre de TM. Mais on a de- montre que le quarre de la somme des droites Ar , FM est au quarre de FM comme le quarre de MK est au quarre de KZ; le quarre de MK est done quintuple du quarre de KZ. Mais le quarre de KZ est rationel (def. 6. 10), car le diametre est ra- liouel ; le quarre de MK est done aussi rationel (6. 10); la droite MK est done ra- tiouelle ; car le quarre de MK a avec le quarre de KZ la raison qu'tin nombre a avec uti ncmbre. Et puisque la droite BZ est quadruple de ZK, la droite BK sera quintuple de KZ ; le quarre de BK est done egal a vingt-cinq ibis le quarre de KZ ( cor. 20. G ). Mais le quarre de MK est quintuple du quarre de KZ ; le quarre de BK est done quintuple du quarre de KM; le quarre de BK n'a done pas avec le quarre de KM la raison qu'un nombre quarre a avec un nombre quarre; la LE TREIZIEME L1VRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. a53 a.s6it" fuva.fj.tt fjiovov m/ufJii'Tf.ot Si aulem a rational! rationalis auferatur poteu- cua-it TJT o> , ii Ao/:r a?io> o'f es-r/c 22 ' a^OTO^ii tia solum commcnsurabilis existens toti , reliqua apst MB, 77-pos-ap/uo'ou&> irralionalis est; apotome igitur MB, congruens JM CTI v.tti TeTa'pTM. fl a.-rctt Hi aequale sit ipsum ex N ; ipsa igitur BK plus TtTN. K) STTSI fujututrpof iirri^ii KZ TH ZB , potest quam KM ipsa N. Et quoniam com- xcti svt'HitTt cv/J.fjnrpog-t7Tiv KB ry BZ. H BZ Ti7 Be OTjfjLpiTpGS ifTi fjulxti aa TI? B0 ripfjLfTos iavoj rrpl; rtrpdyurov in ft- fa.jj.^.u^ trnv BK TJT N- BK *pa KM pfifyv fuvcirai -ru mensurabilis est KZ ipsi ZB , et componendo **} M KB commensurabilis est KB ipsi BZ. Sed BZ ipsi B0 commensurabilis est longitudine j et KB igitur ip si BQ commensurabilis est. Et quoniam quia- TO ap*. awo TJ BK wpc'f TO iiro T; KM Ao>9it. tuplum est ipsum ex BK ipsius ex KM ; ipsum igitur ex BK ad ipsum ex KM rationem babel q uam qinque ad unum ; convertendo igi- tur >P sum ex BK a ^ ipsum ex N rationem habct q 113 " 1 quinque ad qualuor, et non earn quam cw quadratus numerus ad quadratum numerum ; incommensurabilis igitur longitudine est BK ipsi N ; ipsa BK igitur plus potest quam KM qua- droite BK est done incommensurable en longueur ajrec KM (g. 10 ). Mais chacune de ces droites est rationellejles droitesEK, KM ne sont douc commensurables qu'en puissance. Mais si" d'une droite rationelle on ote une droite rationelle commensu- rable en puissan,ce seulement avec la droite entiere, la droite restante est irralionelle (74. 10); la droite MB est done un apotome, et la droite MK sa congrnente. Je dis que MB est un quatrieme apotome. Que le qnarre de N soil egal a la surface dont le quarre de BK surpasse le quarre de KM; la puissance de BK sera plus grande que la puissance de KM de la puissance de N. Et puisque KZ est commen- surable avec ZB; par addition, KB sera commensurable avec BZ. Mais BZ est com- mensurable en longueur avec Be; la droiie KB est done commensurable avec Be ( 12. 10 ). Mais le quarre de BK est quintuple du quarre de KM; le quarre de BK a done avec le quarre de KM la raison que cinq a avec un ; done, par con- version, le quarre de BK a avec le quarre de N la raison que cinq a avec qualre ( cor. 19. 5 ), et non pas celle qu'un nombre quarre a avec un nombre quarre ; la droite BK est done incommensurable en longueur avec N (9. 10); la puissance de BK surpasse done la puissance de KM du quarre d'une droite incommensurable r7 B6* 7n>T ft uvo ftttuf Kit} AVOT^ Tt~ 2 54 LE TREIZ,IEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. sayTW. ETTtl ouv oAM BK riif irpotreLffAtfyuTnf drato ex recta sibi incommensurabili. Quoniam TJK KM /(> fvrctr&t TV ivo am^rpov - igitur tola BK quam congruens KM plus potcst n fJtxti^ , KOLI eA it BK iru/^usTps? \ai MB. Ipsum autem sub rationali et apotome quarta contentum rectangulum irrationale est, et potens ipsum irrationalis est, qua? appellatur TC A0 iroyuviov y'mr- minor. Potest autem ipsum sub OB , BM ipsa AB, propterea quod juncta A0 aequiangulum f't ^ B0 triangulum triangulo ABM, et est ut B ad BA ita AB ad BM ; ipsa AB igilur pen- ta S olli lalus est irrationalis qua: appellatur minor. Quod oportcbat oslendere. 11 fum/u.i:>t O.IITO aXo^c'f ten, xctteT-rcii ft ?Aar- rtav. Ai5v*Ti ^6 TO UTTO ' Tut 0B, BM AB, TO r/ 28 TO AB8 -rpiymov r$ ABM f TJIC 0B wpoc Tile BA oi'TWf Ty AB TWC EM- ii apa AB TOV wra.yurov ^^.v^i Ow= i'ftt avec BK. Et ptiisque la puissance de la droite eutiere BK est plus grande que la puis- sance dc la congruente KM du quarre d'une droite incommensurable en longueur avec BK , et que la droite entiere BK est commensurable avec la ralionelle exposee B0; la droite MB sera un quatrieme apotome (def. tr. 4- 10). Etpuisque le rectangle compris sous une rationelle et sous un quatrieme apotome est irrational (96. 10) , que la droite qui peut cette surface est aussi irralionelle , et s'appele mineure, et q le ABpeut le rectangle sous 9B , BM (17. 6), parce qu'ayant joint Ae ? lc triangle ABO est equiangle avec ABM (8. 6), et que Be est a BA comme AB est a BM (4. 6); le cote AB du peutagone sera 1'irrationelle qu'on appele mineure. Ce qu'il fallait demontrer. LE THElZlfcME L1VRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 2 55 FTP OTA 2 I 2 Eaf tlf KUX^OV Tp'iyavov Je-oirXsofov l>7 tt S~vra.[jiti rpiv V tx To Ktvrpou TOU E3T&> xt/xAcc o ABF , < tif etvror rpiyutot Qcii TO ABF' ?.67/tf CT/ a T4t> ABF rptywov pa. Tl7f SK T5t7 KH'TpCW TCU ABf XUXACV. PROPOSITIO XII. Si in circulo triangulum asquilaterum descri- batur, trianguli latus potentia triplum est ejus quae ex centro circuli. Sit circulus ABr, et in ipso triangulum. aecjui- laterum describatur ABF j dico trianguli ABr unum lalus potentia triplum esse ejus quae est ex centro circuli ABr. xai 7nf\iyaa. AA i) BE. Kctj BEF T? TCV ABF xvzhcv Trtpt 7T'.pt$>plltt tKTOV tfr] fltpOf 2 THf TOW TO A , 3 v.tu VTTI- ttrri TO ABr Sumatur enim circuli centrum A, et juncta AA producatur ad E , et juugatur BE. Et quo- niam acquilatcrura est AST triangulum , ipsa BEr igitur circumfereutia tertia pars est circum- a.;' it dca. BE ferentia; circuli ABr ; ergo BE circnmferentia sexta est pars circumfercnlia; circuli ; besagoni PROPOSITION XII. Si 1'on decrit dans un cercle un triangle equilateral , le quarre du cote du triangle sera triple du quarre du rayon. Soit le cercle ABF, et dans ce cercle decrivons le triangle equilateral ABF; je dis que le quarre du cote du triangle ABF est triple du quarre du rayon du cercle ABF. Car prenons le centre A du cercle; joignqps AA; prolongeons cette droite vers E, et joignons BE. Puisque le triangle ABF est equilateral, 1'arc BEF est la troisieme parlie de la circonference du cercle ABF ; 1'arc BE est done la sixieme partie de la circonftrence du cercle ; la droite BE est done le cote de 1'hexagone; cette , ; 2 56 LE TREIZ1EME L1VRE DES ELEMENTS D'Etfj LIDE. ifit a ifryuvov ap* wtevp* l ' j _;, AC AE , hoc est ipsius ex BE. JEquale autcm ipsum T8(TT< T9W CtT^O TH? BE. IfOf Oi TO (tTTO T f AE * 7ro TC AB, BE- T ap* awo TWC AB, BE ex AE ipsis ex AB, BE; ipsa igitur ex AB , BE T2Tp7rAttir/tt i'. H* PROPOSITIO XIII. fT>i- trpapa? (ia^sT-po; H AB, K* TiTp. WfMflctv w&i TW Ar rSf IB* KI ITTI THf AB M^U/KI/^A/OC TO AAB, ita/ TOU T FMfAtlOU T AB TTpCf CpflcCf TA, K 677J- eu^6 AA" Ka) sxxs/VSu xuK^Of EZH, ir)F i^wc TMC sx TO? Kii'Tpou TV Ar j t ly)'typo.H ; du point meuons la droite 0K perpeadiculaire au plau du cercle EZHJ faisons III. 33 2 58 LE TREIZJEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 'Trplf op6ei( 9 K, j-.ee/ apwpH'o-flw'i OLTTO T>i( @K TH Ar K , et auferatur ab ipsa OK ipsi AF rectse tv8ti$?fi @K,xa.} iwe^si^flwow */ KE,KZ, KH. aequalis ipsa K , et jungantur ipsae KE , KZ, K<*/ Iwe/ K of 8 IOT/P Trpoj TO TOU EZH KUKAow KH. Et quoniam K recta cslad planurn circuli p' KOI ?rpc(7rci xa/ t$ff*(tr T TOW EZH KVX^OV 'vjri- et existentes in EZH circuli piano, rectos faciet etTiM, opflaf TTOIYKHI yufl*f, ATTTITO.! Si avTJi? angulos. Contingit autem ipsam unaqusequc TUV E , Z , H* K a-ftt Trpcif ipsarum E , Z, H ipsa K igitur ad unam- VHV fSv 0E, Z, H opflrf Itrri. Ka} int] 'i/r quamque ipsarum E, Z , H perpendicularis Jo-Tii/ jute AF TM K, ii ft FA TJ) 1 0E, xai est. Et quoniam aequalis est quidem ipsa Ar ipsi opfla; yurictf irtfii%ww jSrfV/? ap AA /Sa- K , ipsa vero rA ipsi E , et rectos angulos / TW KE le-riv int. A/a ret aura S~ti xa] em- continent; basis igitur AA basi KE est aequa- fipa. TUV KZ, KH TW AA ttrriv 'in' ai Tpei? 1's. Propter eadem ulique et utraqne ipsarum of a. n't KE, KZ, KH JVa/ aAAAa/f e/V/. Ka< KZ, KH ipsi A A est aequalis; tres igitur KE, KZ, ts-T/f AF TM? IB, ap* KH sequalcs inter se sunt. Et quoniam dupla est AB TM? BF. fif (Ts AB 77po? TC BF ovrus TO Ar ipsius TB, tripla igitur AB ipsius BF. Ut au- a?ro T/7s AA fl-po? TO 770 Tf AI 5 , w? t|)7f tern AB ad BF ita ipsum ex AA ad ipsum ex fti%6 ut deinceps demonstrabitur; triplum igitur eiTro TS AF. EOT/ <5l xa/ TO aTro Tf ZE TOU ipsum ex AA ipsius ex AF. Est autem et ipsum afl-o TJIJ E Tp/TrActwc, xet) ts-r/c V H AF TH ex ZE ipsius ex E0 triplum , et est a;qualis Ar E' JV apct nn} AA T EZ. AMa AA sxas-- ipsi E ; aaqualis igitur et AA ipsi EZ. Sed T TUV KE, KZ, KH e EZj ZH, HE *xao-T TW KE , KZ, KH aequalis ; et unaquaeque igitur ipsarum EZ , ZH , la droite K egale a la droite AF , et joignons KE , KZ , KH. Puisque K est perpendiculaire au plan du cercle EZH, cette droite fera des angles egaux avec tomes les droites qui la rencontrent, et qui sont dans le plan du cercle EZH ( def. 5. ii ). Mais chacune des droites E, z, H rencontre la droite K; la droite K est done perpendiculaire a chacune des droites E, z, H. Et puisque AF est egal a K, que FA est egal a E, et que ces droites comprenent des angles droits, la base AA sera egale a la base KE ( 4. i ) Par la meme raison , chacune des droites KZ, KH sera egale a AA; les trois droites KE , KZ, KH sont done egales entr'elles. Et puisque AF est double derB, la droite AB sera" triple de BF. Mais AB est a BF comme le quarre de AA est au quarrede AF, ainsi qu'on le de- monirera plus bas ; le quarre de AA est done triple du quarre de AF. Mais le quarre de ZE est triple du quarre de E ( 12. i3 ), et AF est egal a E; la droite AA est done egale a EZ. Mais on a demontre que AA est egal a chacune des droites KE, KZ ; KH; chacune des droites EZ, ZH, HE est done egale a chacune des droites tic Ttffffapcav TO EZH LE TREIZ1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. f frir tw Iffoirfavpa. ap* ifri TO. rievitpa. rp/- HE unicuique ipsarum KE , KZ, KH est aequa- ywo. TO. EZH, KEZ,KZH, KHE' Tivfa./j.}f ap* lis ; aequilatera igUur sunt quatuor trian- gula EZH , KEZ , KZH , KHE ; pyramis igitur constituta est ex quatuor triangulis Kquilatcris, cuj us basis quidem est EZH triaugulum, vertex autem >K punctum. Oportet igitur ipsam et sphaera comprehen- dere data , et ostendere sphaerse diamctrum poteatiasesquialteram essc lateris pyramidis. TO K OtUTHf y*p in eoSt/et; Tt K w^Jta. T Br In 0A9. K* 677j ' 6A , xcei lf AF vpif TUV TA ovruf FA Trp Producantur enim in directum ipsi KG recta 0A , et ponatur ipsi BF jequalis ipsa 0A. Et quoniam est ut AT ad FA ita TA ad TB ; sed FB, 1 ad A j ipsum igitur sub K0, A ajquale est KE,KZ, KH; les quatre triangles EZH, KEZ, KZH, KHE sontdonc equilateraux; on a done construit une pyramide comprise par quatre triangles equilateraux , celie pyramide ayant pour base le triangle EZH, et pour sommet le point K. II faut circonscrire cette pyramide par la sphere donnee, et demontrer que le quarre du diametre de cette sphere est egal aux trois moities du quarre du cote de la pyramide. Car menons A dans la direction de K0, et faisons A egal a Br. Puisque Ar est a FA commerA est a FB ( 8. 6), que AF est egal a K0, que FA est egal a E, et que FB est egal a A , la droite K sera a E comme est a A ; le rectangle sous K, 2 6o LE TREIZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. A iVoc Ifri T ai.7ra TMf E. Ka) Ix&Tffa. TV UTIO KE, EGA 10 yunSv TO ipa. iV) THC KA ypaQoptvov HfJUMKhiov $t;ti no.} ha. vov E. ETJ-uJViVsp \a.v 'fTrtfyuZufMr vvv EA, cp8ii yimm WTTO AEK }W , fia. TO /Vo- yunov yiywrr&i" ToEAK rpiytetev 'w.trrlpto TUV EA0, E0K Tpiyavuv. Eav fit ywecouVjx TV; KA TO tifJuxi'K^iov tl{ TO O.UTO vrd^iv Qw i>p%a,TO (ff'psffva/, e/ xcti fia, TUV Z, H ffH/uttiuv , iTfifyvyvvfjiti'UV TwvZA, AH, xa.} offlwc o/moiuy yivopivuv TV wpof TDK Z, H (&s/tfjH ^pKA TBJ iVii IFTI TM THS Mt'ifftif irtp&lfct; AB , tTS/ff BA TOU wo Tf AA. KJ WT/C /utc BA 11 TMJ (Tofli/an'f oyaifets S~id- ft'Tpo;, /"e AA (V T H afst T?f ^;'pf ( su> AB , x AF Ti-rfiiyuvov TO EF, Jt fvfjt,7rt7r^put6u TO ZB 7rctpXXAo'7'pa/^Lioi'. E?re< ouf (fiat TO If vtov tJvcti TO AAB -rpiyuvov TC? AAF laT/r wj BA Tpof T))y AA ot/TWf M AA wpo? THV AF* TO p JTTO TWI' BA, AF ifor SOT) T^ O.TTO Tf AA. Kai S7re saTif we AB wpoj TC BF tUTUf TO EB Wpof TO BZ , HO.} iffTI TO /Ail> EB TO U7TO TUV BA, AF , ?f TO VTTO T&ic BA , Ar TTpo? TO Jpsum sub BA , AT ad ipsuin sub AT , TBy VTTO TUP Ar, FB. Keti Si AB TTfOf THC BT ouT&if TO aTTo T f AA ita ipsum ex AA ad ipsum ex Ar. Quod oporte- Ts< Je/f /. bat ostendere. TO CCTTO Ttk Ar. nPOTA2I2 TV TOU OKTste' Tttpa.yuvov TO quadratum EZH acquale liabcns unumquodque EZH0 }'vtiv iy_ov 'naa-rac TUV wMvfuv Ti7 BA, lalcrumipsi BA, et junganturipsaeZ, EH, et eri- Kcti \7ti(,'i\}')$ta(ra.v eti Z, EH, neti a.vtfra.TU gatur a puncto K piano quadrati EZH ad rectos a.7ro TOU K ffp.t'tw rip TOW EZH riTfuyuvcv recta KA , et producatur ad altcras partcs plani \7imkS~tf Trfof opflaj tlQtta. KA, *} M%6a ut KM, et auferatur ab utraqne ipsarum KA, ITT} TO. Irtfa. /xtp TOW iTwr'tfcv us KM, KA} KM uni ipsarum KE , KZ , KH , K aequalis i ficini; [Ail t'uriv ttl TOO EZH TtTpayeavcv wAeupa) , Kopvpst<4 ctipa.f S~i7rXa.v tin} TM; TOU oKTcttfyov E775I ya.p etl rpi7f 0.1 AK, KM, KE HTO.I e cftw V^OLTO 1, v^ti KOU JVa TUV Z, H, (nt/jiituv, K.O.} ii KE, Ktti yuvietfopdaf 7npti%cvap , TO apa. ivo TH? AM micirculo , ipsum igitur ex AM duplnm estipsius 'P sius Br - Ut autem AB ad AF FB, AB rr-jof TK BF BA' O.TTO Tf AM* ir apa, AB TH AM, K) -^ M Et est AB datas sphaerae diameter; ergo AM ''ffriv 11 AB TJ Mti T AB , Kcti TttfjLt\ ZN uvo i TtTpct- -MN , NK ; cubus igitur constitulus esl ZN sub yw'tov iftft Trtfit^o/jwc^. At?" i8i'0v ttfJUKVxhior. n^tt xcti fia, TOO E wfAilov. fldXiv , tTTii n ZH opfij! es-T/i' 77poj txct-ripctv TUIV AZ, ZE, xaj ?rpof TO ZK apa tTfiTTtfrov op8i! IST/C H ZH' WSTS xa) tai'7 \7ri^i^iov tis TO aiira KH , conversus semicirculus in eumdem rursus aTro.a.TaL c l uare 'P sa ex HE , EK , hoc est ipsum ^ HK , triplum est ipsius ex EK. Et quoniatn ti-ipla esl AB ipsius BF , ut autem AB ad Br >l ipsum ex AB ad ipsum ex BA; triplum >g\ tur 'P sum ex AB ipus ex BA. Ostensum CSt aUtCm 6t 'P 811111 CX HK 'P siuS CX KE tr '- P' um - Et P osita est fequalis KE ipsi EA aequalis 'S itur et KH 'P si AB - Et est AB datae sphaerae diameter; ct KH igilur aqualis est dat* sphxra: C xiti KH apa i lor) TJ Tf i AB THf BF, us & v AB 77-pof TC BF OUT&IJ TO ttTro TVS AB Ttfis TO i^o T f BA' ipi7r** its Toy EZH0K xvitho yuvov l/roTrfaupov re xa< Ivoyiiviov TO EZH6K, a/ EZ , ZH , H0 , OK , KE we- Kara. TaA,M,N,S,O o-H^s/a, K* Iwe^u'^fl&io-af ai EA , AZ , ZM, MH, HN, Ne, 0S, HK, KO, OE, xa o>o/&)5 AM, MN, NH, EO, OA' iroTrhivpov Zpo. lwi*t tods/a/ */' EH, ZP, H2, 0T, KY iVa; rectee EH, ZP, HS,T,KT sequales existentes olxrai rti I* TOW xivrpov TOV EZH6K xi/'xAcy , ei qua? ex circuli EZH0K centro, et juneau- x*i Iwj^flao-ac / nP, P2, 2T, TY, Tn , tur nP , PS, T, TT , Tn , nA , AP, PM , DA, AP, PM, MS, ZN, NT, TS, HT, TO, MS , 2N , NT , TH , 2T , TO , On. Et quo- On. K*} tTrsi txa.Tipet rui En, KY ra etvru niam utraque ipsarum En, KT eidem piano op* time ad rectos est , parallela igitur est En ipsi KT. En TM KY. EST/ ft HUT* xtt} I'm , etl & TOLS Est autem ipsi et aeqtialis ; ipsae aulem et itrctf TS ncti 7ra.px\hhov; 1-iT^ivyyvovtra.i Ivl TO. aequales et parallelas coujungentes ad easdem. OHiT fitfir toi&uiftu ft HOI 7-tf.pa>i^HXo/ tiriv paries rectae, et ipsae aequalcs etparallelae suntj ' nY ap* TJI EK JV Tt xai wpaAAdAof tffr/f4 jp Sa HT igitur ipsi EKet squalis et paralella est. points E, z, H, 0, K menons les droites En , ZP , HS, er, KY perpendiculaires au plan du cercle ( 12. n ); faisons ces droites egales au rayon du cercle EZHOK, et joignons np, PS, ST, TT, Tn, nA, AP, PM, MS, SN, NT, T*, ST, TO, on. Puisqne chacunedes droites En, KY est perpendiculaire a un merae plan , la droite En sera parallele a KY (6. n). Mais elle lui est egale; et les droites qui joignent du meme cote des droites egales et paralleles sont egales et paralleles (35. i); la 272 LE TREIZlEME LIVRE DES E"LE"MENTS D'EUCLIDE. Tlii'rayuvcu ayou at pa. Pentagoni autem Gequilateri latus ipsa EK; j, xi H nY, rou tl( TOV EZH0K XU'KAOX pentagoni igitur aequilateri in EZH0K circulo A/a T* auTa f xa/ txaoTH T&>!< descripti latus ipsa nT. Propter eadem utique nP, PS, ST, TY TWTs^&jrcu SOT/ /VoTTASupov et unaquaeque ipsarum HP, PS, ZT, TT pcn- ToC: tif TOV EZH0K XUKAO!/ iyypattpcp'woV tiro- tagoni est aequilateri in EZH0K circulo descripti; apa la-T/ 6 TO nPSTY irtrraiyeHor. Ka/ sequilaterum igilur est HP2TT pentagonum. Et to-T/^ M nE, ftoutyavou punctual; ct a puncto EO, x.a.i ta~riv op'' OTTO nEO' 7ii\na.yu>vov ctpntfT^tv n nO' 7-ap TCU wscTa^urou TrAswpa (TJcaTa/ TMV 11 rou t^ctyuvcu KOI TMC TOt* A- xttytoivoii -rtiav tif TC/V o.wrlv KUH^OV tyypctyo/J.ii'UV. \ \ \ (\\ X ' .-i^* ' ' V A/a T' ' \'\ THY fftyutwv itrcTrXu/pov to"ri, Kai ITTH Trti'Ttt- yuvou Ifii^&M tzctriptt iu>v nA, no , tint ft XOLt M AO 7FtVTOt.ybJVCli IPOTrhtVCOV pa fcO"T/ TO I . \ I ' V tV- " nAO Tp/^&iw. A/a tn AUTO, iv KO.I tuairrov APM, MSN, NTH, HYO -rfiywuv itro- IffT/f. E/Xipfl&) TO xivrpav TOU EZH9K Kvn\oi>9 TO 4> miuLtiov xa/ OLTTQ TOI/ T&> TOU droite nr est done egale et parallele a EK. Mais la droite EK est le cole d'un pen- tagoue equilateral; la droite nr est done le cote du pentagoae equilateral decrit daus le cercle EZHGK. Par la merue raison, chacune desdroites np, P2, 2T, TY est un cole du penlagone decrit dans le cercle EZHOK ; le pentagone npSTY est done equilateral. Mais la droite nE est le cote de 1'hexagone ; la droite EO est done le cote du decagone, et Tangle nEO estdroit; la droite no est done le cote du pen- lagone ; parce quele quarre du coledu pentagone est egal au quarre de la somme du cote de 1'hexagone et du cote du decagone, ces polygones etantdecrits dans le meme cercle ( 10. i5 ). Par la meme raison, la droite OY est le cote du pen- tagone ; raais la droite HY est le cote du pentagone; le triangle HOY est done equi- lateral. Par la meme raison , chacun des triangles nAP, PM2, SNT, THY est aussi equilateral. Et puisque Ton a deinontre que chacune des droites nA , no est le cote du pentagone, el a cause que AO est aussi le cole du penlagone, le triangle nAO est equilateral. Par la meme raison, chacun des triangles APM, MSN, NTH, EYO est equilateral. Prenons le centre du cercle EZHSK ( i. 3 ); du point ele- LE TREIZIEME LIVRE DES CLEMENTS D'EUCLIDE. \7rmiS~cf Trpif cpfla? eirterxTu *O, xa) * ipsi circuli piano ad rectos erigatur tV< ret srspa ,usp Tt'pa TWF **, Xfl, xa< eTrt TH, E*, A*, A^f, I'M. *, xai et producatur ad alteras paries , ut ipsa**,et fl perpendiculaire au plan du cercle; prolongeons cette droile de part etd'autre, comme *^ ; faisons la droite x egale au cole de 1'hexagone, faisons aussi les droites o^, xn egales chacune au cote du decagone, el joiguons na, nx, ra, E<&, AO, A^, *M. Puisque chacune des droiies x, HE esi perpendicu- laire au plan du cercle, la droite *x sera parallele a nE (6. 1 1). Mais ces deux droites sont egales; les droites E>, nx sont done egales et paralleles (33. i). Mais E* esi le III. 35 274 LE TREIZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. apa. xa.} TYX.. ,&a.} \7rti l^etytavou p.'tv l1 lalus; hexagoni igitur et nx lalus. Et quoniam hexagoni quidem est nx latus, decagoni vero xa, et rectus est nxil angulus ; pentagon! igitur est nii lalus. Propter eademutique ct Yfl penlagoni est lalus, quoniam si jungamus *K,XY, ipsae , S'ixa.ycavoO Si 11 XH , xa.} cpfl lirr/ WT apa tvriv v Hfl. A/a to. O.UTO. JYi xa} TO jt'-vTa.yuivw tfr}v , ITTS/- K, XT iVa/, xa/ aTrs- ntvr'iov iffwrcti , xa.} ifrtv w *K ix TOU ttivrpou scqualcs et oppositx erunt, et est ipsa *K ex cen- clo-ct. i^etyui'ou" t^ayuvou a pa. xo.} XT. &txa- tro cxistcns hexagoni latus ; hexagoni igitur et XT yuvw Si M Xfl, Kcti cp9w IITTO TXfl* TrtVTa,- lalus. Decagoni autem Xi2,ctrectus TfXi2 angulus; yuvou afet TH. Err} Si xa} nT 7rtina.yui>ov* pentagon! igilur TR latus. Est autem el 17T pen- itroTr^-iVpoi/ apa. trr}' TO TTfd rptyuvov. A/a tagoni latus ; aequilalerum igitur csl IITI2 trian- T AUTO. :a.yiovou Si tcmQ puuctum; aequilalerum esl. Rursus , quo- il $^ , Ka.} cp9>i ea-T/y V770 A*^ yuvio." 7itv- niam liexagoni quidcm ipsa *A lalus , decagoni Tttyiavov cifa. ICTT/I' A^. A/a ra ayra (TiJ iac vero ipsa ** lalus , et rectus csl A** angulus j 7r/^stjffti / uei' TMi' *M CUU-O.V i^ttyavou, fuvdyiTa,! penlagoni igilur esl ipsa A* latus. Propler eadem xa.} M^ -TtwTctyuvov. EK qui est un rayon, estle cote de 1'hexagone ; la droite XY est done le cote dc 1'hcxagone. Mais xa est le cote du decagone, el Tangle rxa estdroit; la droite rn est done le cote du pentagone. Mais nr est le cote du pentagoue ; le triangle nra est done equilateral. Par la meme raison , chacun des triangles restams qui out pour bases les droites np, PS, 2T, rr, et pour sommet le point n, est equilateral. De plus, puisque la droite *A est le cote de Thexagone, que la droite * est le cote du decagone, et que Tangle A-^ est droit; la droite A-*- sera le cote du pentagoue (to. i5). Par la meme raison, si nous joignons la droite *M , qui est le cote de Thexagone, on conclura que M^ est le cote du pentagone. Mnis AM est aussi le cote du pentagone; le triangle AM* est done equilateral. Nous demontrerons semblablement que chacun des triangles restauts qui ont pour bases les LE TRE1ZIEME LIVRE DBS ELEMENTS D'EUGLIDE. 273 Tfi-)a:ur, ax /3a/? (J.w ilfiv eu MN, triangulorum, quorum bases quidem sunt MN , N2 , SO, OA, xcp$ Js TO * c^ue/or, ia-cVxeu- NS , HO, OA , vertex autem * punctum , aequi- poc IST/C- (ruc/Wara/ p tixofftiifyav 1/57-0 -i^csv laterum esse; conslitatum igitur est icosaedrum -!rtfn%o[jKvw. sub viginti triangulis xquilateris coutentum. fler, xse/ S'{it > a.i CT/ T&U tixos-atiS'pou . . sc M Xil* {1 a.fac.a.xfov xcti XATO. TO X, K< TO TT- TJJLHfJ.0. Oportet utique ipsum et spliasra comprehen- dere data , et demonstrare icosaedri latus irra- tionalem esse quae appellatur minor. Quoniam enim hexagoni quidem ipsa *X latus , decagon! vero ipsa XOj ipsa O igitur et extrema et media ratione secta est in X, et droites MN, NS, HO, OA , etpoursommet le point , est equilateral. On a done construct un icosaedre compris sous vingt triangles equilateraux. II faut a present circonscrire Ticosaedre par la sphere donnee, et demontrer que le cote de 1'icosaedre est 1'irrationelle qu'on appele mineure. Car puisque *x est le cote de 1'hexagone, et xn le cote du decagone; la droite *n sera coupee en extreme et moyenne raison au poiat x (9. i3), et Xj estigitur ut $2*ad*X ita *X ad Xft. Sed asqualis quidcm * 5 est igitur ut O ad *A ita A* ad **. Et simt recti O*A, anguli. Si igitur jungamus AiJ rectam, rr X X TM pa u>; n 4>X 7rpc5 TtiV xn. I A, a "J" trriv spot ? a* Trpo? TMC *A OTW? A* ^pc? THI/ **-. K* iur}t cp8 ( WTZ-O n$A, A** T-an'w ectc apt'tvi- rvv AO ei;6e7av, op8>i is-ra/ JTTO rectus erit *AQ angulus ob simililudinem trian- >wi'/a AI2; ergo super *n descrip- TO apa eV) Ti7? -^fl >pct?i(3U8t'oi' /x/- tus semicirculus transibit etper A.Propter eadem n%ti aeu X sed asqualis quidem ipsa n* ipsi *X, OX vcro XQ, (V A, et xn a o^; la droite no est done a OA comme A$ est u **. Mais les angles n*A, A** sont droits; si done nous joignons la droite An , Tangle ^An sera droit, a cause de la similitude des triangles -*-A*, An ; le demi- cercle decrit sur -^n passera done par le point A. Par la meme raisou, puisque n* est a I'X comme *x est a xn , que n* est egal a -J'X, et $x a xn , la droite *x sera Tte LE TREIZIEME L1VRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 277 *XT Xn- frrir > At *X ^o, T, Xn ipsi *n ; est igitur ut *X ad xn ita nx ad eZrut v nx Trpof TV Xn. K S~ii TOUTO TraA/c Xi. Et ob id rursus si jungamus H*, rectus ia.v \ift^tii^.tip(*ir6r r4 comprehensum icosaedrum. Dico etiam et TO 6x55-asJ)oi'. Ae>w i or/ xa/ TM (TsflnVi). TfT- data. Secetur enim *X bifariam in *. Et quo- i&) -yap ii X JV^a xctTa TO a. Ka* ITTS) u- niam recta linca Q* extrema et media ratione O* oWfpOF xa< //eroc Ao^ei 1 T*T- sectaestinX, et minor ipsius portio est QX; ipsa igitur I2X assumens dimidiam majoris portionis, ipsam X , quintuplum potcst quadrati ex di- midia majoris portionis; quintuplum igilur est quadratum ex I2 quadrati ex X. Et est ipsius quidem an dupla n* , ipsius vero X dupla Tnv- ipsa X*; quinluplum igitur est quadratum ex > i i ex ^x. Et quoniam quadrupla 3 , quintuple igitur est AB ipsius . Ut autem AB ad BF ita quadratum ex AB ua. MT* TO X , MI TO H fiX' aca ilX 77-pos-AafcCVci TCU iMHf O.TTO TjUHyUKTO? TVV Xa TftV- ftireiTtu TCV O.TTO Tf if/unietf TOV / / rf 5 \ \ ta rot; aTTO Tf aX. Ka esr/ TBJ p.\v >t n^, Tf \^ as AB wpo? THf Br oiiTUf TO a^o Ttf AB a xn comme nx est a xn. Et a cause de cela, si nous joignons encore n*, 1'angle sera droit en n; le demi-cercle decrit sur ^"n passera done par le point n. Si done la droite ^n restant immobile, le demi-cercle tourne jusqu'a ce qu'il soil revenu au meme endroit d'ou il avail commence a se mouvoir , il passera par le point n et par les autres points de 1'icosaedre, et 1'icosaedre sera chconscrit par une sphere. Je dis ensuite qu'il est circonscrit par la sphere donnee; car coupons *x en deux parties egales au point A. Puisque la ligne droite no est coupee en extreme et moyenne raison au point x, et que nx est son plus petit segment; le quarre de la somme de nx et de la moitie de Xa du plus grand segment, sera egal au quintuple du quarre de la moitie du plus grand segment ( 3. i3 ); le quarre de na est done quintuple du quarre de x. Mais fl* est double de an , et x* double de X; le quarre de fit- est done quintuple du quarre de x. Et puisqv.e Ar est quintuple de FB , la droite AB sera quintuple de Br. Mais AB est a BF coinine le quarre de AB est au quarre de BA ( 8, et 20. 6 ); le quarre de AB est 278 LE TREIZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. a.7ro r( BA* -TrwTctTrhai/riov Ufa. tori TO O.TTO TMJ ad quadratum ex BA ; quintuplum igitur est quadralum ex AB quadrat! ex BA. Ostensum, autem est et quadratum exii* quintuplum qua- AB TCV 0.7TO T?f BA. r\\ \ \ > \ at XCLI TO aaio Hf OX, K* ifftiv l'f quare et diameter ipsius rationalis est. Si au- l^orrenvv S'ta.fjit- tern in circulo rationalem habente diametrum f at$ , TCU wee- pentagonumaequilaterumdescribatur, latus pen- tagoni irrationalis est quas appellatur minor. Sed EZH0K pentagoni latus est icosaedri ; ergo v. Eeiv ft tlf Tfov ntvra.'j.uvov Tttyuvcv Ttfavpa. aAcj-oj IflT/i 1 H cuv. H voti ow tffrir' spot rcC tXtf- w TCU n o p 1 1 M A. pcu wAsupat icosaedri latus irrationalis est quae appellatur Owsp s, T- OT* TO YBXr4> TftvrctJ'UVav itriTrhtupov Te xa.} ITI itroyaviiv efl~r/f. f.7rt- PB, SB, B. K PROPQSITIO XVII. Dodecacdrum constituere , et spliaera com- prehendere qua et praedictas figuras j et de- monstrarc dodccaedri latus esse irrationalem qua: appellatur apotome. Exponantur pradicti cubi duo plana ad rectos inter sese ABFA , TBEZ , et secelur unum- quodque laterum AB, Br, rA, AA,EZ, EB, ZF bifariam in H , , K, A, M,N, E punc- tis ; et juugantur ipsae HK , A , M0 , NH , et se- cetur unaquaequc ipsarum NO, OE,n extrema et media ratione in P , 2 , T puuctis , et sint ipsarum majores portiones FO , OS , TH , et eri- gantur ab ipsis F, 2 , T punctis planis cubi ad rectos ad exteriores paries cubi ipsae PT , 2* , TX , et ponantur aequales ipsis FO, O2, TH, et jungantur ipsae TB , BX , XF, r* , *Tj dico TBXr pentagonum et aequilaterum et in uno piano , et praeterea aequiangulum esse. Jungantur enim ipsae FB , SB , B. Et quoniam PROPOSITION XVII. Construire un clodecaedre, et le circonscrire par la meme sphere que les figures precedenies , et demontrer aussi que le cote du dodecaedre est 1'irratiou- nelle qu'on appele apotorae. Que les deux plans ABTA , PBEZ du cube dont nous avons parle ( i5. ID ), soient perpendiculaires I'un a 1'autre; que chacun des cotes AB, BF, FA, AA, EZ, EB , zr soil coupe en deux parties egales aux points H, 0, K, A, M, N, s; joignoiis les droites HK,A, M, NH; que chacuuedesdroitesNO, OH, n soitcoupee en extreme et moyenneraison aux points P, 2,T, et que PO, 02, Tn soient leurs plus grands segments ; des points P, 2, T elevens PY, 2*, TX perpendiculaires exterieutement aux plans du cube (12. n), el faisons ces droites egales aux droites PO, 02, Tn,et joignons YB, BX , xr, ra, *Y; je dis que le pentagone YBxrifjia. Irriv OP- r, et major ejusportio est OP ipsa igitur ex ON, rot. cLpa. O.TTO TUV ON, NP rpi7rAa.trta. ta~T< TOO NP Iripla sunt ipsius ex PO. Squalls autem ivrt rS( PO. Is"* psa igitur ex EN , NP iripla sunt ipsius ex PT. ea-Ti TOW 77o Tf PY. To7; .Tj a^ro ray BN, Ipsis autem ex BN , NP ipsum ex BP est jequale; NP TO etTTC TJ BPiVT/f J'lro^' TO afct a.7ro Tj BP ipsum igitur ex BP triplum est ipsius ex PT ; BY' TO \a-Tt TOO O.TTO Tf PY' urTt TO. a? quare ipsa ex BP , PT quadrupla sunl ipsius BP , PY TtTp&Trhtiria. tmt TOW airo THJ PY. ex FT. Ipsis autem ex BP, PT sequale est ipsura fi O.TTO rwv BP, PY 'itrov 8T< TO iiro T? ex BTj ipsum igitur ex BT quadruplum est ipsius ex TP dupla igitur est BT ipsius TP. Est autem et OT ipsius TP dupla, quoniam et PS ipsius apa tt770 Tf BY TSTpaTTAacavo'p IFT/ TOO YP' fi7!-\ att e-Tjf 5 M BY TW; YP. EOT/ XO.} fl M 4>Y PO, YP PO, hoc est ipsius PT est dupla ; oequalis igilur PY la clroite NO est coupee en extreme et raoyenne raison au point P, et que son plus grand segment est OP , la somme des quarres des droites ON , NP est triple du quarre de PO (4- i3 ). Mais ON est egal a NB , et OP a PY ; la somme des quarres des droites BN , NP est done triple du quarre de PY. Mais le quarre de BP est egal a la somme des quarres des droites BN, NP (47. i ); le quarre de BP est done triple du quarre de PY; la somme des quarres des droites BP , PY est done triple du quarre de PY. Mais le quarre de BY. est egal a la somme des quarres des droites BP , PY ; le quarre de BY est done quadruple du quarre de YP j la droite BY est done double de YP ( 20. 6 ). Mais . Nous demontre- rons semblablcment que chacune des droites BX, xr, ro est egale a chacune des droites BY / Y$ ; le pentagone BY*rx est done equilateral. Je dis qu'il est dans un meme plan ; car du point o menons exterieurement au cube la droite OP parallele a 1'une ou a 1'autre des droites .PY, 2$, et joignons -^, x ; je dis que ^x est une ligne droite. Car puisque la droile n est coupee en extreme et moyenne raison au point T, et que nT est son plus grand segment , la droile n sera a nT comme nT est a T ( def. 5. 6 ). Mais n est egal a o, et la droite nT est egale a cbacune des droites TX, OP ; la droite eo est done a OP comme XT est a T. Mais la droite O est parallele a la droite TX , car ces deux droites sont perpendiculaires au plan BA ( 6. 1 1 ) , et T est parallele a OP , car ces deux droites sont perpendiculaires au plan BZ ; or si deux triangles sont construits a un meme point, comme les triangles "PO, TX, ces triangles ayant deux cotes proportionnels a deux cotes , et les cotes proportionnels etant pa- ralleles, les droites restantes sent en lignes droites ( 5a. 6); la droile *0 est 3W apa. BY Ttf T<1>. OjMe;'5 f ftl%9inrU CTI no.} ludrrn TUV BX, XI", T txanipa. TUV BT, T 'if tfrt'y^' l/roTrhiupov apa. ear) TO BY 77-apaA*Aoj swi T IxTOf TOU xvSou "^, xa} 1-mQv-xpusa.v a.i , X* PQX tuQiiii IfTir. ETre/ 7/ap 11 II aixpov xet] /j.i7 O, M cTs HT ttT=pa Tac TX, O^' itrriv Spa. u( O Trpcf TC O'i' H XT Trpof Ti))' T0. K< iim 77-apaAAAof ic O T? TX , txxTtpct ya.p atutSiv iu> BA 5rpof opflaf timv , $~t T T? O^, yap ctinSiv T&J BZ tTriTrs/'a Trpof cpflaf in-Tin' ta.ii ft :< TO [j.-ii? TsTpa- OS ipsi S* ; ipsa igitur ex NS , S* quadatra Tp/7r^aV/ct tT; TC? aw* THf NB' UTTt ztt} tripla sunt ipsius ex NB ; quate et ipsa ex *S , done dans la direction de x. Mais toule droite est dans un seul plan; le pen- tagone TBxr* est done dans un seul plan. Je dis aussi qu'il esi equiangle. Car puisqtie la ligne droite NO est coupee en extreme et moyenue raison au point P , et que OP est le plus grand segment , la somme des droites NO, OP sera a ON comme NO est a OP (5. i3). Mais la droite PO est egale a OS; la droite SN esl done a NO comme NO est a os ; la droite NS est done coupee en extreme et moyenne raison au point O, et NO est son plus grand segment (def. 3. 6 ) ; la somme des quarres des droites NS, 20 est done triple du quarre de ON ( 4. i3. ). Mais ON est egal a NB, et os egal as*; la somme des quarres des droites NS, s$ est done triple 2 84 LE TREIZ1EME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. to. O.TIB TUV 2, 2!N, NB TSTpeiTrAair/a stm TO 2N , NB quadrupla sunt ipsius ex NB. Ipsis two TJK NB. To?'f , rectus Tiini TO a.Tj-0 T B , cpflw ^-ap H UTTO 2B -yea- enim B angulus, quadruplum est ipsius ex NBj vitty Tnp&Tihsla-iov \B TJ BN. E fvf} TK BX , 4>F JVa/ e/V(, sunt, et basis *B basi Br sequalis ; angulus igitur xa,} @a.ffi( M ^>B fixffti TH BF JV' 7&)i''a apa M BT * angulo BXT est aequalis. Similiter utique vvrl BT* yuvitt T 1^770 BXF es-r/i' JV. O/-tc/wj oslendcmus et Tf*r angulum sequalem esse ipsi ^ ^ti^of^tv DTI xa} n VTTO TOF yuvia. /V IITTJ xr - Ipsi igitur BXF , BTJ> , T>r tres anguli T t;77o BXF- / apz imo BXF, BY*, YOF rpei"f asquales inter se sunt. Si autem pentagon! asqui- yuvia.1 iccti aMnXaif titriv. EO.V $~l TTWTct.'yuic.v laleri tres anguli aequales inter sesunt, aequian- at TpzTs yotvia.1 'icon aAAiiXa/f Ziriv gulum est pentagonum ; asquiangub^m igitur est a-Tct/' 3 TO Tfwraytww* iffoytiviov apa. BT*rX pentagonum. Ostensum est autem et T; TO BYi ft xz} lira- aequilaterum ; ipsum igitur BT4>rx pentagonum f TO. oifa. BYOFX 7rwTa.yui>vt> iVoVXjupe'p et asquilaterum est et Equiaugulurn, et est super Te'4 Ifn xeu itrcyui'iov, xa.} tt> TO. avTO, xa.Ta.ts-y.tuaL- ' constituetur quxdam figura solida duodecirn , o-u2B; la droite OB est done double de BN. Mais fir est double de BN ; la droite B est done egale a Br. Et puisque les droites BY, Y* sont egales aux droiies BX, xr, et que la base flB est egale a la base Br, Tangle BY* sera egal a Tangle BXF (8. i ). Nous demon trerons semblablement que Tangle Y*r est egal a Tangle Bxr ; les trois angles Bxr, BT* , Y*r sont done egaux entr'eux. Mais si trois angles d'un peutagone equilateral sont egaux entr'eux, le pentagone est equiangle (7. i3 ); le pentagone BY*rx est done equiangle. Mais on a demontre qu'il est equilateral; le pentagone BY*rx est done equilateral ct equiangle , et il est place sur un cole Br du cube ; si done nous faisons la meme construction sur chacun des douze cotes du cube, nous aurons construit une figure solide conlenue sous douze pentagories equilatei aux ct equiangles , que Ton nomme dodecaedre. LE TRE1ZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 2 85 Ae? To Ktti fftpa.ipa. 7rtfi>a.t7r TV fe~ Oportet autem ipsum et sphcera comprehen- fli/Vw, Kstl S'i'i^at 1-rt rev JaJWas'iTpeu wA/pt dere data, et ostendere dodecaedri latus esse t/rrir i xaAou/ue'iH aw&TO/xti. irrationalem qua? appellatur apotome. u >p "to, x*i JO-TW OH' mfJ.- Producatur enim *O , et sit OO ; occurrit on T roS ^ T , *} }g ;tur on diametro cubi ? et bifariam se mutuo . secant, hoc 6mm ostensum est in penultimo tlieoremate undecimi libri. Secent in 1 ; ergo n centrum est s P hxrae comprehendentis cubum, et oc dimidia lateris cubi. Jungatur et Tn. Et quoniam recta linea NS extrema et medii ratione secatur in O , et major ipsius portio est , t/TW QiupiifJiant TOU t , v \ , v ^ j / TtJUcsTffla-av xara TO Ci' TO li ap* jcsf- Ofl Aju (li>> 7ri -ray Tt??NO. Toif < , , ' TO etc* a.7rt> TJIJ Yfi -Tfi7r*a. ~\ \ c , ~ TIIS NO. E(TT/ <>S X 4 TOU / ~ - 7^,,^.,/i/m., T) ):tCTpcu TJK ctfetifetf TM? wep(Act,wtai'Oti(7j TOC xo'foi' J^>'a>u TfiTrlttn'uv f; tijuarticn; TM"? ToS y.tjcu 7rhivp$, cti , xa.} tryttifcf. Trtpiho.&'iv , f o-pa/paj fntfM-TfO( hvdfMi' 10 Tfiwlaffiur Tiic TrXt'jfiS.; -rev xuCotf 31 . E< (Ps cA T/I? , xa.} ii au/Vs/et TMJ ^iciien;' yM \rrtv -A , fl . NO YifJ-Krii*. TM; TOU Kt>tou TrAjupa;' 11 apa Yii , s ,,-,- - ~ tap NO ad OP ita OP ad PN , et dupla , partes ro7f 'la-a.xis'* 5 iroMcmk.a.ffieif TOC eturov enim cum acque multiplicibus eamdem habent rationem; ut igitur NS ad PS ita PS ad utram- > 2 - Major autem NS ipsa Xtyor u>; opo. v NH irpo; TMV PS CWTW? i) P2 Trpc; tvra.p.. Etquo- niam rationalis est sphajras diameter, et est po- tcntia tripla lateris cubi ; rationalis igilur est N5 latus existens cubi. Si aulem rationalis linea cxtrema et media ratione sccta sit , utraque portionum irrationalis est quae appcllatur apo- tome ; ipsa Y* igitur latus existens dodecaedri irrationalis est qua? appellatur apolome. Quod oporlebat ostendere. KI TO y H PS T Y4>* TJ ap Tifj,vo{j.iv)i; TO [/.tlfyv /.'> * 'iH* /c tc-riv H x.a.Xov/j,ivn a.TTD'rcifj.H' , apa TrXevpa. euro. TOU nOPISMA. E)C (Tt) TZUTOU Qctl'tpOVy OTI Ttff TOU Kvov O.X.pW KO.I fJ.:fOI> AOJ-OC TlfJ.VOfJ.tVMf TO TOU S'caftx.a.ifpcu COROLLARIUM. Ex hoc utique evidens est lateris cubi extrema et media secti majorem portionem csse dode- caedri latus. somme des droites NP, SB; la droite N3 est done coupee en extreme et moyenne raison, et PS est son plus grand segment. Mais PS est egal a r; la droite T* est done le plus grand segment de la droite NS coupee en extreme et moyenne raison. Et puisque le diametre de la sphere est rationnel , et qiril est egal en puissance au triple du cote du cube ( i5. i3 ), la droite NS qui est le cote du cube sera rationnelle ( def. 6. 1 1 ). Mais si une ligne rationnelle est coupee en extreme et moyenne raison, chacun des segments est 1'irrationnelle qu'on ap- pele apotome (6. i3); le c6te rd> qui est le cote du dodecaedre , est done 1'irrationnelle qu'ou appele apotome. Ce qu'il fallait demonlrer. COROLLAIRE. D'apres cela, il est evident que le cote du cube etant coupe en extreme et moyenne raison , le plus grand segment est le cote du dodecaedre. LE TREIZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 289 np OTA 2 is /'. Tctf TUV -Trvrt xeti w TJ PROPOSITIO XVIII. Latera quinque figurarum exponere'et com- parare inter se. ir ITJ] describatur super AB semicirculus AEB, et a Tf AB T? AB TO AEB , xo.} a.7ro TUV T, A ; 2 TE, AZ, * H punctis r, A ipsi AB ad rectos ducantur ipsae at AZ, 2B. Keti \7Tti (JWA? Irnv TE , AZ, el junganlur AZ , ZB. Et quoniam AA TH; AB, Tf'ov tu AZA r^iyuva' iijjiichiM apa. AZB triangulum triangulo AZAj sesquialtcrum SO-TI TO cnro TJ BA rev a.7ro TM( AZ. EOT/ Si igitur est ipsum ex BA ipsius ex AZ. Est PROPOSITION XVIII. Exposerles coles des cinq figures, et les comparer entre etix. Soit AB le diametre de la sphere donuee; qu'il soil coupe au point r, de maniere que Ar soil egal a TB ; ct au point A, de mauiere que AA soil double de AB ; sur AB decrivons le demi-cercle AEB; des points r, A raenons les droites IE, AZ perpendiculaires a AB, et joignons AZ, ZB. Puisque la droite AAest double de AB , la droite AB sera triple de BA ; done, par conversion, la droite BA sera egale aux trois moities de AA. Mais BA est a AA comme le- quarre de BA est au quarre de AZ (20. 6), car le triangle AZB est equiangle avec le triangle AZA (8. 6); le quarre de BA est done egal aux trois moities du quarre de AZ.. Mais III. ^ 290 LE TREIZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. no.} TVS ei lateris pyramidis, et est AB sphasra? diameter; TVS ap HA T AB, us ft * HA dupla est HA ipsius AF, a;qiialis enim HA ipsi Trpof TC AF aura; ti K TT/XJ? THC KF- fiTiXn AB , ut autem HA ad AF ita K ad KF ; dupla apce Ktti H K Tf KF' TeTpowrAaavoc aptt lor* igitur et K ipsius KF; quadruplum igitur est TO in* rS( 0K TOO iiro Ttis KF- ra. ap* OTTO ipsum ex 0K ipsius ex KF ; ipsa igitur ex K , TMC K, KF, ocrsp tirri TO a^ro Tiff F, vivra.- KF , quod est ipsum ex F , quintuplum est wAaV/o'c IT/ TOW ivo -rS( KF. Irx Te F T? ipsius ex KF. jEqualis autem F ipsi FB rB-TTs^TotTAaV/ocapa Ifl-T/Toa^-cTMjBFTO!/ 9ro quinluplum igitur est ipsum ex BF ipsius ex H A K AA B AB S BF, BA X FK. Et quoniam dupla est AB ipsius Br, qua- rum ipsa AA ipsius AB est dupla; reliqua igitur apa. BF THJ BA reliqua: AF est dupla; tripla igitur BF /psius Tiif EF T-:ij i^o FA ; nonuplum igitur ipsum ex BF ipsius ex FA. ueTK. Ka.1 ITU AA TMJ AB l><; AF Ir ' i/ \ FA* f/tCLTTActPlOV O.CO, TO rS( FA. nwTtt7r>.a.- KtlTO.1 , K T6 TH? TOU 12 l^CtyWOV X.OI xuiihov ly- iiv , xa< effT/i' /-ur AB Tiif rQctipa.*; , M cfs KA s^a^wfcu ^Aei^pst, xai ]) AK T AB' ludTiDo. o.fo. TUV AK, AB S'w.tt- SflTI TlAsUpa TOU 6^/>pa(SOyM6fOU 6/f TOP 3 ) ? \ ) / f\ ' ' r, a^ ou TO tutoo'cttdpcv ^ffli'ou ^asf H AB, MA, (V 7-a'p tVr/ TW KA , ews/ ^a) TM 0K, THf TWC K, KA S ELEMENTS D'EUCLIDE. AM , et jungatur MB. Et quoniam quintuplum cst ipsum ex BT ipsius TK, et est ipsius quidem Br dupla AB , ipsius vero TK dnpla KA quintuplum igilur est ipsum ex AB ipsius ex KA. Est autem et sptuersD diameter potentia quintupla ipsius ex cenlro circuli a quo ico- saedrum describitur. Et est AB ipsa splixrae diameter j ipsa KA igitur ex centre est circuli a quo icosaedrum describitur ; ipsa KA igitur Lexagoni est latus dicti circuli. Et quoniam sphserae diameter componitur et ex latere he- xagoni et duobus decagoni lateribus in dicto circulo descriptorum, et cst quidem AB splia:rae diameter , ipsum vero KA hcxagoni latus , et aequalis AK ipsi AB ; utraque igitur ipsarum AK, AB decagoni est latus descn'pti in cir- culo , a quo icosaedrum describitur. Et quo- niam decagoni quidem AB est latus , hexagoni vero ipsa MA , sequalis enim est ipsi KA , quoniam et ipsi K , aequaliter enim distat a centre, ct est ulraqne ipsarum 0K, KA dupla ipsius KT ; pentagon! igitur est MB latus. La- joignons MB. Puisque le qnarre de Br est quintuple du quarre de FK, que AB est double de Br , et KA double de re, le quarre de AB sera quintuple du quarre de KA. Mais le quarre du diametre de la sphere est quintuple du quarre du rayon du cercle d'apres lequel 1'icosaedre est decrit ( cor. 16. i3 ), et AB est le diamelre de la sphere ; !a droite KA est done le rayon du cercle d'apres lequel 1'icosaedre est decrit ; la droite KA est done le cote de 1'hexagone decrit dans le cercle dont nous venons de parler. Et puisque le diametre de la sphere est compose du cote de 1'liexagone et de deux cotes du decagone, ces polygones etant decrits dans le cercle dont nous venous de parler (16. i3), que AB est le diametre de la sphere, que KA est le cote de Fhexagone, et que AK est egal a AB , chacune des droites AK, AB sera le cote du decagone decrit dans le cercle d'apres lequel on a decrit 1'ico- saedre. Et puisqi.ie AB est le cote du decagone, et MA le cote de 1'hexagone, car la droite MA est egale a KA, parcequ'elle Test a eK (14. 3 ), ces droites elaut egale- meut eloiguees du centre, et puisque chacune des droites OK, KA est double de KP, LE TREIZIEME L1VRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 29.3 i a fa irriv ii MB. H ^oyov XO.TO. TO N, xa} itnu trema et media rationein N, etsit major porlio yu>icv rfjiip-a, TO NB* NB apct fuftxa.ifpou NB J ipsa NB igitur dodecaedri est latus. t ITT} Trfavpa.. H i rou fit; ft TC ' aifct AZ n rSt BE cu Tf ZB TfmXa.fiu>\'' S~JVO.lJt.il i^ 1 , TC/OOT6)!' H //if TJIJ TTVpttfJt.iS'Cf Tiff fXflUV, tt i\ TCU CXTO.iffOl> Tjllk.' , M (T TOU xuCou (Too* 11 |G apa TM; Trupyft.if'o; wXivpa. T; ^f TOU oxrcitfyov whfup&f S~uva.fJ.il tc-riv f/Ti- TflTOf 3 TJlf o/- rationibus rationalibus ; reliqua vero duo, dico Trett (Two, Aij'W iT'7 TOW tiKomttfyou Kcti et icosaedri , et dodecaedri, neque inter se , neque ad dicta sunt in rationibus rationalibus, irralionales enim sunt, ilia quidem minor, hsec vero apotoine. Majus vero esse icosaedri latus MB dodecaedri rev S'atS'tx.a.tfpoii ^ OUT* irpcf aAAMAa? cure Trpo; ra; TTfotiftifJiiveK iifiv 'tv hoyoif pro?; , ya,p tiffip, >i IMV eAarT&if, H ? WCWTM s ; , v , , , rttv Tpnxv MTU; TO OLTTO T; wwT? Trof TO lalcre NB ita ostendemus. Quoniam enim sequiangulum est ZAB trian- gu lum triangulo ZAB , proportionaliler estut AB ad Bz ita ZB ad BA ; t quoniam tres rccte . proportionalcs sunt , est ut pnma ad tertiam , x ~ r / ,/ >' ' ' . v ( ita ipsum ex prima ad ipsum ex secunda; est 0,110 TS Atu-rtfcts' eirT/v etpa. $ o AB Ttpc; rr,v AB BZ' BA ouTWf TO a.va.7ra.>.iv apt*, w; AB Trpo? Tjir BA OUTW? TO CLTTO T; ZB Trpoj TO O.TTO Ta"? BA. Tp/^Aw 7s BA* Tp<77AV;ec ctpa TO a?ro r( ZB TOO ut AB ad BA ita i P sum ex AB ad ; ex BZj invertendo igiturut AB ad BAita ipsumcx ZB ad ipsum ex BA. Tripla autem AB ipsius BA 1'octoedre seraegalaux irois moities du quarre du cote du cube. Les c6tes des trois figures dont nous avons parle, je veux dire les cotes de la pyramide, de 1'oc- taedre, et du cube, sout done entr'eux en raisons raiionnelles ; mais les deux c6tes restants, je veux dire les cotes de 1'icosaedre et du dodecaedre ne sont point en- tr'eux, ni avec les cotes donl nous avons parle , en raisous raiionnelles, parce qu'ils sont irrationnels , 1'un elant une mineure (16. i3), et 1'autre un apotome (17. i5). Nous demoutrerons de la maniere suivante que le cole MB de 1'icosaedre est plus grand que le c6te NB du dodecaedre. Puisque le triangle ZAB est equiaugle avec le triangle ZAB , la droite AB sera a BZ comme ZB est a BA ( 4. 6 ). Et puisque ces irois droites sont proporlionnelles , la premiere est a la troisieme comme le quarre de la premiere est au quarrt de la seconde ( cor. 20. 6); la droite AB est done a BA comme le quarre de AB est au quarre de BZ ; done , par inversion , AB est a BA comme le quarre de ZB est au quarre de BA ( cor. 4* 5 ). Mais AB est triple de BA; le quarre de ZB est done LE TRE1ZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 29$ OLTTO TJK BA. Efn Si Kail TO O.TTO TJ AA TOW triplum igilur ipsum ex ZB ipsius ex B A. Estautem dire TC AB TjTpaTrAeeV/oc' JWAj? yap AA TV el ipsum ex AA ipsius ex AB quadruplum ; du- AB' /jiiT^or a.pet TO O.TTO rUf AA TOU OLTTD rtif P' a enim AA ipsius AB j majus igitur ipsum ZB- ptifytv apa. xa.} AA THJ ZB ! 9- ^oAAa apa. ex AA ipso ex ZB ; major igitur et AA ipsa ' AA Tf ZB jMsiTf '. multo maj 01 " 'g itul ' cst AA ip sa ZB. Et xd< pi* Ao>oc TeT^./xs'i5 TO yU67fcK ruii/J.ti reclx quidem AA extrema et media ratione tiTT/v KA, lTe/Ti)Vsf yuic AK ef>>'0<; tirrif, sectae major portio est KA , quouiam AK qui- va>* Tpnrha.a TO ywei/ OTTO ZB , BN [JUTX TOV VTTS BZ , ipsum quidem sub ZB , BN cum ipso sub BZ, ZN ZN TO ATTO TMf ZB trri* TO fs UTTO BZ , ZN 'icrov ipsum ex ZB est; ipsum aulcm sub BZ , ZN Tta O.TTO Tf BN* ctxpov yap KX] fJttfot \cyoy Tt- sequale ipsi ex IN j extrema enim et media, ra- I, EM ME. Nous demonlrerons 'de la maniere suivante qtic Irois fois le quarre de ZB est plus grand que six fois le quarre de BN. Car puisqtie BN est plus grand que NZ , le rectangle sous ZB, BN est plus grand que le rectangle sous EZ, ZN; le rectangle sous BZ, BN, conjomlement avec le rec- tangle sous BZ, ZN, est done plus grand que le double rectangle sous BZ , ZN. Mais le rectangle sous ZB , BN, conjointement avec le rectangle sous BZ, ZN, est le quarre de ZB ( 2. 2 ), et le rectangle sous BZ, ZN est egal ati quarre de BN, III. 38* ^98 LE TREIZIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. H BZ KttTii TO N, aal TO inro Ttav axpuv tione secta est BZ in N, ct ipsum sub extremis aequale est ipsi ex media; ipsum igitur ex ZB ma- jus est duplo ipsius ex BN; unum igilur ex ZB duobus ipsis ex BN majus est; quare et tria ipsa Tit) O.7TQ TtK fAi&M;' TO O.pa O.7TO THf ZB ICTT/ ifWAaT/ou TOU a.7ro TJtjBN 2 ' \v otpot TO O.TTO Tf ZB Suo Tav O.TTO TH;^ BN (/.tl^or TUV a.7ro ex ZB quam sex ipsa ex BN majora sunt. Quod i- oporlcbat ostcndere. UfTi KOU TfilCt Ttt 7TO Tf ZB i'a IITTO'. O/re/ 'Iftt 2XOAI ON. ou VTTCI ai iroyuvuiv SCHOLIUM. Dico et praHer dictas quinque figuras non constitui aliam figuram contentam sub ct oequi- trav latcns et sequiangulis aiqualibus inter se. TTTO /x o ;7r/7TS(T&)v , irrspea ywv'ut ov it Tf 7TV Etenim ex duobus quidem triangulis, ct ahis duobus planis , solidus angulus non cons- tituetur. Ex tribus vero triangulis angulus pyramidis , ex quatuor autern ipse octaedri , ex quinque autem ipse icosaedri; ex sex vero triangulis et acquilateris et aequiangulis ad unum :iav Trprjf s./ ?,' pluribus qiiam sex angulis planis solidus angulus 7TTci; , jTot-Ta/ aequilateri rectus et ejus quinta pars , erunt qua- / TsVa-apss >.-/*ifuv ( Inyuv'un "ifa ft%*i. Trotoyuruv rpw a./*>8a. TOC 2. Ratio dari dicitur , cui possumus eamdem invenire. 3. Rectilinea; figurae specie dari dicunlur , quarum et anguli dati sunt ad unum, et ratio- nes laterum inter se data?. , we a( 76 yuvicii i c/ Ao^-o/ TWC s;V ii JeJWct* TO ^tsv ttivrpov ry fls'trs/, eTe4 SK TOV aifrfnu TSO /mtysBti. et XUKhUV^ Ttj> tv OK a? Te^ yuvioLt PtS'of/.ivcii 5ej-8Tt/ , tv OK i TS ytevitti tltri rul fJityt&ei, K&t 0.1 @a. ws, foQivn , 'i^ctrrov IFTIV, TO? (TofiefTOf, TO oAoc TW avrw iccv . ;'. Mj/s ;, foQirn, tfTiv datur ea quae ex centro magnitudine. 6. Positione autem et magnitudine circulus dari dicitur , cujus datur centrum quidem po- sitione , ca vero ex centro magnitudine. 7. Segmenta circulorum^ magnitudine dari dicuntur, in quibus et anguli dati sunt , et bases segmentorum magnitudine. 8. Positioue autem et magnitudine scgmenta dari dicuntur , in quibus et anguli dati sunt magnitudine , ct bases segmentorum positione et magnitudine. g. Magnitude quam magnitude , data, major est, quando, ablata data, reliqua eidemae qualis est. 10. Magnitude quam magnitude, data, minor est, quando, adjuncta data, tola eideni aequa- lis est 1 1 . Magnitude magnitudine , data , major 5. Un cercle , dont le rayon est donne de grandeur, est dit donne de grandeur. 6. Un cercle, dont le centre est donne de position, et le rayon de grandeur, est dit donne de position, et de grandeur. 7. Des segments de cercles sont dits donnes de grandeur, quand les angles qu'ils comprenent , et les bases de ces segments sont donnes de grandeur. 8. Des segments sont dits donnes de position et de grandeur , quand les angles qu'ils comprenent sont donnes de grandeur, et que les bases des segments sont donnees de position, et de grandeur. g. Une grandeur est plus graude qu'uneautre grandeur, d'une grandeur dounee, quand la grandeur d'onnee etant retranchee de la plus grande, le reste est egal a la plus petite. 10. Une grandeur est plus petite qu'une autre grandeur d'une grandeur donnee , quand la grandeur donnee etant ajoutee a la plus petite, la somme est egale a la plus grande. 11. Une grandeur est plus grande a 1'egard d'une autre, d'uue donnee, qu'en LES DONNEES D'EUCLIDE. 3o3 Jl x hiytf , orar, et(fa.ipt(>svTo; TOU QS TO O.VTO \iyOV l% TOf j TO IJ juttlou tV AOJrfl, OTttI', TTfCS-TtBifTCf TCO 7TOO? TS aWTO ((TTJC, tirriv , Trpoc sre! i yuvia., Flapst flm; ftS ep.it r,9 fu6t7ci tv JV- -}* 1 , n o? o Trpo? PROPOSITIO I. Datarummagnitudinum ratio inter sedalur. TBU A ?rp i( TO B A6>6C t"' im ptytfa ra. A, B- A>*> OT< Sint data; maguitudincs A, B; dico ipsius A ad B ratiouem essc datam. A- B- r- ew TO A, fura-rov i< v.ctl IITTU TO T. 67TU ftfofJiivGV I(TT( TO B , (Tt/l'ClTOI' eO a JVoc wopo? 'g itur A ad B ratio est data j eadem enim iffri ap auTa niTropiffQeit o TOV eidem inventa est , ea ipsius r ad A. Quod F 77-pp; TO A. OTrep iA/ ( , JV TO A wpof aAAo T< 3V' foyta OT/ PROPOSITIO II. Si data magnitudo ad aliam quamdam mag- nitudinem rationem habeat datam , datur et ilia magnitudine. Data enim magnitudo A ad aliam quamdam magnitudinem B rationem habeat Jalam; dico dari ipsam B magniludine. A- E- ETTII yap AiToTa:/ TO A, ropircLa-Qxi. Unrcfiitrtlia , not if-rta To a T. Keti tTrt} (TjtTisTfle/ o TCI/ A wo oj TO B heycf , * ' ' (\ / A. \ 5/ap u7rcKs/Tc( , tuva/rov ts^iv ctinu TMC K 67Ts/ TO r Tpcj TO A A Trpc; TO T T4J T* Tiroy ap eflof, JVoc Quoniam enim data est A , possibile est ipsi aequalem invenire. Inveniatur , et sit r. Et quoniam data est ipsius A ad B ratio , ita enim supponitur, possibile est ipsi aequalem invenire. u o TOV r?rpof TO Inveniatur, et sit ipsius r ad A ratio. Et quo- TO A wptf TO B niam est ut A ad B ita Tad A; permutando igitur * apa \CT\V uf TO est ut A ad r ita B ad A. .Equalis autem A ipsi TO B -rpo; TO A. Is-cv Te TO A r ; aequalis igitur et B ipsi A data igitur est B <4 TO B TU A* (Tt'iToTet; aptt TO magnitudo, aequalis enim ipsi inventa estipsa A. TmropifTcii TO A. PROPOSITION II. Si une grandeur donnee a une raison donnee avec une autre grandeur, celle-ci est donnee de grandeur. Que la grandeur donnee A ait une raison donnee avec une autre grandeur B ; je dis que B est donne de grandeur. Car puisque A est donne , il est possible de lui trouver une grandeur egale ( def. I ); qu'elle soit trouvee, et que ce soit r. Et puisque la raison de A a B est donnee, par supposition, il est possible de lui trouver une raison qui soit la. meme. Qu'elle soit trouvee , et que ce soit la raison de r a A. Puisque A est a B comme r est a A, par permutation, A sera a r comme B est a A. Mais A est egal a r; done B est egal a A; la grandeur B est done donnee, puisqu'on a trouve son egale A (def. i). HI. 3 9 3o6 LES DONN^ES D'EUCLIDE. FIPOTA2I2 y, PROPOSITIO III. TO auTUv oirontov Me/Jiivcv irrcti. x Si dataemagnitudines quotlibet componantur, et ex ipsis composita magnitude data erit. Componantur cnim quotlibet data; niagni- AB, El- *iyu on mi TO IK TUV AB, BF >- tudines AB , BF; dico et ipsam AC ex ipsis AB, xtiptvov TO AF fifopivov tffriv. Br compositam datam csse. 7-ap ioTcti TO AB , (Tl/i'ttTOi' tirm Trop/VairSa/. nsTT'op/Vfla , a; j^Tft) TO AE. e/ T*ap cfitra.7^a.i. rT67rop/V8&) , xaj SITTO) TO AE. E/T OL/I/ Jo-oc SITTJ TO fjiiif AB TW AZ , TO cTe Ar TW AE* Aooc "t%}i PROPOSITIO V. Si magnitudo ad sul ipsius aliquam partem rationem habeat datam, et ad reliquam rationem habebit datam. Magnitude enim AB ad sui ipsius partem AT rationem habeat datam ; dico et illam ad re- liquam Br rationem habere datam. aura T rflw yap S'iS'ofJ.tvcv plytBcs TO AZ. Kit] tTTt} tfTt i oin'Ttfltt ftf't/ntvov 3 xaj TO c/ rpcj ya.f> fvo /Myi6 rat 1 AT , FB , Ao^-ov f^oi'Tec ftftfJiit'Ov c A or TO AB wpoj txa.Ttpt>v ruv AT , FB PROPOSITIO VI. Si duse magnitudines componantur inter se rationem habentcs datam , et lota ad utramque earuni rationem habebit datam. Componantur cnim duae magniludines AT, TB , inter se rationem habentes datam j dico et totam AB ad utramque ipsarum AT, TB ra- tionem habere datam. T B yap f~tofj.tvov f^tyt&t,; TO AE. Kent la~r] rov AT vrpcf TO^ TB { TO AB ^rof TO AT OOTW? TO AZ wof TO AE'. Ka) Exponatur enim data magnitude AE. Et quo- niam ratio est ipsius AT ad FB data, eadem huic fiat ratio ipsius AE ad EZ. Ergo ipsius AE ad EZ ratio est data. Data autem AE ; data igitur et EZ j et tola igitur AZ data est; est autem utraque ipsarum AE , EZ data-, ratio igitur ipsius AZ ad ulramque ipsarum AE, EZ data. Et quo- niam est ut AT ad TB ita AE ad EZ j com- ponendo igitur ut AB ad BT ita AZ ad ZE^ et convertendo ut AB ad AT ita AZ ad AE. Et PROPOSITION VI. Si deux grandeurs qui ont entre elles une raison donnee sontreunies, la gran- deur emiere aura une raison donnee avec chacune d'elles. Ajoutous les deux grandeurs Ar, TB qui ont entre elles une raison donnee; je dis que la grandeur entiere AB a une raison donnee avec cbacune des gran- deurs AT, FB. Car soil AE une grandeur donnee. Puisque la raison de Ar k rB est donnee, fai- sons en sorte^que la raison de AE a EZ soil la metne que celle-ci. La raison de AE a EZ sera donnee ( def. i ). Mais AE est donne ; done EZ est donne ( 2 ). La droite entiere AZ est clone donnee (i et 5). Mais cbacune des grandeurs AE , EZ est donnee; la raison de AZ avec chacune des grandeurs AE, EZ est done donnee (i et 3). Mais AT est it FB comme AE est a EZ; doiic , par addition, AB est a sr comme AZ estk ZE ( 18. 5 ) done, par conversion, AB sera k AF comuie AZ est a AE ( cor. 3ro LES DONNEES D'EUCLIDE. Ivrti wf TO AZ wpc? Ixarepof T

I> AT, TB. et utraque ipsarum AT , FB. 19. 5 ); et puisque AZ est a chacune des grandeurs AE , EZ comme AB est a chacune des grandeurs Ar, rB; la raison de AB a chacune des grandeurs AF, rfi est done dounee. PROPOSITION VII. Si une grandeur donnee est partagee en une raison donnee , chacun des segments est donne. Que la grandeur donnee AB soil partagee en une raison donnee qui soil celle de AF a rBj je dis que chacun des segments AF, FB est donne. Car puisque la raison de AF a FB est donnee, la raison de AB a chacun des seg- ments AF, FB est donnee (6). Mais AB est donue; chacun des segmenfs AF, FB est done donne (2). LES DONNEES D'EUCLIDE. 3n T TTfOS TO 1 tfVTO AO'T-OC 1%CVTO. }-ap v TKV A, T wpcj TO B >.o'>cf on xeti TO A WJM? TO T Ac^op PROPOSITIO VIII. Qua? ad idem rationem liabent datam , et inter se rationem liabebunt datam. Habeat enim utraque ipsarum A , r ad B rationem datam ; dico et A ad r rationem babi- turam esse datam. A. B- r. JTI Sit enim data magnitude A. Et quoniam ratio est ipsius A ad B data , eadem huic fiat ratio ipsius A ad E. Data autem A'- data Jgitur et E. Rursus , quoniam ratio est ipsius B ad r data , eadem huic fiat ratio ipsws E ad Z data. Data autem E; data igitur et Z. Est au- tem et A data; ratio igitur ipsius A ad Z est data. Et quoniam est ut quidem A ad ita (Mr TO A Trpcf TO B cvTuf TO A crpo j TO E j A ad E ; ut autem B ad r ita E ad Z; ex aequo TO B TTfCiS TO T OVTCif TO E "fffa TO Z* PROPOSITION VIII. EO-TM 5-cip Mcfjiivtiv [AiyiQcs TO A. K* tc~r) TCV A wpoc TO E f'c&uf , o 7rj7rc;>i'irSw a TCU A wpo? To 2 E. A TO A* tToSsr apee ) TO E. na^/i 1 S9re< TOU B wpcf TO r (Tcfls/f , o auTCf a^Tffii o TC^ E wpc? TO Z JoflsK 3 . AoSsv iTe TC E apa ai TO Z. Etrr; eTe d) TO A TOU A Trpoj TO Z ( TO r heyoc E igitur ad r ratio est data. Ipsius autcm A- B- r- A- E- Z- tif, Tou Trpof AXAce Ao>ov c flti'T/, J"e- rationem habent datam. IlPOTASIS /. /U6?^oc w TOU auToo, w- Ai> OT/ xtt) TO ' TO AF TOU auTou TOU FB , t5 EITT) fe6tis* KOI oucdtrn TOU AF wpo? TO IB Ao^-of e^Ti hiyu' ^iyu on TO Ao/Tror TO AB TOU TO? BF, WTO; cTofitW/, yUe?^&)c sffTrtJ H fc TO AB /usTst TOU lff, wpcf o TO BF "/t 8 ' (ToSiCTtt, (Toflsf I9T/C. E?re< 7-ap TO AF TOU BF, ^edlCTI,/Map4 TO AE Mir tff-rf TO AB apa/ueT* TOW tola enim AE data est; ipsa AB igitur cum , Trpof o TO Br \oyov t%ti foQiiiTa. 5 :.) a.va.rrpi-^ttvTt o TOU TB Trpo? io5/6). Ka; tav TO Tepou , {ToflsfT/ , ^lEf^c? H iv Xiyut , TO atno xa; Tcy Xoivov , JoBtvTi , |Ui?op e'^eOo? >ap TO AB TOU BT, (Tcfls'vT/ , H Ir Ao'^w* Asjw CT; xa) TOU AT, tTb fAiityv \yrtv ef Aoj-eo. ETTS) 7/ap TO AB rev BT, Tofli r T/ , /xs/^'o' iv hoyta , a. TO fafliV //e^sfl AA 1 * Ao/TroCi apa TOU AB wpo? TO BT rrou TA wpof TO AB jTofls/f. O aoro? aura yiywt- TW o TOU AA wpcf TO AE* Ao'^Of apa KaP TOW AA wpof TO AE (Tofle/c. Aoflsc o? AE rat i est data; et convertendo ipsius AA lor) AE TO AA apt* KOI oXoc TO AA. K.O.I iTrti oAoy TOU Ar Trpoj KO.} a.voLT~r^-\a.v-n TOU AA ^poc TO igitur ad AE ratio est data ; et invcrtendo }'" oycf tfTi foBtif ToAE" >o>0C irriMtit' \o? SOT/ foBtif K TO AB TTfo; TO BF Ao>of eo-T< To6s/ff. Kct* l TO BA* h'tyu on TO FA TO< iVoc sffT/f, TO trtpov TOW' foQivrt, (Atifyv irrir, BF cum FA data sit BA ; dico ipsam AB ipsi FA vel oequalem esse , vel alteram altera, data, majorem esse. et la raisou de AA a EA est donnea; la raison du reste FA au reste BA est done donnee ; done, par soustraction, la raison de FB a BA est donnee (6). La raison de AB k BF est done donnee. Mais AA est donne; done AB est plus grand a 1'egard de BF, d'une donuee , qu'en raison. PROPOSITION XII. Si Ton a trois grandeurs, si la premiere avec la seconde est donnee, et si la seconde avec la troisieme est aussi dounee, la premiere est ou cgale a la troi- sieme, oul'une est plus graude quel'autre, d'une donnee. Soient les trois grandeurs AB, BF, FA; que AB avec BF, c'est-a-dire BA soit aussi donne; je dis que AB est ou egal a FA ou que 1'uue est plus grande que 1'autre, d'une dounee. LES DONNEES D'EUCLIDE. i ya.f S*o6iv irrir iKa-ripcv TUV AF, BA' Quoniam enim data est utraque ipsarumAr, (TsfltW* TO< "ura. IS-T/C, a.viea., Erra BA ; datae igitur vel sunt aequales , vel inaequa- if a." iirov ctpct tm TO AF T&> BA. KO/POV cttpyipnrtiu TO BF* Ac/woy apa TO AB XO/TTU TW FA irof eor. Mil OT&> BA iVor TO TE. foUtv St TO BA 1 (ToSsf apa. xai TO TE. ETT* ..,' >- j\tN' > dem a l rA rationem habeat datam , ipsa vero TA AB Trpoj TO FA Aoj/ov s^tTa itac/jnvov, TO ,\\ _ ~ r ^ fl ' ^v- ,/ * . / ipsa E data , major sit quam in ratione : dico * > / in ratione. J) 6C AOJ-&). AH B S/ ya.f TO TA TOU E, J'oflsCT/, [ M \v ^.iyu , ct^MpuVfla TO (Tcfiif /miyt ^O/TTOU apa TOU AZ wpos TO E Ao'^-of IOTI Ka ITTJ* Ao^of ea"T< fp /tteT^'flx Tt AB , TA weof a B - H tv fj.iyt6o(, TO TS AE on TO.'* oAo, TO. EB , ZA s%ti ffS"of^;voir,ti TO s If TO TZ TOI TOW eTspcy, ipsarum data magnitude , et AE etTZ ; dico totas EB , ZA ad inter se vel rationem habere da- tam ; vel alteram altera , data , majorem esse quam in rations. est donne ; done AH est donne ( 2) ; la raison du reste HB au reste AZ est done donnee ( 19. 5 ). Mais la raison de AZ a E est donnee; la raison de HB a E est done donnee (8). Mais AH est donne ; done AB esj-plus grand a 1'egard de E, d'une donnee, qu'en raison. PROPOSITION XIV. Si deux grandeurs ont entre elles une raison donnee , et si a chacuue d'elles on ajoute une grandeur dounee, les grandeurs enlieres auront entr'elles une raison donnee, ou bienl'une sera plus grande a 1'egard de 1'auire, d'uue donnee, qu'en raison. Que les deux grandeurs AB, FA ayent entre elles une raison donnee; ajoutons a chacune d'elles une grandeur donnee, savoir, AE et rz ; je dis que les gran- deurs entieres EB, ZA, auront entre elles une raison donnee, ou bien que 1'une sera plus grande a 1'egard de 1'autre, d'une donnee, qu'en raison. HI. 4l 322 LES DONNEES yap f'b&'iv ICTIV exd-rtpov TUV EA,ZF, apa TOU EA Trpof TO ZF TOU AB wpoc FA, iff-ra-t KO.} ' TOU EB wpo? oAof TO ZA hoyos 'T/, n POT AS is Ear Mo \iytv D'EUCLIDE. Quoniam enim data cst utraque ipsaram EA , zr , ratio igitur ipsius EA ad ZF data. Et si quidcm eadem qua? ipsius AB ad TA , crit et totius EB ad totam ZA ratio data. Non sit autem eadem , et fiat ut AB ad rA ita HA ad TZ; ratio igitur et ipsius HA ad zr data. Data autem rz j data igitur et HA. Est autem et EA data ; et rcliqua igilur EH data est. Et quo- niam ut AB ad TA ita HA ad ZT ; ratio igitur ct ipsius HB ad ZA data. Et est data EH; ipsa EB igitur ipsa. ZA , data, major est quain in ratione. PROPOSITIO XV. Si duse magnitudiues inter se ralionem ha- , f.a.} x" or/ Ta AB ipsa AE , ab ipsa vero rA ipsa FZ; dico /TT* T EB, ZA wpsj AAA TO/ Ao'joi- efe/ rcliquas EB , ZA inter se vel rationem ha- , TO tTspov TOO tTf'pou, SoQivTi , bituras esse datam, vel alteram altera, data, majorem fore quam in ratione. H ETTI] jap exaTepoy TtocAE, TZ Sc6'-v ts-ri , apa rct> AE wpcc re 3 TZ EOT) <* **i TO AH. Ear/ /$ TE ; data igitur et AH. Est autem et AZ data ; xoti TO AZ Mir* eAoc apet TO ZH Mir irri. tola igitur ZH data est. Et quoniam ut AB ad Kai IWH f TO AB ypoj TO FA OUTU; TO AH TA ita AH ad TE ; et rcliquae igitur HB ad TO FE* * XO/TTOU" apa 6 TOU HB wpo; reliquam EA ratio est data. Et est data HZ ; ipsa roc TO EA hoyot IJTJ p TO AETOU r, (TofltW/, apHpnVflw TO cTofltc /us^sflof TO AH p* Toy HE Trpof TO r hoyo; E'6 TCS AZ , AH' TO. oXoi p* TO- AB, AE WTO/ tot igitur AB, AE inter se vel rationem ha- TO tTtpov bent dalam, vel altera altera, data, major est quam in ratione. TCU s iffTitr sc TO a sp riPOTASIS. /'. \v S~\ O.VTUV l /^ic w v er As^w* T TO TOO Tepcy, PROPOSITIO XVIII. Tp;a , (Tcfie'vT/, i ' A(> on TO AB Trpo? TO EZ HTO/ Ao'^oc e^s; S~ifo/j.tvoi> , V TO iTtpOK TCU tTtpOU , (Toflsl'T/, [JillQv lUTIV Ewe) T'tfC TO FA TOO AB , cTcStcT/ , /ttei oc f ST/C P >,lyu , itpypneftu TO a6iv [tiytQof TO TH' AO/TTSU apot TOU HA TTfo; TO AB Acj<0f foBiif. O BtOTO? UUTbl "}>yOVST a o TOU FH CTpof data. Ea< k'l: TO A' Ac; yc; apct K.O.I TOU FH 7r po'f To A (Tofls/f. ratio igitur A B Sint tres magniludines AB , TA , EZ , una autem earum FA utraque ipsarum AB , EZ , data, major sit quam in ratione; dice ipsara AB ad EZ vel rationem haBerc datam , vcl al- teram altera , data , majorena esse quam in ratione. Quoniam enirn TA ipsa AB , data , major est quam in ratione , auferatur data magni- tude TH ; reliquae igitur HA ad AB ratio est data. Eadem huic fiat ratio ipsius TH ad A0- ratio igitur et ipsius TH ad A data. Data H K TO A* KOL} Ser apa. xctl TO AE' *a< TOW FA ^of &Aof TO AZ Ao^-of lor; KA ad EZ ratio est data. Eadcm huic fiat ra- tio ipsius FK ad AE ; ratio igitur et ipsius FK ad AE data. Data autem FK data igitur et AE- et totius FA ad totam AZ ratio est data. Solent les trois grandeurs AB, FA, EZ , et que 1'une d'elles FA soil plus grande a 1'cgard de chacune des deux autres AB, EZ, d'une dounee^ qu'en raison; je dis que AB aura avec EZ une raison donnee, ou que 1'une sera plus grande a 1'egard de 1'autre, d'une donnee, qu'en raison. Car puisque FA est plus grand a 1'egard deAB, d'une donnee, qu'en raison, re- tranchons la donnee FH; la raison du reste HA a AB sera donnee. Faisons en sorle que la raisou de FH a A soil la meme que celle-ci ; la raison de FH a A sera donnee. Mais FH est donne ; done A est donne ; la raison de la grandeur en- ticre FA a ]a grandeur eutiere B est done donnee (12. 5). De plus, 'puisque FA est plus grand a 1'egard de EZ, d'une clonuee, qu'en raison, retranchons la grandeur donnee FK ; la raison du reste KA a EZ sera donnee ( def. 1 1 ). Faisons en sorte que la raison de FK a AE soil la meme que celle ci; la raison de FK a AE sera donnee. Mais FK est donne; done AE esi donne; la raison de la grandeur entiere FA h 328 LES DONNE"ES D'EUCLIDE. Tow ti FA wpof TO 0B Xo>of *<") * r EZ '8 itur vel inter se rationem habebunt da- |e ftfopivov, M TO STepoc TOW t'Wpou , TofitcT/ , tam vel altera altera, data, major est quam p-tifyv iirr/c H \v Aoj-w, ln ratione. HPOTASIS Eic Tp/ x.a ro jm.v irparov TO? W If n \v Ao^^), y S\ no} Mi?or M ec TO (Tetirepov TOW "rpircv , Xi TO TtpUTOV TOO Tp/TOW , Eo~rw Tp/a [AtyiSit T AB, TA, E, ai TO AB TOW TA, Hff6u TO faStv H TO TZ' Acj-ec apx KO} row-H Trpof TO TZ Ac6\f & TO TZ' ( TO HB -Trpof TO TA OWT&I; no] 1 TO H0 Tree? TO TZ, nan homed TCU B wpof AO/TOC TO ZA AC'T-OC \ x Ao>$>, TO quidem AB ipsi r, data, major sit quam St I TOU A , . \ffriv tc Ae>. majorem esse quam in ratione. ya.p TO AB TOW r, TO'* (Toflsf apa TOW EB Trpof TO T Ac^Of SOT/ TO (Tt I TOU A, (ToSei'T/, [Atf/Zov tffTiv n tv hiyu t , jue7of IfTiv Quoniam enim AB ipsi r , data , major TO AE' es t quam in ratioue , auferatur data magnitude) AE , reliqua: igitur EB ad r ratio est data. Ipsa r aulem ips& A , data, major est quam in ra- xxi TO EB p* TOU A, MivTi, fJiu^ov -T;f a tione, et EB igitur ipsa A, data, major est quam in ratioue. Auferatur itaque data magni- p T o5 ZB wpoc 70 A Ao>? io-r* 'P sa AB i S itur 'P sa A Ifriy ivloyu. data ma j or est 1 uam in ratioue. Ktt ea,tp& iv TTfof aAAitAee \oyov TO. AO/TTO. TTfOf aAA?i TO/ , TO tTtpOV TOW iTtfOU , 6- OTTO AB, TA TO. AB , FA, xa< ra AE, TZ on rot. EB, ZA rrpof aAAxAa TO/ \oyov /xe!'0)' ; TO erepoc TOW mp0V) PROPOSITIO XX. Si sint duae magniludincs date , et auferantur ab ipsis magnitudiues inter se rationem ha- Lentes datam ; reliquae inter se vel rationem habebunt datam , vel altcra altera , data , major erit quam in ratione. Sint duoe magniludines datae AB , rA , et ab ipsis AB , TA auferantur magnitudines AE , TZ rationem liabentes inter se datam ; dico ipsas EB , ZA inter se vel rationem habere datam, vel alteram altera, data, majorem esse quam in ratione. H fotoiv \> apu TA; data igitur et AH. Est autem ct AB data; et xa) TO AH. EITT/ S*t xtti TO AB (Toflsf zct} reliqua igitur HB data est. Et quoniam est ut TO HB foQiv ITTI. Ka) lirti l TUY AB , FA' if* TO AB wpo? TO FA (Toflu'?. K ti /use Quoniam enim data est utraque ipsarum AB, TA; ratio igitur ipsius AB ad FA data. At vero o airc'f ST/ TM TO? AE Trpoj TO FZ , ltrra.1 xcti si eadem sit qua: ipsius AE ad rz, erit et totius clou rev EB Trpo? oAsy TO ZA AoV>? iToflu'f. Ei * ad totam ZA ratio data. Si autem nonj fiat ft cv' mTroiMw uf TO AE vfot T a FZ ouTW? ut AE ad TZ ita AH ad FAj ratio igitur ipsius TO AH wpsf TO TA' hoyot eifot, TfS AH Trpo? T H FA Miis. Ac8ii< & TO FA- Miv apa f.cti TO AH. -*H ad TA data. Data autem TA data igitur EOT/ (T* **/ TO AB JVfleV xai hoiTrov apa, TO ct AH. Est autem et AB data ; et reliqua igitur HB ifoflsx Soi>* Aoj-Of ctpet act} TCU AB A rationem liabet datain ; ratio igitur et ipsius irpof TO Br fa&tic K(ti rpo( TO AB ad BF data ; et componeudo ipsius AT ad TB Ao^of irri fo&ti;. Tou Je Br ?rpof To 3 A r B ratio est data. Ipsius autem BT ad A ratio SOT) To6e/f } TOU AT ap Trpoj TO A est data ; et ipsius AT igitur ad A ratio esjt ifr] Mt'if. PROPOSITION XXII. I Si deux grandeurs ont avec une autre grandeur une raison donnee , leur somaiie aura uiie raison donuee avec cette autre. Que les deux grandeurs AB, Br ayent avec une grandeur A une raison donnee; je dis que leur somme Ar aura avec A une raison donnee. Car puisque chacuuedes grandeurs AB, Br a avec A une raison dounee, la raison de AB a BF est donnee (8) ; done , par addition , la raison de Ar a rs est donnee (6). Mais la raison de Br a A est donnee ; la raison de Ar a A est done donnee (8), LES DONNEES D'EUCLIDE, 335 n POT A 2 is T0lf JTO.VTO, yua Eety eAsy wpof cAec Aoj/ov S f / J^ofle/j' acasTps'-vf-acT/ Kai^ TOU FA Trpof TO T* Mite AAA TOW HA Trpof TO AZ f\A' V '*'T.**' x ^4^ dooe/f / TOW FA ap Trpof TO AZ EOTI foQtif utrrt ttttt TOW FZ Trpoj To ZA EITTI fJ,VOV KCtl Tpt/f ivQifcii afaAo^cc t/ A, B, I", f M A wpof Tr B clras ft B woj Tc T, H J^j A wpof THC r A&T/OC or/ xa) wpof THC^ B AOT/O j-ap ^ToflsTira A. Ka STTS* T* Tiff A wpof TC T it A LES DONNE"ES D'EUCMDE. 337 c T{ A 5rpof Tf Z* AO'T-C? apa ssrif ipsius A ad Z ; ratio igitur est et ipsius A ad TX Z (Tofle/f. Ao6j?7TO Ttty A , < yap A, B, r cec , Z ItTOtlfTI TC OLTTO T( E' \ \ % j _ tf A 7TCGC TO ct^O Tf B CUT&IJ fO. "T/ TO/ ll' Tffi *w Uf ctf.A TO ttTTO TO StTTC TJ A A- E- Z- A ad E data. Et quoniam est nt A ad r ila A ad Z sed ut quidem A ad r ita ipsum ex A ad ipsum sub A , r, ut autem A ad Z ita ipsum ex A ad ipsum sub A , z ; ut igilur ipsum ex A ad ipsum sub A , r ita ipsum ex A ad ipsum sub A , Z. Sed ipsum quidem sub A , r aequale est ipsi ex B , ipsas enim A, B, r proportionales sunt. Ipsi autem sub A , Z aequale est ipsum ex E ; ut igitur ipsurn ex A ad ipsum ex B ita ipsum ex A ad ipsum ex E ; et ut igitur A ad ita A ad E. Ralio sorte que la raison de A a z soil la metne que celle-ci ; la ralson de A a z sera donnce. Mais A est donne; done z est donue (2). Prenons une moyenne pro- portiounelle E entre A et z ( ID. G ). Le rectangle sous A, z sera egal au quarre de E ( 17. 6). Mais le rectangle sous les droites A , z est donne, car chacune d'elles est donnee ; le quarre de E est done doune (def. i ). Done E est donne. Mais A est donne; la raison de A a E est done donnee (i). Et puisque A est a r comme A est a z, que A est a r comrae le quarre de A est au rectangle sous A, r (i. 6), et que A est a z comrae le quarre de A est au rectangle sons A, Z; le quarre de A sera au rectangle sous A, r comme le quarre de A est au rectangle sous A, z. Mais le rectangle sous A, r est egal au quarre de B; car les droites A, B, r sont proportionnelles ( 17. 6), et le quarre de E est egal au rectangle sous A, z ; le quarre de A est done au quarre de B comme le quarre de A est au quarre de E ; done A est a B III. 43 338 LES DONNE"ES D'EUCLIDE. A wpo? TV B cvrui A wpoj TM E. Aoyc; Si autem ipsius A ad data ; ratio igitur et T A wpo? Tnv E jTefle/j' AOJ-OJ apa xai T{ A ipsius A ad B data. ^C B A A AflS. ALITER. A Trpo? TMC T Mn'f, Quoniam ratio est ipsius A ad r data , nt TO O.TTO TC A wpo; autem A ad r ita ipsum ex A ad ipsum sub KI TOU awo T? A -^ > r ; ratio igitur et ipsius ex A ad ipsum sub A , of TO VTTQ Tcav A, T (Tofie/f. Toi 'p /xt) , jUSTawtirerra/ TO E a-H//e~ov' fJitra.- Si enim non , excidet E punctum ; excidet , xa.} piatf TUV AB , TA 2 flsV/c. O^ igitur et unitis rectarum AB , rA positio. Non K* (Tofl/c ajxt E(TT TO E o-H/xsJoc. excidit autoB j datum igitur est punctum E. PROPOSITION XXV. Si deux lignes donnees de position se coupent , le poiut ou elles se coupent est donne de position. Que les lignes AB, FA, donnees de position, se coupent au point E ; je dis que le point E est donne. Car si cela n'est pas, le point E se deplacera, etalors 1'une des lignes AB , FA changera de position. Mais aucune de ces lignes ne change de position; le point E est done donne, 34o LES DONNEES D'EUCLIDE. PROPOSlflO XXVI. *s TOU A ap T^O A, ha.s-tYip.a.Tt fl Teo AB, Centre enim A, intervallo autem AB , cir- -a,>8u TEA- 9s< a* wT/f cumfercntia describatur TBA^ positione igitur yr)-pa,q>8u TEA- 9s< -A tiat.i TEA. ee'] AAE T Sei, dico datam esse ipsam AAp positione. A/a jap ffn f'iScju.ifiif tu6i7a.v AAE' hiyu CT/ m/n'.iou TOW A , vafa. Tf AAE apa l BT T? AAE T HAZ TH , oTrs eo'T/i' Si enim non ; manente A puncto excidet bictfjitvovetit TH? ET ipsius AAE positio. Manente BF parallela ex- , K.O} tnu v ZAH. cidat , et sit ZAH ; parallela igitur est TB ipsi ZAH. Sed Br ipsi AAE est parallela ; et AAE M AAE apa igirur "psi HAZ parallela est. Sed et concurrit, :/ ffv/M&iTr- quod est absurdum j non igitur excidet ipsius apa fMTCLTrttn'i'ra.i ^ AE positio ; positione igitur est AAE. TB T? ZAH. AAE ' 6i'o-/5' fleVe/ ap eVT/r AAE, PROPOSITION XXVIII. Si, par un point donne , uue ligne droite est menee parallelement a une droite donnee de position , la droite rnenee est donnee de position. Par le point domie A, raenons Ja ligne droite AAE parallelernent a la droite Br donnee de position ; je dis qne la droite AAE est donnee de position. Car si cela n'est pas, le point A resent immobile, la position de la droite AAE changera. Que sa position change, la droite Br lui restant parallele, et qne sa position soit ZAH; la droite rB sera parallele a ZAH. Mais Br est parallele a AAE ; done AAE est parallele a HAZ ( 3o. i ) ; ce qui est absurde , puisque ces droites se rencontrent; la positiou de AAE ne change done point; la droite AAE est done donnee de position. LES DONNEES D'EUCLIDE. 343 FIPOTASIS xfl'. PROPOSITIO XXIX. Ear wcof 6ini fofo/uwti ivftiia. KU] TW wpoj Si ad datam positione rectam et punctnm hfo/Jiivu, ivfttla. 7fctu l u/i a^Sy, i 11 e ^ datum, recta linea ducatur datum faciens TTGiouffo. )-uvia.V fi^crat n aybt.7ta. angulum , data est ducta positione. T Se/. FIpsj QtfH yap f'tS'c/mtrri st/9 1 TU CTOCf Stt/T? ffH/UilU tfo[JLi\'lp T6) F, j"^fl&> w FA, Monivtiv KoioSfct yur/W TM vtro datum facieus angulum ATA; dico positions AFA- AtSw ZT/ SsVs/ m-/x FA. csse ipsam FA. r AB, xct} Etenim ad datam positione rectam AB , et punctum r in ea datum , recta ductatur TA , E/>ctp pi, p.wvt6f Tt,Z T fftiptiov , /JUT*- .TXi TWC FA diftc , T/aTpcu5-* T>7? AFA ywlxf TS' plytSof p'TctTriTrt^a) y.a.} FE. I(r afa. tfr'iv 2 VTri AFA yuvlct Si enim non , manente r pnncto , excidet "psJus rA positio, servans ipsius ATA anguli magniludinem; cxcidat et sit TE. JEqualis igitur est ArA angulus ipsi sub AFA, major minori, T ^s ATA 3 , //?;& TH llarfcn, en if a-ro- quod absurdum ; non igitur excidet ipsius Ar woi- iie if* fjirrwn'iTtu TC AF 6sQi7a.v Ttiv Br tt/dt7tt, ti AA , ftPofAwtir Troiouiree, yuvittv ftv VTTO Ae'j-w T< Qtnt tfr}v H AA, PROPOSITIO XXX, Si a dato puncto ad datam positione rectam recta linea ducatur , datum faciens angulum , data est ducta positione. Etenim a dato puncto A ad datam positione rectam Br recta linea ducatur AA, datum fa- ciens angulum^ AAr ; dico positions es$e ip $am AA. B E/ >p y , jwtwf reff -rew A aTpous-a AAT yuvittf TO fAtyt&of. MtTttTTiTrTiru y.a.} irra> Si enim non , manente A puncto excidet ipsius AA positio , servans AAT anguli magui-r tudinem. Excidat et sit AZ. TEqualis igitur est a AZ 1 'urn p \ tiara,! y EAZ' &ifu pa. esr/c liuea EAZ ducta est ; positione igilur. cst ipsa EAZ. K) ITSI "TrapzhhtiXos trriv EAZ T? EAZ. Et quoniam parallela est ipsa EAZ ipsi BAF 2 ' KOI} tit a.u-ra.t IfATriTrTuztv AA' I'trti upa, BAT, et in illas incidit ipsa AA; asqualis igitur VTTO EAA yavia, rT IITTO AAF yieria?- est EAA angulus angulo AAT. Datus autem xa.} IITTO ipse AAF ; datus igitur et ipse EAA. Quoniam tit 6i ru A, turn A in ea datum, recta linea AA ducta est , datum faciens angulum EAA 5 positione igitur est ipsa AA. $\ UTTO AAF' cToSela-a EAA. Ews; cue EAZ, >/ TW w la ypttfA/jt.ii nzrai ti AA , VV K7To4 EAA' H AA. AUTREMENT. Par le point A, menons la droite EAZ parallele a BAF ( 3i. i ). Puisque par le point A Ton a mene la ligue droite EAZ parallelement a la droite BAF douuee de position , la droite EAZ sera donnee de position ( 28 ). Et puisque EAZ est parallele a BAF , et que AA tombe sur ces droites , Tangle EAA sera egal a Tangle AAF (29.) Mais Tangle AAF est donne; Tangle EAA est done donrie. ?*fais a la droite EAZ , donnee de position, on a mene, par le point douue A, la ligne droite AA fdisaut Tangle donue EAA; la droite AA estdonc donnee de position (29). III. 44 346 LES DONNEES D'EUCLIDE. AAAOS. ALITER. E/Aifj.ir*v pa. b'ilTit S'tfcfJl.il'HV tV^tisLV THI' ZE , ill AA' flsire/ aaesT/c >i AA. AUTREMENT. Prenons dans la droite Br le point E, et par le point E menons la droite EZ parallcle a AA (3i. i). Puisque ZE est parallele a AA , et que BEA tombe sur ces paralleles , Tangle ZEA sera egal a Tangle AAF. Mais Tangle AAF est donne; Tangle ZEF est done donne. Et pnisqn'a la droite BF, donnee de position, on a mene par le point donne E, la ligne droite EZ faisant Tangle donne ZEr, la droite EZ sera dounee de position ( 29 ). Mais par le point donne A , Ton a mene la droite AA parallelement a la ligne droite ZE dounee de position; done AA est donne de position ( 2.8 ). LES DONNEES D'EUCLIDE. 347 AAAflS. ALITER. ew/ T>K Br TV%CV ir/xe7of TO E, Suraatur in Br quodlibct punctum E , et jua- AE. Ken \7r galur AE.Et quoniam datum est utrumqne punc- A, E mpt'iM 1 ' 8ii AA 3 ) AEA yuna,' tione autsm et BT; datus igilur est AEA an- V o8e?cra 2 ' KO} gulus. Est autem et AAE angulus datus; reliquus IffTif f.7n] igitur EAA datus cst. Quoniam igitur ad datam iftl ei/flua T EA , KOLI ru positione rectam EA , et per punctum in ipsa A, tu6i7ct. y$a.jJL- datum A, recta linea AA ducta est, datum HC facieus aiigulum EAA; positione igilur est AA, AA. AUTREMENT. Prenons dans Br tin point quekonque E , et joignons AE. Puisque chacun des points A, E est donne, la droite AE est donnee de position. Mais Br est donnede position; Tangle AEA est done donne. Mais Tangle AAE est donne; Tangle restant EAA est done donne (52. i) (4). Mais a la droite EA, donnee de position , et par un point A donne dans cette droite, on a rnene une ligne droite AA ? faisant ua angle donne EAA ; la droite AA est doac donnee de position (29). 348 LES DONNEES D'EUCLIDE. nPOTASIS X*. p.kvn TW /uuysQu , icTa.i xeu T (turn. ATTO yatf S'tS'o/jiivoii fAijiftu' htyCO OTI KO.t T PROPOSITIO XXXI. Si a dale puncto ad datam positione rectam recta linea data magnitudine , producatur , ea data est ct positione. Elenim a dato puriclo A ad datam positione rectam BT recta linea ducatur AA data magni- tudine j dico cam et positione datam esse. TM TO ta >ap T A , cT/aorjiVaT/ S~l rS AA , Centre enim A , intervallo autem AA , cir- 7-6>pa'(p3ft) o EAZ. eiffii apa e (Trie o EAZ culus describatur EAZ. Positione igitur est EAZ circulus, datum cnim est ejus centrum A po- sitione , et ipsa AA ex centro magnitudine. Positione autem et BT recta. Si autem dusc linese positone datse sese secent, datum est punctum in quo sese secantj datum igitur est ctinov TO A Kivrpov TJ) ifrcv M AA TW /usT-sfle/. TZ/J.VCIKTIV aAAiiActf , (T >:a& o TSjU.i'&iO'/c aAAfiAa;' up* S-T TO A. EST; (Te Jt AA. So6il> */ TO A (Toflec" Biirti apa ipsum A. Est autem et ipsum A datum; po- sitione igitur est ipsa AA. PROPOSITION XXXI. Si d'un point donne, on mene une ligne droitc donnee de grandeur a une droitc donnee de position, cette droite sera dounee de position. Du point donne A , menons la ligne droile AA dounee de grandeur a la droite BT donnee de position; je dis que cette droite est donnee de position. Car du centre A, et de la distance AA, decrivons le cercle EAZ ; le cercle EAZ sera donne de position (def. 6); car son centre A est donne de position, et son rayon AA est donne de grandeur. Et puisque la droite Br est donnee de position, et que, lorsque deux lignes donnees de position se coupent, le point ou elles se coupent est donne (25), le point A sera donne; done AA est donne de posi- tion ( 26 ). LES DONNEES D'EUCLIDE. 349 m nPOTASIS A/3'. PROPOSITIO XXXII. Eav tl( wapaAAiiAcuf TM fieVei S'iS's/j.ti'a.; Si in parallelas positione datas rectas , recta ivBtTct yfctfj.^ iyjty hPou'wo.*; iroiouir* linea ducatur, datos faciens angulos, data est ducta magnitudine. Etenim in parallelas positione datas rectas AB, l w ' E2 TA, recta linea ducaturEZ, dalos faciens angulos BEZ , EZA ; dico datam esse ipsam EZ mag- El? 7-ap 7 fls/'a? T? AB , FA, eiiflsTa fife/uiti'af Tro/sCVa ^uvicc; ra? AJJW ST; . EffT/ Jt xa.} TO H cToflsV S'cQt'i's-a. oifo. l LES DONNE ES D'EUCLIDE. H, iu8i7 5/ap e?r< TCV H Tp EZ Ij-lc tj ZE Ty H. yfd/j.fj.t} /\e'j-&) BEZ, EZA. T?? AB vct$ tu EZ , TO H, H H0* ro-ix H0, LES DONNEES D'EUCLIDE. 35r ' H0TW Ms>*'9" a .Ka] Eg-/ magnitudine ; data igitur et H magnitudine. fu jJ.lv TW H, ^isterfj,a.ri TW -S-iVe/. Et est] ipsum H datum; ergo centro quidem H, intervallo autem H<=> , circulus descriptus H o K0A* ^eVs* apa eg-ic o erit positione. Describatur , et sit K0A; posi '.. K0A. sVj; tsr 7rctpa.hh)tho$ lac/ cfo- gulus. Et si quidem parallela est EZ ipsi HB, >i UTTO ZEE ycnviet a.1 EZ , HB >;ttTc ttra.' u^i Keti 'to"ri. El ft cv , TO . ETTS) oui< ;Vn \',' AB , FA* J^flic apa, tic ZH AAAHS. ad datam positionc rcctam rA recta linea ducta est E0, datum faciens angulum E0H; positione igitur cst E0. Positione autem ct utraque ip- sarum AB , rA ; datum igilur cst utrumque punctorum K , 0. Est autem et E datum ; data igitur est utraque ipsarum EK, K ; ratio igitur ipsius EK ad K0 data. Et est ut EK ad K0 ila EZ ad ZH; ratio igitur et ipsius EZ ad ZH data. ALiTER. E('f yctp 7retpa.XXXov; T? 6to? apa. fle/?. Q Si ij E wpc Tf 6 EZ* Kfls Tr EK ourut HE TTf tvv' EZ LES DONNEES D'EUCLIDE. 355 niani a dato puncto E ad dalam positione rec- tam FA recta linea E0 ducta est , datum facicns angulum E0H ; positione igitur est ipsa EK. Positione autcm ct ulraque ipsarum AK , FA; datum igitur est utrumque punclorum K, . Est 0.^.0. \oc, TOV TM; tur in data ratione ipsius AE ad EA , ct du- AE wpcj EA , ) ^fl w or/ S-*'<. irriv ZEH. dico positione esse ipsam ZEH. A A0 K H^,5*) 7<*p ctwa roD A ewj THC BF Ka/'-* tTre/ avro tS*c/m.it'ou tnt/uticv TOW A sr< S'trs; iv tvQzTav T/U'BT tvfit'ictyp'x/j.fj.ii 1 H A , (TifTo/xspJiy TToicvca. ywiaii TMV UTTO ' JhVe/ apa IITT)I' A0. etre; i A TM S'so'e/ Y.OLI TU if y.a.t tmi ttrrtv uf AE 77^0? THC EA eS- t) AK wpc/f TJIC K0 j xai sW; AO'Q of T< AE Tj.!' EA cToflt/f AO'T-O; t'pct TH? AK Trpof TV Tofls/j ' ewSst'T/ apa Xo'^c? efrx) TM? A Till/ AK iTofl/j . Ac6e;a-a Js A T^J fj.tyi6u' 'ica. apa, KO,} AK TW /miyiQitT, AA^a xaj TJif Ducalur enim a puncto A ad BT pcrpendi- cularis A0. Et (juoniam a dato puncto A ad datain posilionc rcctain BT recta linea ducta est A0 , datum faciens angulum A0A posi- tione igilur cst ipsa AQ. Positione autcm et ipsaBT; datum igitur est punctum. Eslautcm et punctum A datum j data igitur cst A0 po- sitione et maguitudine. Et quoniam est ut AE ad EA ila AK ad K0, el cst ratio ipsius AE ad EA dataj ratio igitur ipsius AK ad K0 data; componendo igilur ralio cst ipsius A0 ad AK clala. Data autem A0 magniludine; data igitur et AK magniludiiie. Sed ct posilione , position; coupons cette droite dans la raison donnee de AE a EA, et par le point E, menons Z.EH parullcle a Br ; je dis que la droite ZEH est douuec de position. Cur dti point A, menons A perpendiculaire a fir. Puisque du point A, on a menc a la drofte Br dounee de position , la ligne droite A, faisant uu angle donne AA ; la droite A sera dounee de position ( 3o). Mr.is Br est donne de position; le point est done donne ( a5 ). Mais le point A est donne ; la droite A0 est done donnee de position et de grandeur (26). Mais AE est a EA comme AK est a K, et la raison de AE a EA est donnee (2. 6); la raison de AK a K est done donnee ( dcf. 2); done, par addition, la raison de A a AK est donuee ( 6 ). Mais A est donne dc grandeur; la tlroitc AK est done donnee LES DONNEES D'EUCLIDE. 35 7 (s-i , xai \ef}v TO A AA , AA ffHAfou TT 'i A0, J\ tor ji A. Ka/ TKC AE cTofle/;, j /i )i n A wpof TWC AH TJII' AH 7; AA Trpo? wpo? TC AE oinu; pct Tf A , wpoj A' TO A. cwi' FA ivQtla, ypa.jji./ui.M tmrctt K' &t?ti cLpct SOT/P K. ouv if/a D'EUCLIDE. Quoniam igitur a da to puncto A ad dalam positione rectam TA recla linca ducta est AN , datura facicns angulum ANA j positione igitur est AN. Positione autem et FA ; datum igitur N punctum. Est aulem ct punctum A datum ; data igitur est AN. Et quoniam ratio est ipsius ZH ad HE data , ut autem ZH ad HE ita NM ad MA; ratio igitur et ipsius NM ad MA data. Quare et ipsius NA ad AM est data ratio. Data autem ipsa NA j data igitur et AM. Sed et positione, et est datum A punctum; datum igitur et M puuctum. Quoniam igitur per datum punctum M contra datam positione rectarn rA recta linea ducta est K; positione igitur est ipsa K. perpendiculaire a FA. Puisque du point donne A , on a mene a la droite FA donnee de position, la droite AN faisant un angle donne ANA, la droite AN sera donnee de position (3o). Mais FA est donne de position, le point N est done donne ( 36). Mais le point A est donne; done AN est donne ( 26 ). Mais la raison. dc ZH a HE est donnee , et ZH est a HE comme NM est a MA ( 2. 6 ) ; la raison de NM a MA est done donnee ( 2 ) ; la raison de NA a AM est done donnee (6). Mais NA est donne ; la droite AM est done donnee (2). Mais elle est donnee de po- sition , et le point A est donne ; le point M est done donne (26). Mais, par le point donne M , on a mene la ligne droite K parallele a Ja droite FA donuee de position ; K est done donne de position ( 28). LES DONNEES D'EUCLIDE. 36i nPOTASIS Ax'. ce. hoyov TOW w a^e/Ta T) ;(rii Ei; 7 eV< TO A. ETTE) ouv ttTTO flfo/UlivOV ffMfAttOU T6U M, \7fl d'iffil S'lfc- fj.tvnv tuQt'iav THV FA, tufala ^pap/AH tixra.1 MN, MofJiinv Trotouirct jut/iav TV UTTO MNA* apa. \m}v ti MN. Qtyu Si xcti FA* fe- ptt tlTT< TO N ffX/HilOf. EffTl /j.imu trttfAileu TGU A Trapa. :!/9e;ai' Ttii 1 AB en 0K* S'iiru apet tffTiy n &K, D'EUCLIDE. linea ducatur MN , et producatur ad A punc- tutn. Quoniara igitur a dato prmcto M ad da- tam posilione rectam FA, recta linea clue La est MN, datum faciens angulum MNA ; positione igitur est MN. Positione autcm et FA; datum igitur est N punctum. Est autem et punctum M datum; data igUur est MN. Et quoniam ratio est ipsius ZE ad EH data , ut autem ZE ad EH ita NM ad MA; ratio igitur et ipsius NM ad MA data. Data autem MN; data igitur el MA. Sed et positione , et est punctum N datum ; datum igitur et A punctum. Quoniam igitur per datum punctum A contra datarn positione reclam AB recta liuea ducta est 0K; positiouc igitur est OK. droite MN perpendiculaire a TA ( 12. i ), et prolongeons-la vers A. Puisque du point dorine M on a mene la ligne droite MN perpendiculaire a la droite FA donnee de position, et laisant un angle donne MNA, la droite MN sera donnee de position (28). Mais TA est donne de position; !e point N est done donne (25). Mais le point M est donne; done MN est donne (26). Mais la raison de ZE a EH est donnee, et ZE est a EH corume NM est a MA (2. 6); done la raison de NM a MA est donnee. Mais MN est donne; la droite MA est done donnee (2). Mais cette droite est donnee de position , et le point N est donne; le point A est done donne ( 26 ). Mais la ligue droite OK a etc menee par le point donne A parallelemcnt a la droite AB donnee de position; 0K est done donne de posi- tion ( 28). LES DONNEES D'EUCLIDE. 363 HPOTASIS PROPOSITIO XXXIX. Ef rpiyuvou \K.a,a / TH d~im , xat Tc6ti' 5 TO Z* cTofiec apa xaj TO H. Ka; xivrpta TO E, Pietvrnfji.a.T-1 >0/^M T? 6r/(rs v UTTO i) UTTS ZEA' Xo/Trti apa AZE (V}t 4STJ I . Ac- TcT; A, B, r Z, A, E. oir Exponalur enim positione et magnitudine data recta AE , ct constituatur ad AE , et ad puncta in ipsa A, E, angulo quidem ABT sequalis angulus rectilineus ZAE , ipsi vero ATB aequa- lis ipse ZEA; reliquus igitur BAr reliquo AZE aequalis est. Datus aulem unusquisque angu- lorum ad puncta A , B , r datus igitur et unus- quisque angulorum ad Z, A , E puncta. Quo- niam igilur ad datam positione rectam AE , et PROPOSITION XL. Si chacun des angles d'tm triangle est donne de grandeur, le triangle est donne d'espece. Que chacun des angles du triangle ABr soil donne de grandeur; je dis que le triangle est donne d'espece. Car que AE soit une droite donnee de position et de grandeur. Sur AE, et aux points A, E de cette droite, faisous Tangle rectiligne ZAE egal a I'angle ABF, et Tangle ZEA egal a Tangle Are ( 20. i ); Tangle restant BAF sera egal a Tangle restaut AZE( 52. i ). Mais chacun des angles aux points A , B, F est doune; chacun des angles aux points z, A, E est done donne. Mais on a mene a la droke 366 LES DONNEES D'EUCLIDE. AE, Kcti Tta 7rpc( avTy (rH/xe/a cftJV/mw T&> A, a d punctum in ea datum A, recta linea ducta wbfta. yfetfJifM^ HT/ AZ, tfc/ut.ivv -vaioura, est AZ , datum faciens angulum ad A punc- yuvietv TV vpot Ttp A' &im cepa laric AZ. turn; positiohe igitur est AZ. Propter eadem utique et ipsa EZ potitione est ; datum igitur est Z punctum. Est autem unumquodquc punc- e>iaoTJt TUV AE , torum A, E datum; data igitur est unaquseque AZ , EZ TH 9-iftt Ktti TW fj&y'Au' ttfoTui apa TO ipsarum AE , AZ, EZ positione et magniludine j AZE Tfiyuvov TU t'lhi , xai SO-T/C o'/xo/oi' TW datum est igitur AZE triangulum specie, et ABr Tfiydvu' ftfaTai cipa. x TO ABr Tfiyuvov est simile triangulo ABr j datum est igitur et T j}'^,. ABF triangulum specie. \ \ >\(x^ ^'T.^Cl-' ' ' rfl^ *' A/a TO. aura. a KO.I EZ -JKru t' aoOiV apot Ifr] TO Z ffn/j.t7cv. ESTI 7/eip TO ABr TMC U7ro BAr, Trip} at BA, Ar Trpoj ' Ae'^w tTf PROPOSITIO XLI. Si triangulum unum habeat angulum datum , circa datum autem [angulum lalera inter se ra- tioncm liabeant datam . datum est triantrulum t ~ specie. Habeat enim tfiangulum ABr unum angulum Tiir i/TTo BAT 0.1 datum BAT , circa angulum autem BAT latera S'iS'oTcti TO Xoyov I'/Jt- BA > Ar inter se rationem liabeant datam ; ABr -rpiyuvov Sir dico AST triangulum datum esse specie. AE donnee de position , et au point donne A une ligne droite AZ , faisant un angle donne au point A; AZ est done donne de position (29); mais EZ est donnee de position, par la meme raison; done le point z est donne (a5). Mais chacun des points A, E est donne; chacune des droitesAE, AZ, EZ est done donnee de position et de grandeur ( 26 ); le triangle AZE est done donne d'espece ( 5g ); mais il est semblable au triangle ABF (4. 6); le triangle ABr est done donne d'espece. PROPOSITION XLI, Si un triangle a un angle donne, et si les cotes amour de Tangle donne ont enlre eux une raison donnee , le triangle est doune d'espece. Que le triangle ABr ait un angle BAT donne , et que ]es cotes BA, AT autour de Tangle BAT ayent entre eux une raison donnee ; je dis que le triangle ABr est donne d'espece. LES DONN^ES D'EUCLIDE. 36 7 Exxs/Vflw ysp T Stirti xst} TU fjnyi^n fopa- Exponaturenim positione et magnitudine data tvbita. v AZ, KCLI funs-nt-ru Trpbc TV AZ recta AZ , et constituatur ad AZ rectam , et ad tvQtiet., x.ctl TU Ti-fof etuTti Z, T? UTO punctum Z in ea, angulo BAF a:qualis angulus BAF yaviet In 11 inro AZE. Asfls/ira 6/ ZE, fifo/lsm vctcSrct yuriay TYIV UTTO AZE* S'iVe; ofpa ea-r/v n ZE. Ka/ l-?u ^oyof if-r} THS BA TtfCf THC A! (Tofls/f , etilTlf O.VTU ytyViTU o Ttis AZ Trpo? Tjii' ZE' ai sTeetJ;yfl&> H AE* Ao- 705 a.f.0. Kot< TJIC AZ TfofTiiv ZE t't'ftr fifo-rcti apt*. Kai TO ABF rpiyuvcv triangulum specie ; datum est igitur ct ABF TW t'l'Stt. Eac Tfiyufou a.1 TrXtupcti wpof dAAAa; Xoj io/ut.'.i>ov , ft for a, t TO Tptyuvov -ru> ti'fu. Tptyurcu ya.p TOV ABF a.1 TrMvpcti Trpcs aAA- hoycr i^ranrctv ftfofjuvov Xiyu "OTI TO ABF ipiywvov flfoTcti ru t't'fti. ExKti/rQia yap (fljTo/XSCH TW /utyiBu ivftil'a. A. Kai l-xti Xoyog In} TV; AB TTpOf Twc 2 BF fc- fleif 5 o ctiirof ttUTa ytyov'-TU o TV? A Trpcf TW E. ft n A' foQilffa. at,pct. KO.I E. FlaA/i' tTrii lirri TM? BF Trpoj THV AF foBus, OIVTOJ TV Z, Ac9:?ir triangulum specie. PROPOSITIO XLII. Si trianguli latera inter se rationem habcant datam; datum est triangulum specie. Trianguli enim ABr latera inter se rationem habeant datam ; dico triangulum ABr datum esse specie. Exponatur enim data magnitudine recta A. Quoniam ratio est ipsius AB ad BT data , eadem huic fiat ratio ipsius A ad E. Data autem A- data igitur et E. Rursus quoniam ratio ipsius BF ad AT est data , eadem huic fiat ratio ipsius E* ad Z. Data autem E; data igitur et Z. Et d'espece ( 3g). Mais les deux triangles ABF, AEZ out un angle donne a un angle, I'angle BAr egal a Tangle AZE , et les cotes autour des angles BAF, AZE sont pro- poriionnels; le triangle ABF est done semblable au triangle AEZ (6.6). Mais le triangle AZE est donne d'espece ; le triangle ABF est done aussi donne d'espece. PROPOSITION XLII. Si les cotes d'un triangle ont entre eux une raison doiinee, ce triangle sera donne d'espece. Que les cotes du triangle ABF ayent entre eux une raison donnee ; je dis que le triangle ABF est doune d'espece. Car soil A une droite donnee de grandeur. Puisque la raison de AB a BF est donnee, faisons en sorte que la raison de A a E soit la meme que celle - ci. Puisqne A est donne, la droite E est donnee (2). DC plus, pnisqiie la raison de BF a AF est donuee, faisous en sorte que la raison de E a z soit la meme LES DONNEES D'EUCLIDE. aftt to,} Z. K<*< Ix. -rpiut eoflwuv, a? ex tribus rectis, qua? sunt aequales tribus datis **V/c /V a.i quarum duae reliquJi majores sunt ti/ri wavrw ptTstha/j.- utcumque sumptae , triangulum constituatur ffvn [A'.yiQii- fifoTttt afxt TO H0K Tpiywov TU ti'S'ti. K.O.I iTTti tffTii/ &jf AB Vfif Ttiv Bf OUTU; ti A xf.0? Ttir E, Tint ; K wpof TMV KH. E'i H Trpo TM HK 6 ' c/J-oiof apa !? ap KOCI ct AE j data igilur et Z. Et est major TB ipsa BA j AE rS( Z. Ei'xp^c'frflw T a Z JVjf w AH , xeti major igitur et AE ipsa Z. Accommodetur ipsi imZib%6u HE, xai Kj'rTpw yun- Ta A, (TiasTM- Z a3qualis AH, et jungatur HE, et eenlro qui- ju.tt.Ti 1 r circa alios vero agulos TEA , EAH la- tera proporlionalia , reliquorum autem BTA , la droiie z est done donnee ( 2 ). Mais FB est plus grand que BA ( 19. i ); la droite AE est done plus grande que z. Adaptons, dans le cercle, une droite AH egale a z ( i . 4 ) , joignons HE , et du centre A et de la distance AH , decrivous le cercle HK, le cercle HK sera donne de position, car son centre est donne de po- sition , et son rayon de grandeur ( def. 6 ). Mais le demi-cercle AHE est donne de position; le point H est done donne ( a5 ). Mais chacun des points A , E est donne; chacune des droites HA, AE, EH est done donnee de position et de gran- deur (26); le triangle HAE est done donne d'espece (def. 3 ). Puisque les deux triangles ABF , AEH ont un angle egal a un angle, savoir 1'angle BAF egal a Tangle AHE , que les cotes autour des autres angles FBA , EAH sont proportionnels, et que les autres angles BFA , AEH sonl chacun plus petits en meme temps qu'imdroit; DPOTASIS /x a.p.0. sAaWfli'* opfl>K' opotov a.fct eirr< AEH utrumlibet simul minprem recto; simile TO ABF -rfiyuvov ru AEH Tfoyavy. AtJWai rp/T-afOC TO ABF tHV TMI 1 WTO BAP, TTirp ABF ai wXeopeei AB , BF ctAAwAa? ftfo/nivot' AS'T-W ru TO -rpiyuvov oc ymietv A- J-WV/*!' THV 8T1 TO ABT MM itrrta fii inra BAr jwr/a 1 opflt) poTspoc o^tiA' xctl M^flw ctwo Tc? B o~ Non sit autem angulus BAT rectus, sed sit primum acutus; ct dueatur a puncto B ad AF les triangles ABF, AEH seront semblables ( 7. 6). Mais le triangle AEH est donne d'espcce ; le triangle ABF est done donne d'espece. PROPOSITION XLIV. Si un triangle a nn angle donne, et si les cotes autonr d'un autre angle ont entre eux une raison donnee , le triangle est donne d'espcre. Soit le triangle ABF ayant uu angle donne BAF; que les cotes AB, BF, amour d\in autre angle ABF, aycnt entre eux uue raison donnee; je dis que le triangle ABr est donne d'espece. Car que Tangle BAF ne suit pas droit, et qu'il soil preniieremeut aigu; du LES DONNEES fttlou l-xi Tf AF xaflsTOf BA. Ka( 3 tf-riv UTTO BAA 7'i'/tt, l! apa iJs-s TWC ABF SS-TI fef>t7 FA Itri TO E , xa} 8 vyjiia a,-!ro catur FA ad punctum E , et ducatur a puncto TOU B musiou ITT} TMC AE xaflsro? BE. Kai B ad AE pcrpendieularis BE. Et quoniam datus ETre) flQt'tfct iffriv n UTTO BAF' KO.} H lC/TT apo, JTTO EBA (Tcfls/irct igitur EBA datus est ; datum est igitur EBA point B, menons BA perpendiculaire a AT. Puisque Tangle BAA est donne, et qne J'angle BAA est anssi donne, Tangle reslant ABA sera donne ( 5a. i)(4); le triangle BAA est done donne d'espece (40 ); la raison de BA a BA est done donnee ( def. 5). Mais la raisou de AB a Brest donnee; la raison de BA a Br est done donnee (8). Mais Tangle BAF est droit; le triangle BAF est done donne d'espece (45); Tangle BIA est done donne (5i. i) (4)- Mais Tangle BAr est donne; Tangle restant ABF est done donne; le triangle ABr est done donne d'espece (40). Mais que Tangle BAF soil obtus. Prolongeons FA vers E, et du point B menons BE perpendiculaire a AE. Puisque Tangle BAF est donne, Tangle cle suite BAE est duuue ( i3. i) (4) Mais Tangle BEA est donne; Tangle restant EBA est 3 7 4 LES DONN^ES D'EUCLIDE. 'ttrrf tifo-rcti p TO EBA rpiywor TV tihf triangulum specie; ratio igitur ipsius EB ad BA apa, Tnf EB wpo? TV BA un'a Muw xa.} Xonrn angulus datus est ; datum est igitur ABF triaa- apa ii U770 ABF ^ww'* fo&t7tra. IITTI' tifoTcti gulum specie. apa TO ABF Tpiyavcv T! e; fAta., %y yu>va.v nofjuvHv , ycai'ixv Trhmpcti cwa//(5o- vnv XOITTIIV hoycv TO rplyuvov TU titi. E~rw Tfiyuvov TO ABF fj,ittv yuvictv \yjtv TMV WTTO BAF, Tttpt fe TMC UTTO BAF ym- VIO.V ttl Trumpet! , TOt/TS(TT/ ffUltCtfAlpOTtpOf H BAF, ttf fjLia. , wpof TMC FB hoyov t^rta 1 A/j/w CT/ TO ABF Tptyuvov f'tf'srtti iu li'fei. Si triangulum unum babeat angulum datum , circa datum autem augulum latera simul ulra- que ut unum , ad reliquum rationem babcant datam , datum est triangulum specie. Sit triangulum ABT unum angulum datum babens BAT, circa angulum autem BAT latera, hoc est utraque BAT, ut unum ad TB rationem liabeant datum ; dico ABT triangulum datum esse specie. done donne ( 52. i )(4); le triangle EBA est done donne d'espece ('4o ) ; la raison de EB a BA est done donnee ( def. 3 ). Mais la raison de .AB a Brest donnee j la raison de EB h Br est done donnee ( 8 ). Mais Tangle BEr est droit; le triangle EBF est done donne d'espece (43 ); Tangle BFE est done donne ( def. 3). Mais Tangle BAT est donne ; Tangle restant ABF est done aussi donne ; le triangle ABF est done donne d'espece ( /|O ). PROPOSITION XLV. Si un triangle a un angle donne, et si la somme des cotes autotir de Tangle donne a une raison donnee avec le cote restant ; le triangle est doune d'espece. Soit le triangle ABF ayant un angle donne BAF, que la somme dos cotes BA, AF autour de Tangle BAF , ait avec FB une raison donnee ; je dis que le triangle ABF est donne d'espece. LES DONNEES D'EUCLIDE. }p H VTTO BAF yuv'ta. fi%ct T AA Secetur enim BAP angulus bifariam recti o.' ;S'a Tangle ABA est done donne. Mais Tangle BAF est donne; Tangle restant AFB est done donue (3a. i ) (4); le triangle ABF est done doune d'espece (4o)- 3 7 6 LES DONNEES D'EUCLIDE. ALITER. AAAflS. >> BA tw eu9',of ST 9vc/** Tf BA 1 asqualis autem FA ipsi AA ; ratio igitur ipsius BA TifV BF 'p *3omme des droiics BA , AF a BF est dounee, el que FA cst egal a AA, la raison de BA a BF est donuee. Mais Tangle AAF est clonne, car il est la moitie de Tangle BAF ( 5 et 3a. i ) ; le triangle BAF est done donne d'es- pece(44)> Tangle ABF est done donne ( def. 3). Mais Tangle BAF est donne ; Tangle restantAFB est done donne ( 32t i ) (4); ^ e triangle ABF est done donne d'espece ( 40 ) LES DONNEES D'EUCLIDE. HPOTA2I2 ywg-'. /JLIO.V t% yutvttv yrtpl fl aA>Hi' yufia.li a! Trhtupxt Uf ftift, 7rpV(Ttiv Ao/STJtK 7C7-CV f-S'ora.i TO Tpiyuvor TW s' Tpiyuror TO ABr /x/cev fo/A;mv Tf t?ro ABT, t/wo BAF ai w>st/pa( r H BAI", wpof TMi 1 Br v 1 Aejw ST/ TO ABr rpiywov yuvia.v A- yunttv TIIC PROPOSITIO XLVI. Si triangulum unum habcat angulum datum , circa alium autem angulum latera simul utra- que, ut unum , ad reliquum rationem habeant datam ; datum est triangulum specie. Sit triangulum ABr unum habens angulum datum ABr, circa alium autem angulum BAT latera utraque simul , ut unum hoc est ipsa BAT ad Br rationem habeant datam; dico ABr triaa- gulum datum esse specie. iM yap VTTO BAr yuvitt. ! BAF vpcf est igitur ut utraque simul BAT ad Br ita AB ad BA. Ratio autem utriusquc simul BAT ad TB data ; ratio igitur et ijisius AB ad BA data. THV Bf ci/T&!f AB &'/'. Kcei if-riv a.ur( p* la-r* *cu n BAF yttvia.* } VTTO ABF ftOtfaf a'pa ABr datus; et reliquus igitur AFB datus est; AFB cTV>8e/ir* \MSII'' Et est datus ABr angulus ; datum igitur ABF apa TO ABF -rpiyuvov TW 6(' l' an g'e BAA est done donne ( def. 3 ). Mais Tangle BAF est son double ; Tangle BAF est done donne (2). Mais Tangle ABF est donne; Tangle restant AFB est done domie ( 32, i ) (4); le triangle ABF est done donne d'espece (4o) A U T R E M E N T. Prolongeons BA; faisons AA egal a FA, et joignonsAF. Puisque laraison de la sorame des cotes BA, AF a BF est dounee, et que FA est egal a AA, la raisou de AB a BF est donnee. Mais Tangle ABF est donne ; le triangle ABF est done donne d'espece (40; Tangle BAF est done donne (def. 3). Mais Tangle BAF est son double LES DONNE"ES D'EUCLIDE. 3 79 VTTO BAT' it apt* vvo BAF ywla. odt7f/, xoi BA Trpo; Ttiv EA eTofls/f. Em] cur l JV- Jungantur enim ipsas BE, Er. Et quoniaia ^G&u/rot, datum est ABTAE rectilineum specie ; datus -tf THf igitur est BAE angulus , et est ratio ipsius BA \). PROPOSITION XLVII. Des figures rectilignes donnees d'espece peuvent se diviser en triangles donnes d'espece. Soit donnee la figure recliligne ABFAE ; je dis que la figure rectiligne ABFAE peut se diviser en triangles donnes d'espece. Car joignous BE , EF. Puisqiie la figure rectiligne ABFAE est donnee d'espece, Tangle BAE est donue, ainsi que la raison de BA a tA ( def. 3). Et puisque Tangle 38o LES DONNEES D'EUCLIDE. VTTO BAE yav'ta., xa.} SCTI *o>oj T; BA 7ipc,f gulus , et est ratio ipsius BA ad AE data; da- Tttv AE Mils' fifoTai a.po. TO BAE Tpiywot Tip turn est igitur BAE triangulum specie ; datus t'/Xi/' MtTsa. apa. time iivo ABE ywia.. Eirn igitur est ABE angulus. Est autem et totus ft KO.} O^M UTTO ABF 7i'/ Mi7w on *eyo; iffTt TCU ABF vpig TO esse ipsius ABr ad ABA datam. ABA BAE est donne, et que la raison de BA a AE est anssi donnee, le triangle BAE est donne d'espece (40 ; Tangle ABE est done donne (dcf. 3). Mais Tangle entier ABF est doune ( 5); Tangle resiant EEF esi done donne (4 ) Mais la raison de AB a BE est donnee, ct la raison de AB a Br est aussi donnee ; la raison de EB a Br est done donnee ( 8 ). Mais Tangle TEE est donne ; le triangle BFE est done donne d'espece (4 1 ) ^ ar ^ a m ^ me raison, le triangle TAE est donne d'espece; Ics figures reciiHgnes donoees d'espece peuvent douc se diviser en triangles douues d'espece. PROPOSITON XLVIII. Si des triangles donnes d'espece sont decrits sur une meme droite, ils ont entre eux une raison donuee. Sur une meme droiteAB, decrivons Ics deux triangles donnes d'espece ABr, ^ je dis que la raison du triangle Asr au triangle ABA est donaee. LES DONNtfES D'EUCLIDE. 38x yap O.TTO rSr A , B m/Atiut> T AB Ducantur enim a punclis A , B recta? AB per- tu6ii(t iTfio; cp&cif a.1 AE , BH, xod lnthHf6uctt.v pendiculares AE, BH, et producantur ad puncta tTr] TO. I, , xcti fioL TUV F , A CHfjLtiuv T Z , , et per r , A puncta rectas AB parallels AB tCSiio. Trap aAAAo; ;y9ws-ap 0.1 EFH , ZA0. ducantur ETH , ZA0. Et quoniam datum est Tr ticoTa/ TO TMf FA wpcf Ti' BA cTfy i) VTTO FAB EAB VTTO EAr AEr f r.ctl XciTrti apa. I/TTO EfA Miltr apct TO AET -rpiyurcv Ttf t'i'fcr apa TC EA wpo? THf Ar ~o&ii(, Tf iTe FA Trpof Tttr AB hcyc; ls-r} f'c&tif' x&i TH? EA apct Trpcf THK AB hcyof SITTJ - data, quandoquidem ab eadem recta BE des- BE a.va.y^ypat.Tna.i fti*a(tty TW cripta sunt data specie triangula ZEB , EBA ; ipsius TEBZ igitur ad EAB ratio est data , et componendo ipsius TEABZ ad EAB ratio est data. Ipsius autem EAB ad AAB ratio est data; et ipsius TEABZ igitur ad AAB ratio est data. tWW -rfiyuva. TO, ZEB, EGA* TOU FEBZ p* 2 Tipof TO EAB Ao'?-5f ear* (Tsfls/s' xa/ rw&irn ffuvttfjL- poWpciu 3 TCU FEABZ ^-pcf TO EAB /o'>oc sa~r) cf i5T< 'o 0.1 AB , Dnas enirn reels AB , TA intrr se rationem liabeaut datam, el describatur ab ipsis AB, TA AB, FA ojmci'l -rr ;:a}o/Ltciu; ztiptvct tv- similia et similiter posita rectilinea E, Z;dicoet illorum ralionem inter se datam fore. TO. E, Z* OT/ aA- meme droite EZ ; la raison de FEZ a ZEB sera donnce ( 48 ) ; done par addition, la raison de FEBZ a EBZ est donuee. Mais la raisou de ZEB a EAB est dounee (48), parce que les triaugles ZEB , EBA, dounes d'espece, sont decrits sur une merne droile BE (48) ; la raison de TEBZ a EAB est done dounee (8 ) ; douc , par addition , la raisou de FEABZ a EAB est donnee (6). Mais la raison de EAB a AAB est douuee (48 ); la raison de FEABZ a AAB est done donaee (8). PROPOSITION L. Si deux droites ont entre elles une raison donnee, les figures rectilignes semblables, et semblablement construites sur ces droites, auront une raison douuee. Car que les deux droites AB, FA ayent enire elles une raison donnee; sur AB, FA decrivons les figures reciilignes E, z, semblubles et semblablement placees ; je dis que ces figures auront entr'elles une raison dounee. 384 LES DONNtfES D'EUCLIDE. 1 U ya.p ruv AB , FA -rpi-rn avcihoyov H* EffTiv cifa. u; v AB Trpo? THI> FA OI/TW? a FA wpoj Ti)'4,H. AO'T/OS Je o T?J AB vrpof FA tFc- Sumatur cnim ipsarum AB , rA tertia pro- portionalis H; est igitur ut AB ad rA ita rA ad H. Ratio autem ipsius AB ad rA data. Ratio H 3-iic Kiyss ap xa o 5 riTf FA vfot TI> H Z o/moiov Describatur enim ex AB ipsi Z simile ct net] ofj,oius Kiipwtv TO AHB. As'JWa/ Te/' JY'3's/af TH; AB ' TO? E TTfoi; TO AHB Tc6s/f. Ka) Iwsi IOT/ AB TTfog TW TA *Q-}O; J 7? A dat4 enim recta magDiludine AB data spe- AB fifoptrov TO t'ifti it^Of avet-wfiqid-a TO cie figura describatur ipsa ArAEB 5 dico ipsam A/T.W OT< TO AFAEB .TiJWcu ra /*e>i'fls. AFAEB datam esse magnitudine. r>K AB TtTfywcr Describatur enim ab ipsa AB quadratum AZ; TO AZ' SiPiTa.1 apct TO AZ TU tiht xa) TU data est igitur AZ specie et magnitudine. Et /j.iyt6;i. Ka) tTTii oVd TMJ aiiTiit tiiSrt'ia.; TM; quoniam ab eadem recta AB duo rectilinea AB ;< Tr Xc/77f TrXeypte? Ao^-of Quoniam enim ratio est ipsius BA ad ZQ data , ipsius autem BA ad BA ratio est data : et ipsius AB igitur ad ZO ratio est data. Ipsius autem Z0 ad EZ ratio est dataj et ipsius AB igitur ad EZ ratio est data. Propter eadem utique et reliquorum laterum ad reliqua latera ratio est data. PROPOSITION LIII. Si deux figures sont donnees d'espece, et si im des cotes de 1'une a une raison donnee avec un cote de Tautre, les cotes restanis auront une raison donnee avec les cotes restants. Soient les deux figures AA, E donnees d'espece ; que la raisou de BA a ze soit donnee; je dis que la raison des cotes restants aux cotes restants est donnee. Car puisque la raison de BA a z est donuee, et que Fa raison de BA a BA est aussi donnee ( def. 3 ) ; la raison de AB a z est donuee ( 8 ). Mais la raison de 20 a EZ est donnee ( def. 3 ); la raison de AB a EZ est done donnee ( 8 ). Sem- blablemeut la raison des cotes restants aux cotes restanis sera donnee. 388 LES DONNEES D'EUCLIDE. PROPOSITIO LIV. ra eitiot/ t 1 oy, Si duac figurae datae specie inter se ratio- nem habeant datam , et latera ipsarum inter se rationem liabebunt datam. Duae enim figurae data? specie ipsae A, B inter *"'>&) CTI net] a.1 se ralionem liabcant datam ; dico et latera ipsa- rum inter se ralionem habitura esse datam. A B L H Tc >cp A T&> B ' ofjiotct , KOLI ei M H' fffT/C tf TO A To? TO B. oil. A opoiov K.O} o,uo/&>5 ab EZ ipsi A similis et similiter posita E0; data xii/utrcv TO E0* e!'t TA crpo; TM^ EZ ov-rut rA ad EZ ita H0 ad KA , et dcscripta sunt 11 H T! fog TWi/KA, tutt a.va.yiypa.'Trrcti uiro ruv ab ipis FA, EZ , H0 , KA similia et similiter TA, EZ, H, KA ofJLdiA KOI oftoiuf Ktifiwx tv- KA Te to. A, B, M, N- ticv dy.oXciid'ug S T? tcr "tique praicedenti demonstrationi reliquum TO ^o/Tor cf^'/Hi'Jo-sTa/". ostendetur. PROPOSITIO LV. TU ti*n KO.I TU w , aa.} etl rrAsupet* TJO Effrca %upiov it? TO A" act} at TtXiuptu Si spatitim specie et magnitudine datum sit, ft- et latera ejus magnitudine data erunt. ti ? EZ wpoj THV EH EH. A/a T aura I'iftt. AXAa net} TO AN' datum est igilur specie. Sed et ipsum AN; ratio apa. tern TOW AN Trpof TO MO ia ^o'^oc t^i) ftS'oiJ.wov' ta~rat l ug ti TOU wXivpx. Ttpos THV TOO At/Ti'pot) 7r^ti/py.v H XO/TTJI T5U ftVTipCV TT^tllpSt. TTCSf C W *y w B inter se rationem habeant datam; dico esse o' T /i(TrJF5f rA7rpofTl'EZSTCEHpofi' ut rA ad EZ ita EH ad quam r rationem re biytv t%*i fifopivov, tv TO A Tr *iv TrCSTO B tv TO v*f*Mn*oyfaj*iJLOv l-^t Trpos To 3 77paA- ov. ap /Vo^wci* wp***oVpU FK, xa) ffn / u^s7rApft)(rfl&) TO compleatur FA parallelogrammum. Quoniam FA ?rcii>*M>itiyp*uuov. ETTt} oZv \t EH wpof TMf FK, J' Trpcf TO apa wj FA Trpcf THV EZ curac EH Trpof HP F AOT/OC t^s/ , oc TO A ^ap/'cc srpcj TO B FIPOTA2I2 ". D'EUCLIDE. 3 9 5 data , aequale autem B ipsi FA ratio igitur est ipsius A ad FA data. Ut autem A ad FA ita F ad FK; et ipsius F igitur ad FK ratio est data. Et quoniam est ut FA ad EZ ita EH ad FK , ipsa autem F ad FK rationem habet datam , quam A spatium ad B ; est igitur ut FA ad EZ ita EH ad quam F rationem habet, quam A spatium ad B spatium. PROPOSITIO LVII. Ear Iv yjafiov TTttpi fa8i"icciv tuQi'i'a.v 1 wa- Si datum spatium ad datam rectam appli- iiy yurif , cT'JWai TO TrAaTOf catum fuerit in dato angulo, data est latitude applicationis. TM AB 7J-- Datum enim spatium AH ad datam AB appli- o FAB^Aeja cetur in dato angulo FAB dico datam esse FA. TO AH or; TO EB' J EA, ZB tt i5 FA. ^pap^ jap 2 aVo T{ AB S'si' apa eap* Ao/Tri) apct rcctus enim ; reliquus igilur ATA datus est; fifoTOLi apa TO ATA datum est igitur ATA triarigulum specie; ratio igitur est ipsius TA ad AA data. Ipsius autem AA ad AB ratio est data ; et ipsius FA igitur "ad AB ratio est data. Et est data ipsa BA; data igitur et ipsa AT , et est latitudo appli- cationis. raison de EB a AH est dounce. Mais HA est egal a AO ( 55. i ); la raison de EB a Ae est done donnce ; la raison de EA a AA esl done donnee ( i. 6 ). Mais EA est t'gal a AB ; la raison de BA a AA est done donnee. Mais Tangle TAB est donne, el 1'angle AAB est aussi donne; Tangle reslant TAA est done aussi donne (4) Mais Tangle TAA est donne, car il est droit ; 1'angle restant AFA est done donne (62. i ) ( 4 ); le triangle ATA est done donne d'espece (4)> ^ a raison de PA a AA est done donnee (dcf. 5 ). Mais la raisou de AA a AB est donnee; la raison de PA a AB est done donnee (8). Mais BA esl donne; la droite AF est done doimee (2); la largeur de Tapplicatioa est done domiee. . LES DONNEES D'EUCLIDE. 3g 7 FIPOTA2I2 rti'. PROPOSITIO LVIII. ir&pa. rce. TrAaTM rou t 2/ap TO FA Trapa ' rtr AA wet- ^/KM T&> FA' V TB, BA. Si datum spatium ad datani rectam applicata fuerit deficiens data specie figura, data; sunt latiludines defectus. Datum enim spatium FA ad datam A A ap- plicetur, deficiens data specie figura TA; dico datam esse ulramque ipsarum TB , BA. H Z B A >i AA xeno. TO E n- paipw O.TTO Xi'l/UiVGV 8u> TO Ka/ ITT-'/ TW s Secetur euim A A bifariam in puncto Ej data apa. ITIV EA -r$ jue^'fle 2 . Ka i S itur est 'P sa EA magnitudine. Et describatur EA rS FA e/xo/oc xx} ab 'P sii EA 'P si FA simile ct similit er positum rectilineum EZ, et coustruatur figura ; datum est igitur et EZ specie. Et quoniam a dati rectd EA uS-e/etff THf EA ^ ata s P ec ' e ^ ara EZ descripta est ; data est e7i KF. Ka SO-T/C ;V tera ; data igitur est ipsa KF. Et est aequalis TiT EB' MtlffA apa. I-T)C a<4 i) EB. E IB' on celte figure est egale In la sornme des figures AT , K0 ( 36, et 4*>- i ); la somme des figures AF, K est done donnee de grandeur. Mais AF est doune de grandeur, par supposition.; la figure restante Ke est done donnee de grandeur ( 4 ) Mais elle est donnee d'espece, car elle est semblable a la figure FA; les cotes de la figure eK sont done donues(55); la droite Kr est done donnee. Mais elle est egale a EB (5/,- i)> la droite EB est done donnee. Mais EA est donne; la droite restante AB est done donnee (4 ) Mais la raison de BA a Br est donnee ( def. 3 ); done Br est donne ( 2. ). PROPOSITION LIX. Si un espace donne est applique a une droite donnee, et si cet espace est excedcnt d'une figure donnee d'espece, les cotes de Pexces sont donnes. Qu'un espace doune AB soit applique a une droite donnee Ar, et que cet espace soil excedent d'une figure TB donnee d'espece; je dis que chacun des cotes 0r, TE est doune. >ap < LES DONNEES D'EUGLIDE. 899 T * z D/*wfly, Secetur enim bifariam AE in Z puncto , et xa.} a.rif p* positum ZH ; circa eadem igitur diametrum est a.'J^(av ^Z. Quoniam enim datum cst AH , cujus ETBAZH Itrrf XoiTtciv af& TO AB (Toflec gnomon datus est; reliquum igitur AB datum . KO} ra ttS"ti , O/AOIOV ydf trri TW cst. Sed et specie, simile cnim cst ipsi HA; ' TCU AB apa a/4 Tr^mpo.} foS'ofji.iraU tlffiv ipsius AB igitur latera data suut ; datum igitur 'iTx afa Is-nv txentpat. ruiv TA, AA. E eJ yus^s'fls/ rS EF.BAZH' X/ f FE, AZ. 7-iip (TofliV IITTI TO AH, oS o EPBAZH AZ est done donnee. Mais chacune des droites TA, AA est donnee; chacime des droiics restantes r, ZA est done doniiee aussi(4) Mais de plus, que le parallelogramme AH, donne d'espece et de grandeur, soil diminue du gnomou donue EFBAZH; je dis que chacuae des droites FE, AZ est donnee. Car puisque AH est donne, et que le gnomon EFBAZH est donne aussi,la surface restante AB est donnee (4). Mais cette surface est donnee d'espece, car elle est semblable a HA (26. 6); les cotes de AB sont done donnes (55); chacuue des droites FA, AA est done donnee. Mais chacune des droites EA, AZ esi donnee ; chacune des droites reslaules EF, AZ est done donnee (4). III. 402 LES DONNtiES D'EUCLIDE. Ea.v P O T A 2 I 2 TU (J.a.v rui> t%Yi TO t~o( Trpof TO AO'T-OI/ Mo^vdV' f'if'oreti TO TU t'iS~u. yap T&> sipiot wapa^jfAtiVfliM TO TA jc Jstf'CjUn't) yavia. TH UTTO ATB , hcye; o&AiAo'>pa/4UOt' S~c- est figure AF ad parallelograrnmum iB data. Ipsius autcm AZFB ad FA ratio est data quoniam supponitur , jequalc autem FA ipsi KB; ratio igilur et ipsius KB ad FH est data quare et ipsius Zr ad TK ratio est data. s AZFB Trpof TO TA Xo'^of 5iT7-< o'}0f ccpa dalus; datum est igilur AKF triangulum spc- tpos TIIV FK Mil;. TK fl KF irflf cie > rat ' igitur_,est ipsius AFad FK data. Ipsius \ I G triangle AKF est done donne d'espece ( 4 ) ; ^ a raison de AF a FK est done donnee ( def. 5 ). Mais la raison de 404 LES DONNEES D'EUCLIDE. Ty FB *.t>yos (fl-Ti Trp; Auo a* AB , AEB v Tf AB THC TA yui'ia. TH VCTO 2.FA, TO ZA TO AZ (.;^cj ;^T( TO? AEB a.c.a. TO mile ipsi ZA ; datum est igitur et ZA specie. Ka) ssr/v cfMicr T&> ZA' TO ZA rnent placee ( 18. 6). Puisque la raison de AB a FA est donuee, et que sur AB , TA on a decrit les figures AH , ZA semblables et semblablement placees , la raisou de AH a ZA sera donnee ( 5o). Mais la raison de ZA a AEE est donnec ; la raison de AEB a AH estdouc donnee (8). Etpuisque Tangle ABH est donne , caril est egal a 1'angle ZFA ; qu'a un des cotes AB de la figure AEB dounee d'espece, on a applique la figure AH dans Tangle donne ABH, et que la raison de la figure AEB au paralle- logramms AH est donnee (49)> ^ a figure AH sera donnee d'espece (61 ). Mais cette figure est semblable a ZA ; la figure ZA est done donuee d'espece ( def. 3 ). LES DONNEES D'EUCLIDE. PROPOSITIO LXIIIr Ectc T hcyov Eara Tfiyuvov S'tfojuivot/ TU tif'tt TO ABF, ft) TO tKarrMs TUV Trhwpi TO. EB, TA, TZ' AS'T-W ST; EB, FA, TZ 5rpf TO ABr TO Trpoj TO Si triangulum specie datum sit , ab uno- quoque laterum ejus quadratum ad triangulum rationem liabcbit datam. Sit triangulum ABr datum specie, et des- cribantur ab unoquoque laterum ipsius quadrata EB, FA, TZ j dico unumquodque quadratorum EB , TA , rz ad triangulum ABr ratiouem ha- biturum esse datam. ycif O.TTO T?C UTM; sij6e?i>a OT/ to yUS/^oV !TT/ TO StTTO Tf AT TWC 2 ctTTO Tftif AB , Br, TOVTttTTI TO i L770 ABA cToSe/ira 6T/r. EITT; S\ xai Inro ABA angulus datus est. Est autem et AAB datus , PROPOSITION LXIV. Si un triangle a un angle obtus donne, la surface dont le quarre du c6te qui soutend Tangle obtus surpasse la somme des quarres des coles qui comprenent Tangle oblus, aura une raison donnee avec ce triangle. Soit le triangle obtus -angle ABr ayant Tangle oblus ABr donne, menons la droite BA dans la direction de Br, et du point A menons AA perpendiculaire a AF; je dis que la surface dont le quarre de AF surpasse la somme des quarres des dioites AB, BF, c'est-a-dire que le double rectangle sous AB, BF a une raison donnee avec le triangle ABF. Car puisque Tangle ABF est donne, Tangle ABA est donne aussi ( i3. i ) (4) 4o8 LES DONNEES D'EUCLIDE. AAB ? H AA wpof Tt)c AB oSTftjf TO VTTO sub AA , BF ad ipsum sub AA , BF; quare et TUV AA, BF Trpoj TO JTTO Tar AB , BF* UTTI xctt ipsius sub AA, BF ad ipsum sub AB , BF ratio TOI> tiTTO TM AA , BF irpof TO i>7ro TUV AB , BF est data ; et ipsius bis igitur sub AB , LF ad ip-r \' la raison de deux fois le rectangle SOUSAB, Br au triangle ABT est done donnee ( 8 ). Mais deux fois le rectangle sous AB, BF est la surface dont le quarre de AF surpasse la somme des quarres des droites AB ? BF (12. 2); cette surface a done une raisou donnee avec le triangle ABF. LES DONNEES D'EUCLIDE. 409 HPOTASIS f e '. PROPOSITIO LXV. 'Ea.v Tfiywrov cft/ac 'tyjn ywictv S'WO.TO.I n rtiYo^i'iv.vyuviav u Tar TDK c^e7rtc yui'ixy Trip pav, iKiTvo TO' %ufiov TTjjof TO Tp'fyuvor Tpiya/rov o^v")uviov re ABr, o ytnvictv tfo/j.t>>Mtr TMi' t/^o ABr, KKJ %fl&> a TOU A eTjTMt' Br KzfleTOf 2 AA' h'tyu OTI u FOV tirri TO OTTTO T>iV Ar TWI' tt?76 -rZv AB , Br, T6VT61TT/ TO cT/f l/TTO TWf TB , B.i } TTflf TO ABF Aojoy Si triangulum acutum babeat angulum da- tum j quo minus potest latus acutum angu- lum subtendens quam latera acutum angu- lum comprebendentia , illud spatium ad trian- gulum rationem babebit datam. Sit triangulum acutangulum AST , acutum habens angulum ABr , et ducatur a puncto A ad BT perpendicularis AA j dico quo minus est ipsum ex AT quam ipsa ex ipsis AB, BT , boc est ipsum bis sub TB , BA , ad ABr triangulum rationem babere datam. A r ETTU yap BA > quo minus est quadratum ex Ar rav IB, BA ti> th&afOt Irrt TO ^770 rs AF rav quam quadrata ex AB , BF ; quo igitur rni- a?rc Tai'i' AB, BF* a pa faaLfffW lert TO a?ro Tf Illls cst q i 'adratum ex. AT quam quadrala ex AT tuiv O.TTO fSiv AB , Br ? mt'ivi TO %uflev ?rpj AB > B f, illud spatium ad AST triaiigulum TO ABT Tfiyuyev hiyw tw^ ftfof*.ivw. rationcrn haltt da tarn. nPOTASIS !;$' Tfiyeat/tt S'tS'op.wriv t-^jn ywuctu' TO OTTO TUV TV ft^cfjt-ti'tiv ycavlav 7rtpit%(!u wpof TO Tp/j-wcox Aoj-oi' e^ Tpiyuvtv TO ABF S~tS~o^.rttv t^df yuviav tvv wpof T A* srcj TO ABF PROPOSITIO LXVI. Si triangulum datum habeat angulum , reo tangulum sub rcctis datum angulum compre- hendeiitibus ad triangulum rationem babet datam. Sit triangulum ABr datum liabens angulum BA, AF ad A ; dico ipsum sub BA , AT ad ABT triaa- gulum rationem habcre datam. on TO UTTO hc-ycv i%u fi raison de BA h AA est done donnee ( def. 3 ); la raison du rectangle sous TB, BA an rectangle sous FB, AA est done donnee ( i. 6); la raison de deux f'ois le rectangle SOUSFB, BA au rectangle sous FB , AA est done donnee. Mais la raison du rectangle sous BF, AA au triangle ABF est donnee ( / ( i. t ) ; la raison de deux fois le rectangle sous FB,BA au triangle ABF est done donnee (8). Mais deux f'ois le rectangle sous FB, BA est ce clout le quarre de AF est surpasse par la soimne des quarres des droites AB, BF ( i5. 2 ) ; la surface dout le quarre de AF est surpasse par la somme des quarres des droite AB , BF a done une raison donnee avec le triangle ABF. PROPOSITION LXVI. Si un triangle a un angle donne, le rectangle sous les droiles qui compre- nent I'angle donne t aura une raison donnee avec le triangle. Soil le triangle ABF ayant uu angle donne A; je dis que le recfingle sous BA, AF a une raison donnee avec le triangle ABF. LES DONNE"ES D'EUCLIDE. 4u 8 yaf civo rev B ew* TVV AF xaQncs Ducalur cnim a puncto B ad AT perpen- BA. E^rei ey? Mtura, \rriv UTTC BAF yui'/et, dicularis BA. Quoniam igilur datus est BAT trr} Si xat,} VTTO BAA folliTa-ai' KO.} AO/JTJ apct angulus, est aulcm et ipse BAA datus j ct reli- VTTO ABA yuvla. Tpi")uvov TU iifti' hcyot a-ftt. Ivr Tiff AB Tr BA o&ei(. Cl( Si AB wpo OTTO I5T/ afct TO ABA quus igilur sub ABA angulus datus est; da- ? turn est igitur ABA triangulum specie; ratio BA ovru; TO igitur est ipsius AB ad BA data. Ut autem AB TUP BA, AF Trpcj TO i/Vo TKV BA, AF' aim a d BA ita ipsum sub BA , AT ad ipsum sub BA, TCU JTTO rm> BA , AF 'Wpo? TO IITTO TUV BA , Ar ', quare et ipsius sub BA, ATad ipsum sub BA, 4acof A69- Ar igitur ad ABr triangulum ratio est data. Car du point B menons sur Ar la perpendiculaire BA ( 12. i ). Puisque I'angle BAr est donne , et que Tangle BAA est aussi donne ; Tangle restant ABA sera donne ( 3a. i ) (4) ; le triangle ABA est done donne d'espece (40); la raison de AB a BA est done donnee. Mais AB est a BA comme le rectangle sous BA, AF est au rectangle SOUSBA, Ar(i. 6); la raison du rectangle sous BA, AF au rectangle sous BA, Ar est done donuee. Mais la raison du rectangle sous BA , AF au triangle ABF est dounee; la raison du rectangle sous BA, AF au triangle ABF est done donnee (8). LES DONN^ES D'EUCLIDE. PROPOSITIO LXVII. S*i$~oi*iv tt TUP %y yuvetf u yuvictv Si triangulum datum habeat angulum , quo majus possunt latera datum angulum compre- hcndentia, tanquam una recta, quam quadra- TO %vpiov Ti-po; TO Tpiyumv Xcyov t|/ Mo- turn ex reliquo , illud spalium ad triangulum uivof. rationem liabebit datam. Sit triangulum ABr datum habens angulum BATj dico quo majus est quadratum ex utraque i Tctya>ov TO ABF tnv VTTO BAF' Xs^w CT/ &> fAtT cvva/mtpoTipov Tti; BAF TOU TO TO %r?ptcy TTflg TO ABT "TftyttfOV Xcycv t STI TO f Br, tnt'ii'0 simul BAT quam ipsum ex Br, illnd spatium ad ABr triangulum ratiouem habere. datam. Producalur cnim in directum ipsi BA recta A A , ct ponaluripsi AT E?qnalis AA; ctjuncla AT producatur ad punctum E , et ducatur per punctum B ipsi AT parallela BE. Et quoniam xqualis est AA ipsi AT ; aequalis igitur est ct AB TUV AF, rE,U5Ta TCU 0.710 ipsi BE. Et ducta est qua:dam BT ; ipsum igitur BF !Vop IITT} TU CLTTO rt BA. In fi n AA T sub AT , FE cum ipso ex BT jequalc est ipsi ex AF* / T}^ l B >up 6^" t >i AA T? apa SO-TJ Ktti i) AB TJI BE. Kaj * TO apa AF' TO apa a?ro FUf&fJUptTtcou TV; BAF itroc BA. jEqualis autem AA ipsi AT ipsum igitur ex utraque simul BAT aequale est ipsi sub PROPOSITION LXVII. Si im triangle a un angle donne , la surface dont le qnarre de la somme des cotes qui comprenent Tangle donne surpasse le qnarre du cote restant, aura une raison donnee avec le triangle. Soil le triangle ABF ayant un angle donne BAF; je dis que la surface dont le qnarre de la somme des cotes BA, AF surpasse le quarre de BF, a une raison donnee avec le triangle ABF. Car menons la droite AA dans la direction deBA ( 5. i ); faisons AA egal a AF, joignons AF, prolongeons cette droite vers E, et par le point B menons BE parallele kAr(5i. i ). Puisqne AA est egal UAF; la droite AB sera egale a BE (4. G et 14. 5). Mais on a mene une droite BF; le rectangle sous AF, FE, avec le quarre de BF , est done egal au qnarre de BA. Mais AA est egal a AF ; le quarre de la somme des droites BA , AF est done egal au rectangle sous AF ? FE avec le quarre LES DONNEES D'EUCLIDE. 4i3 T VTTO TUY AF, IE JUJT* TCV a.7rt> 5 TK BF- $* Ar i rE cum ip so n Br 5 1 uare ipsum ex utraquc TO 7ro nirtt^iripou TM? BAF, TCt/TtiTT* TO simul BAF, hoc est ipsum ex BA quam ipsum ex CLTTO THC BA 5 TOU a77o Tf BF [JLti&v ittfirt? Br majus est ipso sub AF , r. Dico autem ipsius UTTO TWV AF, FE. A4> ^ *T TCO Jwo Taf7 Ar, sub AF , FE ad ABF triangulum rationem esse TE wpof TO ABF -rpiycayov AO'J-OJ ea-T Mt!( ' In} datam. Quoniam enim datus est BAF angulus, et yap afat, a yy.f ITTIV ri UTTC BAF yuvet , xa< ftp'^tif AAF ITT/ ( S\ EF Ttplf Ttiv FA ou- E F, FA ad ipsum ex FA; et ut igitur ipsum f TO I/TTS TWI' EF, FA wpof TO avo rij"?- 12 FA' xa.} sub BA ; AA ad ipsum ex A A ita ipsum sub EF , apa TO VTTO ruv BA, AA Tpcf TO a.7ro riis X AA a( l ipsum sub EF , TA data. JEqua- TCV VTTO rSv BA, AA wpof TO t^o TW EF, FA lis autem AA ipsi AF; ratio igitur ipsius sub fo&tii. \n Si H AA T AF- Xo>e apa' 3 ToCi7ro BA > Ar ad ipsum sub EF , FA data. Ipsius tuv BA, AF 77-po? TO VTTO TWC EF , FA fofaif. a "'em sub BA , AF ad BAF triangulum ratio Too S~t WTTO TUV BA , AF 7rpo TO BAF rpiya- est data > propterea quod datus est BAF an- KC? ^oyostfrl (TofleJf, (T/a TO hBuictr w*i rv S ulus i et 'psius sub EF , FA igitur ad ABF BAF KO.} TOV VTTO TUV EF, FA apa. triangulum ratio est data. Et est ipsum sub Ar, rE 1 UO m ajus est ipsum ex utr4que simul ICTI TO O.TTO fvv- BAr 1 uam ipsum ex BF ; quo igitur majus est J P sum ex utraque simul BAF quam ipsurn ex Br > >'l u d spatium ad ABF triangulum ratio nem tabebit datam. TO UTTO TUV AF, FE u a/x AE. Ko.} sTrt} ^{iyo. ITTIV et jungatur AE. Et quoniam datus est BAT VTTO BAF j-wcj'a, za} ttmv OVTM; vfttftut inro angulus , et est ipsius dimidius ipse AFZ, est AFZ , lor} fi xa; inrl AZF J^ofle/a-a' fifcrctt autem et ipse AZF datus ; datum est igitur p* TO AZF tfiyuvov TU ti'hr Ac'^cf apss IO-TI AZF triangulum specie^ ratio igitur est ipsius AZ BAA t>t( TV ZF (Ttflu'f. Tit; Z ad zr data. Ipsius autem zr ad FA ratio itrr) Mi}f, fi7r>o.ffluiv ya.p Irrtv ttv- est data, dupla enim est illius; et ipsius Ar wpcj Tit? AZ TH?" xa; T>7; AT pa ^pcf ft&tif u>m an} TOU u^-o T TMP AZ , TE Aoj/Of 6!TT1 AZ , TE wpcf TO AFE Tfijetfor igitur ad AZ ratio est data; quare et ipsius EF, FA wpof TO sub EF, FA ad ipsum sub AZ, FE ratio est 3s;'f. Toy o'j-of tor/ (Tofle/f, Ka< ear/ TO OTTO TUV EF, FA, w 3 //ei^oy Ifl-T/ TO aoro niva.juKpCT'fov T?f BAr TCU ei'TZ'o TWC TB* w apa fju vuva.ju, car il est sur la meme base AF et entre les memes paralleles AF, BE ( 5y. i ); la raison du rectangle sous EF, FA au triangle ABrest done donnee (8). Mais le rectangle sous Er, FA est ce dont le quarre de la somme des cotes BA, AF surpasse le quarre de FB; la surface dont le quarre de la somme des cotes BA, AF surpasse le quarre de FB a done une raison donnee avec le triangle ABF, AUTREMENT. L'angle en A, est ou droit, on aigu, ou oblus. Premicrement, qu'il soil droit ; le quarre de la somme des cotes BA, Ar surpassera le quarre du cote BF de deux fois le rectangle sous BA, AF (47. i ). LES DONNE~ES D'EUCLIDE. 4 I7 TO ABF rptyut'OV Myof PoQti; , ha. TO is sub BA, AA, et insuper ipsi bis sub BA , x.tti tri rf u ry; BAF Mais la raison du rectangle sous BA, AF au triangle ABF est doanee , a cause de Tangle donne BAF (66) ; la raison de deux fois le rectangle sous BA, AF au triangle ABF est done donaee. Qtie Tangle BAF soil aigu. Du point r menons a AB la perpendiculaire FA. Puisque le triangle ABF est acutaugle, et qti'on a mene la perpendiculaire FA , la somme des quarres des droites BA, AF egale le quarre de BF plus deux fois le rec- tangle sous BA, AA ( iS. 2 ). Ajoutons de part et d'aulre le double rectangle sous BA, AF; la somme des quarres des droites BA, AF, plus deux fois le rectangle sous EA, AF, c'esi-a-dire le quarre de la somme des droites BA, AF egale le quarre de BF, plus deux fois le rectangle sous BA, AA, et encore deux fois le rectangle sous BA, AF (4. 2), c'est-a-dire, plus deux fois le rectangle sous la somme des droites TA ; AA et sous BA (2. 2); le quarre de la somme des droites BA ; AF surpasse done III. 53 418 ytavtct, O.TTO T>if BT, Ty J}( VTTO ffuvafjiipoTzpov TC AAF, Kcti r>i; BA. Kcti tTTii Milffat. lV AFA \ iif' apo. leri Tf AA Trpcs Ttiv AF >$ AB vrpcs TO IITTO TW BA, AF hoyo; s/nt TOV >' BA, AF hoycs I''>? ItTTt fo(>fi( } (Tofis?- ffctv iti'ctl TMf U7ro BAF yuvi&V* r.O-l ToS cTlj apa. JTTO fui'd/jLipCTzpcv THJ AAF XAI TVS AB" w^c/f TO ABF Tfiywvw hoycf SOT/ .e?a UTTO BAF, xai tuGi- CA9s/(rf Tile BA ITT} TO E' 2 , II'^M ITT ctvTtlv 0.710 ToC F' 3 ;:afl;TO? IE, xai x.ii TiTAE IITH AZ. ETTS/ olv a^aCAj/a ttrrtv H VTTO BAF yuria, not xa.f>iT&e HZTO.I H FE- Ta apa O.TIO TUV BA , AF H'.TOL TOW (Tff l/TTO TUV BA , AE , LES DONNEES D'EUCLIDE. majus est quain ipsum ex BT ipso bis sub utraque simul AAT, et ipsa BA. Et quoniam datus est BATangulus, est autcm et AAF angulus datus; et reliquus igitur AFA est datus; datura est igitur AAr triangulum specie; ratio igitur est ipsius AA ad AT data ; quare el utrius- que simul AAF ad AT ratio est data; et ipsius sub utraque simul AAT et ipsa AB ad ipsum sub BA , AT ratio est data; et ipsius bis sub utraque simul AAT et ipsa BA ad ipsum sub BA , AT ratio esl data. Ipsius autcm sub BA , AT ad ABT triangulum ratio est data; prop- terca quod datus est BAT angulus; et ipsius bis igilur sub utraque simul AAT et ipsa AB ad ABr tnangulurn ratio est data. At vcro sit oblusus angulus BAT , ct products BA ad E, ducatur a punclo r ad ilhim pcrpcn- dicularis TE, et ponatur ipsi AE scqualis AZ. Quoniam igilur obtusus csl BAT angulus , et pcr- pendicularis dticta est ipsa TE ; ipsa igilur ex ipsis BA , AT cum ipso bis sub BA , AE, hoc est, ipso le quarrcde BF de deux fois le rectangle sous la sorame des droites AA, Ar ct sous BA. Mais Tangle BAF est donne, et Tangle AAF est aussi donne j Tangle restant AFA est done donne (3a. i ) (4); le triangle AAF est done donne d'espece (4)> la raison de AA a Ar esl done donnee; la raison de la sorame des droites AA. AF a AT est done donnee (6); la raison du rectangle sous la somme des droites AA, Ar et sous AB au rectangle sous BA, Ar esl done donuee (i. 6); la raison de deux fois le rectangle sous la somme des droites AA, AT et sous AB au rectangle sous BA, AF est done donnee. Mais la raison du rectangle sous BA, AF au triangle ABF est donuee (GG), a cause que Tangle BAF est donne; la raison de deux fois le rectangle sous la somme des droites AA, AF el sous AB an triangle ABF est done donuee (8). infill que Tangle BAF soil obtus. Prolongeons la droite BA. Du point r, menons- Ini la perpendiculaire FE, et faisons AZ egal a AE. Puisque Tangle BAF est obtus, et qu'on a mene la perpendiculaire FE , la somme des quarres des droites BA, AF avec deux fois le rectangle sous BA, AE ; c'est-a-dire deux fois le rectangle sous LES DONNEES D'EUCLIDE. bis sub BA , AZ aequalia sunt ipsi ex BF. Com- mune addatur ipsum bis sub BA , AF ipsa igitur ex BA , AF cum ipso bis sub BA , AF, hoc est ipsum ex utraque simul BAF cum ipso bis sub BA , AZ , aqualia sunt ipsi ex BF cum ipso TOU ; BA , AF, TOVTITTI TO ant a/j.qiCT*ficu ri BAF /mtrei TOU ?TO TEA KO.I hoiTrn ap& UTTO AFE apa. TO AFE vpiyavor -r> >7f FA Trpof TMr AE >o>oj am fo&iif TCtl apa. IITTO T>V Ar, AB Trpos TO VTTO TWC rZ, AB Ao'>o? I 1<> angulorum AAr , AFA ; datus igitur est 'tfTiv tKctT'tpa. TUV VTTO AAr, ArA- K*i AO/TT.I afet Jerque angulorum AAF , ArA; et reliquus U7ri> 2 AAf h&tl l tangle sous Er, AB est donnee (16) ; la raison du rectangle sous Ar, AB, an rec- langle sous rz, AB est done donnee (8). Mais la raison du rectangle sous Ar, AB au triangle ABr est donnee (GO); la raison de deux fois le rectangle sons rz , AB an triangle ABr est done donnee (8). Mais deux fois le rectangle sons rz, AB est ce dont le quarre de la somme des droites BAr surpasse le quarre de BF; la raison de la surface dont le quarre de la somme des droites BA, Ar surpasse le quarre de BF au triangle ABr est done donnee. A U T R E M E N T. Prolongeons BAVCJS A; faisons AA egal a TA, et joignons Ar. Pnisque Tangle BAr est donne, et que chacun des angles Air, ArA est sa moitie (5) ( 32. i ), chacun des angles AAr ; ArA sera donne; 1'ungie restant AAr est done donne LES DOIVNEES D'EUCLIDE. 421 rpijuvev TU fj'JW' *iyc( apx. TJ AF wpo'f TP AFA triangulum specie; ratio igitur ipsius AT FA foBtlf. K<*< twti construatur angulo AAr aequalis uterque Kai iVe? Tim SOTIX 11 JTTO BAF TM JTTO AEF, angulorum AEF , AZF. Et quoniam aequalis est xoirti Si t/77o BE TOU ABE rpiyui'ou oZra. angulus BAT angulo AEr, communis autem ipsc xtti -TOU ABF- Ao/w ap w J^-o BAE XflWM T ABE triangulo ABE existens et triangulo ABF; tl BFA tffT/V iffti i* ie-oytai'icy if a. \il a AF ; le rectangle sous EF, FB avec le quarre de BF, est done egal au quarre de la somme des droites BA , AF ; le quarre de la somme des droites BA, AF surpasse done le quarre de BF du rectangle sous BF, FE. Je dis aussi que la raison du rectangle sous BF ; FE au triangle ABF est doimee. 422 LES DONNEES D'EUCLIDE. it ii7ro BAE^w/aTw uTroBFA, &>y 10 H UTS AAF Ty aequalis cst BAE angulus angulo BFA, quorum >pse AAF ipsi ATA est asqualis ; reliquus igitur reliquo AFB cst a?qualis. Est autcm et ipsi AZF aequalis ; reliquus igitur FAZ reliquo ATE est aequalis; cequiangulum igitur est AZF triangulum triangulo AEF ; est igitur ut VTTO AFA sa-TJc" iffti' AO/TTII TyvTro AFB :9T<|' JVjf. Ear/ > AF Trof TMv 12 TE* xa) A ad AZ ita AF ad TE ; et permutando igitur apa w? TA Trpos TC FA ot/T&if AZ ut TA ad TA ita AZ ad FE. Ratio autem ipsius THV TE. Aojct Si T?f AF Trpo? THC FA (To- AF ad FA data; ratio igilur et ipsius AZ ad /?. H^fla ut lj T>i( AZ rev A. ITT} TMV BF AH. Ka* 77e< !f 5 est autem et angulus AHZ dalus; et reliquus igitur HAZ datus cst; datum est igitur AHZ triangulum specie; ratio igitur et ipsius ZA ad AH data. Ipsius autem ZA ad FE ratio cst data ; et ipsius AH igitur ad FE ratio est data ; quare et ipsius sub AH , BF ad ipsum sub BE , Kcti ret/ 1 -'* jjjro rwr AH 3 BF 7rp:j TO Car puisque Tangle BAE est cgal a Tangle BFA , et que Tangle AAF est egal h Tangle AFA, Tangle restant FAE est egal a Tangle restant AFB. Mais Tangle AEF estegal ii 1'angle AZF; Tangle res Unit FAzestdonc egal a Tangle reslant AFE(52. i); le triangle AZF est done equiangle avec le triangle AEF ; FA est done a AZ comme AF est a FE ( ^. 6 ); done , par permutation , FA est a FA comme AZ est a FE. Mais la raison de AF a FA est donnee ; la raison de A7. a FE est done donnee. Du point A menons stir BF la perpendiculaire AH. Puisque Tangle AZF est donne, et que Tangle AKZ est aussi donne, Tangle resiaut HAZ sera donne; le triangle AHZ est done donne d'espece (4) 5 ^ a I'aison de ZA a AH est done donnee. Mais la raison de ZA a TE est donuee; la raisoii de AH a FE est done donnee (8); la raisou du LES DONNEES D'EUCLIDE. UTTO TWC BF, TE hoyos EITTI MiU. Tou c? lP BT, TE Trpo? TO igitur sub BF , FE ad ABF triangulum ratio ABr Tftyuvov AC'T-CJ < f^u^ov lirri TO a.7rl 7f BAr TOU UTTO Tt< BA- y p* ptfov i P sum ex BA 5 l l uo ' ilur ma j us cst ip sum ex ear/ TC ctTro eurctiJLQOTipGv T?? BAr TC a.7ro Br , s5?:'0 TO yucicv Trfoe TO ABr lC utraque simul BAT quam ipsum ex Br, illud spa- tium ad ABF triangulum rationem habet datam. PROPOSITIO LXVIII. EO.V o$ fjilttv TrXwpv Xsycv rhtupx wpof Ttiv tl S'lS'tfJLWCV. AtJo 7 ap }'i 2 unum latus rationem babeat datam j et reliquum TrAeupav hcyov latus ad reliquum latus rationem liabebit datam. TO. AB, Duo cnim jeququiangula parallelogramma AB s%tru TA inter se rationem babeant datam , habeat ^ a raison du rectangle sous fir, TE au triangle ABF est done donnee. Mais le rectangle sous Br , TE est ce dont le qnarre de la somme des droites BA, Ar surpasse le quarre de BA ; la surface dont le quarre de la somme des droites BA, Ar surpasse le quarre de Br, a done une raisoii donnee avec le triangle ABr. PROPOSITION LXVIII. Si deux parallelogrammes equiangles ont entre eux une raison donnee, et si un tote a une raisou donnee avec uu cote, le cote res tan t aura une raison donnee avec le cote restant. Que les deux parallelogrammes cquianglcs AB, PA ayent entre eux une raison donuee, qu'un cote ait uue vaisoa doiiuee avec 1111 coie ; c'est-a-dire, que la 424 LES DONNEES D'EUCLIDE. -, x&i ifru Tf BE Trpof TC ZA Xo>o; datam , et sit ipsius BE ad ZA ratio data ; 1 Ai'j-w OT< Ketl T>if AE TTfiof Ttic ZF Aoj/of dico et ipsius AE ad zr rationem csse datam. ea-T/ iTofle/V. A K AB 3/ap Trapa THC EB TW FA nt To EH vafeth^Mho'} pa,/ufjit>v3 f K( xtia&a &>; EB wpc? T;C ZA ouTwf TZ Trpof Tf E. Ao'j-of .c^/of 6gtur et ipsius K ad A data. Data fcBtif. Ac&iT B' TO ipsum A igitur ad B ralionem liabet compo- A apa4 wpc; TO B Ao'^oc "ty^it TOV 'hiyw tv habct TA ad EZ et @r ad HE. At vero ct A U T R E M E N T. Soil K une droite donnee. Puisque la raison de A a B est donnee, faisons en- &orte qtie la raison deK a A soit la nieme que celle-ci. Mais la raison de A a B est donnee; la raison de K-a A est done donnee. Mais K est donnc; done A est donne (2). De plus , puisque la raison de FA a Z est donnee , faisons ensorte que la raison de K a M soit la meme que celle-ci ; la raison de K a M seia donnee. Mais K est donne ; la droite M est done donnee aussi. Mais A est donne ; la raison de A a M est done donnee (i). Mais les parallel ograrames A , B sont equiangles ; le panillelogramme A a done avec B une raison composes des cotes, c'est-a-dire, de la raison que FA a avec EZ ? et de la raison que er a avec HE ( 25. 6). Mais 111. 54 LESDONNEES D'EUCLIDE. fj.iv nan K vrpof THI/ A Xoyov t%ii TGV K ad A rationem habet compositam et ex ra- rvyxttfJiivov tn TI TO? Ac'^cu ov \yii n K wpoc tione quam habet K ad M et ex ipsa quam iiic M x< Ix T6u ov t%tfi i) M srpdf TIJII A* o liabet M ad A ; ergo composita ratio et ex ra- apct wyKfifjuftif ^oyof IK. ri TOU hoyoul ov \~xjti ^tione quam babet rA ad EZ, et F ad HE , TA -jrpof TBC EZ x) 0r wpoj TYIV HE o eadem est cum composita ex ipsa quam habet car/ ry ffuyxtifjiipu tx -rcu^ oc e^e/ H K K ad M , et M ad A. Quarum ratio ipsias rjv M no.} M Trpof Ttiv A. Oy o Tit? TA TA ad EZ eadem est cum ratione ipsius K ad M; ivv EZ Ao'j-Of o a.uro{ lirri r rf K 57po? rcliqua igitur ipsius 0r ad HE ratio eadem est M AC^OJ' Afl/7roj apa o Tf r Trpof TM HE cum ratione ipsius M ad A. Ipsius autern M o9 aoTc'f 6OTA2I2 w' xa< H AO/TTH A07-OC Ifs Auo Ta? ^ru wpo; TMC Ta AB , EH ai/TJT enfjiiiu ra A, TM UTTO EZH yuvia, i'm UTTO BAK } KB* rujW7rs77^iipw Z4, xa Ao'j-of j^rri TOU AA wpof TO Z tTofls)?, xa< to-T< Tf AB TV ZH Xoj-of -&)t''Oi' TO TA T^J Z0'l. Keti Tntpx- i:' TB tuSt'tctv rw 7.Q TrapaA- /x/^toi' TO TM , xat )6;V6< &)5"TS W tufitia.; th'ai TXC AF T TN' >gitur ad EZ ratio est data. PROPOSIT1O LXX. Si duorum parallelogrammorum circa a:qualej angulos , ant circa iuaequales quidem , datos au- tem latera inter se rationem habeant datarn : et ilia parallelogramma inter se ratiouem babe-- bunt datam. Duorum enirn parallelogrammorum AB , EH circa xquales angulos ad puncta r, Z , vcl circa inaequalcs quidem , datos autem, latera iuter se rationem habeant datam , boe est ratio sit ipsius quidem AT ad EZ data , ipsius autem TB ad ,ZH ; dico et ipsius TA ad Z0 rationem esse datam. Sit enim a?quiangulum TA ipsi Z0. Et applice- tur ad TB reclam parallelograiiimo Z0 a'quale parallelogrammum TM , el ponatur ita ut in di- rectum sit AF ipsi TN; et AB igitur iu directum a EZ est done donnee (68). Mais la raison de AK a AA est donnee; la raison de AA & EZ est done doiiuee (8). PROPOSITION LXX. Sijes cotes de deux parallelogrammes autour d'angles egaux, ou autour d'angles incgaux, mais donnes, ont entre eux uue raison donuee ; ces parallelogrammes auront enlre eux une raison donnee. Que les cotes des deux parallelogrammes AB , EH, autour des angles egaux r, z, ou autour d'angles inegaux , mais doones, ayent entre eux une raison clonnee , c'est-a-dire, qne la raison de AF a EZ suit dounee, ainsi que celle de IB a ZH ; je dis que la raison de FA a ze est donnee. Car que FA soit cquiangle avec z@. Appliquons a la droite FB le parallelogramme FM egal an parallelogramme z ( 46. i ), et qu'il soit place de maniere que AF LES DONNE"ES D'EUCLIDE. 429 *) AB'ap* s?r euflwaf sari THBM.ETTS) o3i< 6 Voi' est ipsi BM. Quoniam igitur sequale est B0 icr] TO B@ T&> ZN, sari ) tftyuviot TO AB TW EH. Ka/ /rpof TJT BF fu&iict, xcti TU w TU r, T BTK, xa/ EZH yuvta en yw/ta. v. Kail tnii fcfttlffy. iirnv ytafia.., I?T} Tangle 43o LES DONNEES D'EUCLIDE. Ps xttt VTTO FAK {ToSs^a* ax] AO/TTW ap* TAK datus; ct rcliquus jgitur AKr est datus j AKr ear; JbSsiir* 11 ' JeVWeei apTo AFK Tp/- datum cst igilur AFK triangulum specie ; ratio T ei'ife;' Ao'j-o? a'pat Ifri THJ AF srpof TC igitur est ipsius AT ad FK data. Ipsius autcra /?. Tf 8f 'KTT) Ar ad EZ ratio est data; et ipsius TK igitur ad EZ K FK *! Tj TK apc 9rpof TC EZ Aoj/oj eirr* ratio est data. Est autem et ipsius T3 ad ZH ratio AAaf Xoyov inacquales quidem, datos autem, latera inter Mo/J.ivov , no.} "tfTK Ac'^of TC pit EA. se raliouem habcant datam, et sit ratio ipsius EA v , WTO< JVstf yuvias.*; Troioveai , nrci 1 avi- fj.iv J'if'cjuivct; ft , TO.; wpof Aoj/oc ; TO. ABF, AEZ , x) ^9a- a/ AH, A0 itTOi JVaf yuvia-S votcvircti ret; TWV AHF, AZ, j *rlfeusfMV, fi~o[M E^TW Acj-Of T? ^MC Br 77-pO THC EZ J^s AH Trpof TC A^ i' TUY AB, EH, Trif] !V? yui/ict(, H Trip} ivisovs [Atv, ftfoniva.; 7 B. ov , T>7f S~z AF Vflf TC FA tal)et datam, ipsius vero AF ad FA ratio cst xo.} Ao/77H afct it UTTO AFA SS-T/ /'i K< U7?l FAA' xcti AO et la raisou 436 LES'DONNEES D'EUCLIDE. Irri Mtk' tffnv apa. a; u FB vpos TJJI/ data; est igitur ut TB ad 2H ita ZE ad quam ZH cuTUf t\ ZE -Tipog tiv AF Xtyw 6%e; ftfe- ipsa AT rationem habet datam. Et est aqualis /*s'w jo . Kai tSTiv *V>| JTTO BFA ^Wf/* T uwo pse BFA angulus ipsi EZH; ratio igitur paral- EZH- AoVo? p* TOU FM wapaXXnAo^pa/x/xou 11 lelogrammi TM ad EH parallelogrammum data; '; TO EH 77 ap AB TU EH HTO/ tfoyunov IfTiv Ipsum enim AB ipsi EH vel seqtiiangulum est cv. EITT&) irpcTtpav ifoyanof. Ksu wapaCsCAw's-flw vel non. Sit primum ajquiangulum. Et appli- Tr FB w$ua.v TW EH 7rcc.fa.XXKo- cetur ad TB rectam parallelogrammo EH aequale TO F0 , y.a parallelogrammum r , ct ponatur ita ut '- ! n 2 H ZTt ITT tu8*ia$ tircti rtiv AF Tit FK* VTT fo. \ 11 TB rrpl; THV 2H d^Ta; EZ Trpif TM IK. TK? c*V /V n UTTO AFB, xee ea r , angulo EZH sequalis ipse ArB . et complca- TC FM Trctpzhtohoypcipfj.oy 5 . tur parallelogrammum TM. Quoniam igitur E?re/ o f\ TO TA TW TM TO EH To6sK. K/ si EZH EH 'pa w? i) TB Trpc? ^pc? HV H 8 AF ' TA TTpcf TV FA it FB wpof THC ZH l/rr] Tot/FA 7rpo?ToEH5 jj rou tTet/Tspou crAsupa Trpcc JIP ;i XOITTH TOW ABT, AEZ A, .} 7i'/a; , J'I'TC; /'tret;, i cf is-n TBU AET rpiyutou Et quoniam ratio est trianguli ABF ad AEZ TO AEZ Tfnywov'l ScBiif' * r 'yoc a-po. xa} triangulum data; ratio igitur et parallelogram- PROPOSITION LXXV. Si deux triangles places dans des angles egaux, ou inegaux mais cependant doinies, ont entre etix une raison dotmee, un cote du premier sera a un cote du second comme un atitre cote du second est a la droite avec laquelle le cote rcstnnt du premier a la raison donne'e. Solent les deux triangles ABF, AEZ, ayant entre eux une raison donnee, que les angles en A et A soient egaux ou inegaux, mais cependant donues; je dis que AB est a AE comme AZ est a la droite avec laquelle Ara la raison donnee. Car achevons les paralielogrammes AH, Ae. Puisque la raison du triangle ABF au triangle AEZ est douuee ; la raison du parallelogramme AH au parallelogramme Ae 44o TOV AH TO. AH, A ftfo/ntvov , TO/ lc JW/f LES DONNEES D'EUCLIDE. mi AH ad A parallelogrammum data. Quoniarn. igitur duo parallelogramma AH , A inter se ra- tionem habent datam , vel in zequalibus angulis, vel in inaequalibus , datis autem ; est igilur ut irpos TO A 710.- 'f. Ewe) owe cTJo yu.tr, TW AE CUTWJ S~k* \nt\v apa, u( >i AB AB ad AE ita AZ ad cjuam ipsa AT rationem AZ HC AF HPOTASIS 05-'. habet datam. PROPOSITIO LXXVI. faS"ofjt.li>t>u TU t'lfei O.TTO T%( Si a trianguli specie dati vertice ad basim j In} TM /3V/f KaS-erof %67, %- perpendicularis ducatur , ducta ad basim ra- e/ 1 (TstTojasi'Of. tionem habet datam. T e/'/'s/ TO ABF 3 } Sit triangulum datum specie AEr, et ducatup e/a'a Trpif THV @d rfiyuvw A T ^5w O.TTO TOV A ew) TC BF Ka^TC? AA - 6Ti hoyo; tsr} TS AA wpoj TC BF a puncto A ad Br perpendicularis AA ; dico rationem esse ipsius AA ad Br datarn. est donuee (41. i). Eipuisque les deux parallelogrammes AH, A0, places dans des angles egaux, ou inegaux mais cepeudant donnt's, ont entre eux une raison donnee, la droite AB sera a la droite AE comme AZ est a la droite avec laquelle Ar a la raison dounee ( 74 ) PROPOSITION LXXVI. Si du sommet d'un triangle donne d'espece on mcne une perpendiculaire a la base, la droite menee aura une raison donnee avec la base. Soit ABF mi triangle donne d'espece, et du point A menons a Br la perpendi- culaire AA; je dis que la raison de AA a Br est donuee. LES DONNEES D'EUCLIDE. 44! Ewei yap ttyiypa,VT*i a. %TU%tv figure descriptao sunt quaelibet datae specie ABP, T$ ti'fft TO, ABF, BH' TO BH aftt. TOW BHj ratio igilur ipsius ABr ad BH data. Prop. n. A E H e uc xtti TO? AEZ wpof TO E0 hlytf sari (Toflu'f. ETTSI ter eadem utiqne rarsus et ipsins AEZ ad E0 lo-T) TO? ABF Trp&f TO AEZ 5 oj IS-TI BH ratio est data , ipsius autem AEZ ad E0 if Kcti TOV BH apes ?rpof TO E0 Ao'^Of tfl-T/ ratio est data ; et ipsius BH igitur ad E0 ratio u heyoe rvf lum TA rationem habeat datam , et sit ratio ZB 77-f of TWP EA foStif hsyu In iifot*i TO FA ipsius ZB ad EA data j dico datum esse FA T e;' yap O.TTO TH? ZB TtTpayutvov To ZH, xtti wapasA>ir6&> Trttpa. Tttv EA TW ZH i xapa^itXcypct/jifjiov TO EK, xaj CTT tuQtlae thai THV TE T E* ssr' wQiicts up* Ktt] v MA TM AK. Ka; ivu O.TTO Tf TM? ZB fuo tb&uypstfjLfj.a, a. iTV%tv . T> tihi Ki>ayiypa.7neii TO, AZB, ZH' etpct 65T TOU AZB Trpo; TO ZH cTofls/f. Tou cTj AZB TO TA Ao'^-Oi lV B, Z xa'flsTfl/ CM BA, ZK , se>w or/ ad BA ita H ad ZK ; dico aequiangulum. esse i/roydinov \ }*p wsp) TC 0ZH ou i^fjict i H >li&'.'ia., xa.} T&> zrpof auT)7 fHfJHffy 0, T W5TO TAB yuvlf 'iffH V7TO HA, XO.I ITTi- twybuxruv a.1 ZA , AH , KOLI w'^Sa xafliToj H AM. Ka< ITS* Jen jffTiv 11 t/770 HZQ yuria TM UTO AH , Iv ya.f ru aura tifi ffjulfjutri rou zvxhcVf *i wo A0H T l-nl BAF i'yii' xa< AO/TH apa usroAH T JTTO BFA ltr-r}v iff 3 ' c^uo/cv apa sTTC ZQH tirr/i 1 iV* Ifoytarior apa eo"T/ TO ABF rfl T

Eaf Tfuyetrcr p.nt\< i^y IUMO.V ftfbjAtnir , no.} TO VTTO "rSi/ 1 TC S*tS~c[j.'iVV\v ytovictv v'' 7/pof TO awo Ttif uivov Xoyov \yv fwofMVOt' *;fo- T AT TTfOf TO Si triangulum unum liabeat angulum datum, Ct rectangulum sub lateribus datum angulum compreliendcntibus ad quadratum ex reliquo latere rationcm liabeat dalamj datum est triaa- guliim specie. St triangulum ABT datum babens angulum ad A , et ipsum sub BA , Ar ad ipsum ex BF comrae H est h ZK, par supposition ; H est done a AM comme H est a ZK ; ZK est done egal a AM (9. 5). Mais ZK est par.dlele a AM (28. i); ZA est done parallele a H (53. i) ; Tangle ZA est done egal ii 1'angle AH (29. i). Mais Tangle A0H est egal a Tangle BAF, et Tangle ZA est egal a Tangle ZH(2i. 3); Tangle BAT est done egal a Tangle ZH. Mais Tangle ABF est egal a 1'angle ZH; Tangle res- tant BFA est done egal a Tangle restant ZH ( 3a. i equiangle avec le triangle Z@H. le triangle ABr est done PROPOSITION LXXX. Si un triangle a un angle donr.e , et si le rectangle sous les droites qui com- prenent Tangle donne a une raison donnee avec le quarre du cote restant, le triangle est donne d'espece. Soil le triangle ABr ayant un angle donne en A; que le rectangle sous BA, Ar LES DONN2ES D'EUCLIDE. THC BF hoyw t^e'rw ftfepinr* A TO ABr Tfiyuvov iS> ttfti. 7/a* VTO TWC A, B ITT} rag BF, FA OTI rationem habcat datam; dico datum esse ABr triangulum specie. Ducantur enim a punctis A , B ad ipsas / AE , BA. Evt} or pse AAB dalus ; datum est igitur AAB trian- K apa. la-r riff AB vpt( Tt.c BA hbiit;' uxfrt no.} TCU UTTS TUV BA, Ar, Trpcf n JTTO TC*Y AF, BA Xo'j/of fT fcB-i!;. T 7TG Tar BF, AE, iK.a.7ipot> j-ap awTay />- vrhdnov IffTf TCV ABF rp/7-wi'cu' Ao'^sj apa xa.} TOU into -TUV BA, AF Trps? TO vcro TWC BF, AE f'sBtif* Tcu >c>oj tor} PoStlS" KOI rev UTTO Tuv BF, /H TO O.TTQ Tf BF BF THV AE ?-.-/ earl roil H TM ZH Trpo? o HK' (iiftt apt*. Ivrtv a HK. Ka) -TrnrotMu ug y H ipsi ZH ad rectos ipsa HK; positione igitur Br Ttflf ftiv AE oi;T&!j ZH Trptf THV HK. Ao- 7/ef ft T>7f BT Trpof THC AE (Tofle/c' Ao>0f apa xa< Tiiff ZH wpof THC HK w? BF Trpcf THC AE tvru; ZH wp&f TMV HK, irti fi n HK TJf A@* tor/p apa &>f BF Trpaf THy AE cintaf ZH Trpoj Tav A. Ka; eT/c /V t/wo BAr yuvin. T IIKO Z&H' iffcycaviov apst. ttm TO ABT Tptyetrot T> ZH rptyuvu. AtJWa/ (Ts TO Z0H riui'ov T&> s;l AF Tpef TO O.TTO T;7f FB 2 Miif h=ya> c-ri fifo- TO.I TC. ABF rpiyuvoy -rip* il'fii. E/T6/ O'^P OOu^lCcl ;0"T/C H JjTfO BAF *ytdl't& GC cif.a. p.^iv len TO avL fui-a^Kfcripau Tf BAF igitur majus est ipsum ex utraque simul BAT fi BF, iKiTro TO %upior npof TO ABF quam ipsum ex BF , illud spatium ad ABT trian- ti fifc/Lttvcr. fl 7f BAF TOU i-irl TMf BF, majus ipsum ex utraque simul BAT quam ipsum ipstim e\ FB data; dico datum esse ABT trian- gulum specie. Quoniam enim datus cst BAT angulus; quo chacim des points z, H; chacune des droites z, ZH, H est done donnce de position et de grandeur ( 26) ; le triangle ZH est done donne d'espece. Et puisque Br est k AE comrae ZH est a HK , et que HK est egal a A ( 34. i ) ; la droite Br est a AE comrae ZH est a A. Mais Tangle BAF est egal a Tangle" Z0H; le triangle ABr est done equiangle avec le triangle ZH (79). Mais le triangle zH est donne d'espece; le triangle ABF est done donne d'espece. AUTREMENT. Soil le triangle ABrayant Tangle A donne, que la raison du rectangle sous BAr au qnarre de TB soil donnee ; je dis que le triangle ABF est donne d'espere. Car puisqne Fangle BAF est donne, Tespace dout le rectangle sous BA, AF sur- passe le qnarre de EF a une raison donnee avec le triangle ABF (67). Soit A Tespace dout le rectangle sous BA , AF surpasse le quarre de BF ; la raison de Tespace III. 57 LES DONNEES D'EUCLIDE. TO A %uf>io" hoyot cifa. Iffrfi TOU A %wp/cw ex BT , sit A spatium ; ratio igitur cst spatii A TO ABF Tfiyuvov (Teflf/f. ToS ft ABF rpiyca- ad ABF triangulum data. Trianguli autem ABF Trpo? TO lirl tuv BA , Ar Ac>"f T< fo8ti$ f ad ipsum sub BA , AT ratio est data , quia datus TO 7? Br Ao^oj i( Br Ao'^oc9 ss'T* (To8 TO A %ufiov jutTa TOU 0.710 TH? BT TO ov TC BAr sfT/' Ac'^o? apct TOI/ iV THf BAF 57po? T* a77o TMf BF fo- KO.I fUia/UCpCTtllCU 7>K BAT TTpCf TO!' l?r Xo^c? e(TT< faftitf, K.O.I to"ri fo^-lffa. BAr yuvi'Jt,' SiPoroLt Afet TO ABf rfiyutoy sub EA , AT ratio cst data. Ipsius autcm sub BA , AT ad ipsum ex BF ratio est data; et ipsius A igitur ad ipsum ex BF ratio est data; et comptincndo igitur spatii A cum ipso ex BT ad ipsum ex BF ratio est data. Sed spatium A cum ipso ex BF cst ipsum ex utraque sirnul BAF; ratio igitur ipsius ex utraque simul BAF ad ipstim ex BF data ; quare et utriusque si- mul BAF ad BF ratio cst data. Et est datus BAF angulus ; datum est igilur ABF trianguluni specie. A au triangle ABr sera donnee. Mais la raison da triangle ABr au rectangle sous BA , AT csi donnee , a cause que Tangle BAF est donne ( G6 ) ; la raison de 1'espace A au rectangle sous BA, AF est done donnee (8). Mais la raison du rectangle sous BA, AF au quarre de BF esl donnee; la raison de 1'espace A au qnarre de BF est done donnee (8); done, par addition, la raison de 1'espace A avcc le quarre de BF au quarre de EF est donnee (6). Mais 1'espace A, avec le qnarre de BF, cst egal au qnarre de la somme des droites BA, AF; la raison du quarre de la somme ties droiles BAF au quarre de Br est done donnee ; la raison de la somme des droites KA, AF a BF est done donnee (54). Mais Tangle BAF est donne; le triangle ABF est douc donne d'espece (45). LES DONNE"ES D'EUCLIDE. 451 nPOTASIS sr. M Ao/TTH a ftfoftivor, f Tfis ii/ia.! , afe^ysv cvfoti -rpisv tu- att/cthoyov ovtrettf, TJ axpstf \ti t%uffif xett ret; //era? IK S'iS'c/j.ivta xtti leiv H Axfat. Trpoj Tar eLxfttv it * TMf Acj-u A Ae'^oj Titf Z A 02/0; TVf [M\V A Ttpos TMV A Quoniam enim ratio est ipsius quidem A Tiiif 6f p *v TSU CITTO T(tf B wpo? TO ipsum ex E ; ratio igitur est ipsius ex B ad T< E fodtic wore no} TV? B TT/JOJ TC E ipsum >x E data ; quare et ipsius B ad ipsam E rali CSt data< B k r 7. ... 9ei?p TH? !? r Ewe) 7-ap of THV E X THJ jwsi' A wpo? TDC A of Till' E ^cycfl (Tofie;; TC Z Aoj-of eirr) fso utf A wpof Tr A, T e(TT(^ J&fls/ T B afa. Sit aulem rursus ipsius quidem A ad A ratio data, ipsius autem B ad E ratio data ; dico et ip- sius r ad Z rationed esse daiam. Quoniamcnim ipsius qnidem A ad A, ipsius au tcm B ad E ratio cstdata; ratio igitur est ct ipsius ex B ad ipsum ex E data. Sod ipsi quidem ex v O.TTO VMS B /Voc la-r} TO uno rSv B acquale est ipsum sub A , r , ipsi aulem ex a.7To Tf E JVoc 'trr) TO VTTO TUV A, E a?quale est ipsum sub A, Z; raiio igitur est TO ipsius sub A , r ad ipsum sub A, Z dala. J^ Et iniius latcris A ad unum latus A ratio est dala. Et reliqui igitur r ad rcliquum. Z ratio est data. KCtl TO!J O.TTO TH( B AAAct TW fj.w A, r, TI 2* Ao'j-o? apa. VTTO iuv A ? Z l au quarre de E; la raisou du rectangle sous A, r au rectangle sous A, z est done donnee. Mais la raison d'un cole A a tin cote A est donnee; la raison du cdte rcstant r au cole resiant z est done aussi donnee (68). LES DONNE"ES D'EUCLIDE. 453 nPOTASIS 7T/3'. PROPOSITIO LXXXII. Eaiy -TttrfttfK w^ita.i ttvcihtyov uxrtv iffTtti a>t Tffo? riv w eTsim'pa hcyov i% H rp/TH Tffo; nv M TeTa'prM Ao^oc Si qualuor reetae proportionales sint ; erit ut prima ad quam sccunda rationcm habet datam , ita terlia ad quam quarta rationem habet datam. ; iii^la.1 ivaXtyw a.1 A, B, Sint quatuor recta? proportionales A, B , r, A, r, A, xaLt fffru 1 uf ii A Trpo; THV B GVTU; ti T et sit ut A ad B ita r ad A ; dico esse ut A THi' A* A7-ft) OT/ lirnv^ w; A Trplf v B ad quam B rationem habet datam, ita ipsam r s^s/ ftfojoLttov ov-rcce T vpcs tiv ti A A^sf ad quam A rationem habet datam. A- B- P a *' rriv u; fi A A , ! u; M B ^po? rv E oyrwf A datam ipsa E, et fiat ut B ad E ita A ad Z. flpc Tr Z. As>cf St T>7? B 5Tpoj Ttiv E (Tofls/c 1 Ratio autem ipsius B ad E data; ratio igitur ' A ?rpof THi' Z fo68/f. K) ct ipsius A ad Z data. Et quoniam est ut A of TV B cintat r wpo? TWC ad B ita r ad A , est autem et ut B ad E B wps? THP E oSrwf A ita A ad Z j ex aequo igitur est ut A ad E aftt IffTiv 3 (if A Trpof TC PROPOSITION LXXXII. Si quatre droites sont proportionnelles, la premiere sera a celle aveclaquelle la seconde a uue raison donnee , comme la troisierue est a celle avec laquelle la quatrieme a la raiscm donnee. SuientA, B,r, A quatre droites proportionnelles, c'est-a-dire, que A soil a B comme r est a A ; je dis que A est a celle avec laquelle B a une raisou donnee , comme r est a celle avec laquelle A a la raisou donnee. Car soit E la droite avec laquelle B a une raison donnee , et faisons en sorte que B soit a E comme A est a z ( 16. 6 ). Mais la raisou de B a E est donnee; la raison de A a z est done donnee. Mais A est a B comme r est a A , et B est a E comme A est a z; donc ; par egaliie, la droite A est a la droite E comme r 454 LES DONNE"ES D'EUCLIDE. E OT? r wpsf tvv Z.K) \' A pdf THP r CWTUJ H B rectae; dico ut A ad r ita B ad quam A rationcm habet datam. A- E- r. A TTfif TC B ei/Tc T Quoniam cnim est ut A ad B ita r ad E; cs Tr TO ap* JTTO TWC A, E JVoc soc ac \c~} Kelt TOW iwe rwr A ratio est igilur et ipsius sub A , A ad ipsum * I r*%ustriv ff tvri yuiviq., ft ETepa. TJK sTs'p aL ttUTUlV tern TB ipsa BA data major sit , dico datam esse utramque ipsarum AB , Br, TB "TH? BA ^fls/Vit yue/^aii' SITT) , Quoniam enim TB quam BA data major cst , AF' AO/TTW ap* AB TJ BA data sit AT; rcliqua igitur AB ipsi BA aequalis JVw IflT/. Kai' <7u/x7rs7rAjtpw TO AA 7rapaXA- cst. Et complealur AA parallclograrnmum. Et ^o'jpowtcf 3 . K( STT ?m sa-ri^ H AB Tit BA' A a- quoniam aequalis est AB ipsi BA; ratio igitur yes at* ITT} T( AB Trpof THV BA cf&Su'f. Ao- est ipsius AB ad BA. Data autem et ABA au- PROPOSITION LXXXIV. Si deux droites comprenent un espace donne dans ua angle donne , et si 1'une d'elles est plus grande que 1'autre d'une droite doriuee, chacune d'elles sera dounee. Que les deux droites AB, Br comprenent un espace donue AF dans un angle donne ABF, et que TB soil plus grand que BA d'une droite donuee; je dis que chacune des droites AB, Br est donnee. Car puisqueiB est plus grand que BA d'une droite donnee, que cette donnee soil Ar, le reste AB sera egal a BA ( def. 2 ). Achevons le parallelograuiine AA; puisque AB est egal a BA; la raison de AB aBA est dounee. Mais Tangle ABA est LES DONNE"ES D'EUCLIDE. /,5 7 ttiiex.fi xa.} JTTO ABA >wr/a' flfcnai apu. TO gulus ; datum est igitur ipsum AA specie. Quo- AA "rij> ei.hov tlfti //!&) ffl tifW4 Toi AA' S'tS'ora.t a. cipa. TO BA. Je xai AB ' iKctTipct. oipct T>V AB, DPOTASI2 sr. C OUO tl/Bi7cLI (ToSsC "sUp'lOV 7Tlpli%U Iv H'tl 7&)i'/t, H o jap :i^9s?a/ a/ AB , Br hblv TO AT 1 Iv fifcfttrri yaviq. TH t^ro niam igitur ipsum AT datum ad dalam Ar ap- plicalumest cxccdens figura AA data specie; dala cst igilur lalitudo excessus ; data igitur cst BA. Sed et ipsa Ar ; et lota igilur Br data csl. Est autcm ct AB dala. Utraque igitur ipsarum AB, BT data cst, PROPOSITIO LXXXV. Si dua? reels datum spalium compreliendant in dato angulo, sit autcm simul utraque data; ct utraque ipsarum erit data. Duae enim recta; AB , Br datum spatium comprebendant AT in dato angulo ABr, el sit ABr, xa.} iirru OTI Kit ABF TUV AB, BF ten} utraque simul ABT data; dico et utramque ip- sarum AB, Br csse dalam. donne; AA est done donnc d'espece. Et puisqn'a la droilc donnce Ar on a applique J'espace donne AT, excedant d'une figure donnce d'espece, la largcur de 1'exces est donnee (69) ; BA cst done doune. Mais Arest donnc aussi; la droite entiereBr est done donnee. Mais AB est donne (3) ; chacune dcs droites AB , Br est done dounee. PROPOSITION LXXXV. Si dcnx droilcs comprenent un espace donne, dans tin angle donne , et si leur somme est donnee, chacune d'clles sera donnee. Que les deux droites AB, Br comprenenl nn espace donnc Ar, dans un angle donne ABF, etquc la somme des droites A.B, Br soil dounee; je dis qne cbacune des droites AB , Br est donnee. HI. 58 458 LES DONNEES D'EUCLIDE. A/tj'xflw >*p TB ITT i TO A , no.} jiuVflw Tt)' Producatur enim TB ad punctum A , dt AB inn t) BA , KO.} Pia.-rc,u A TH BA TrapaAAitAo; ponatur ipsi AB aequalis BA , et per punctum w%9&) 11 AE, xai wpTriTrXitpuHrQia TO AA. Kct< A ipsi BA parallela ducatur AE, ct complea- iTrtl Urn \t-riv AB T? BA, xciitFTi MiTa-a. n tur A A. Et quoniam aequalis est AB ipsi BA, VTTO ABA ^wi'/a , ewsi no} l$i%%( ttu-ffi M-^sa. et cst datus'ABA angulus , quia et qui est dein- fiftTAI a.fjt TO EB TO> tifii. Ka< ITTSI iTc- ceps ipsi datus est; datum est igilur ipsum EB It7'p TO O.TTO TiTf AB TOU U.TTO Tf BF, Quoniam enim ipsum ex AB quam ipsum (, (JLuQ,v IFTIV , apwpx'irfi&t TO tTofl'i', xa.\ ex BT , dato , majus est , auferatur datum. , TO IITTO TUV AB, BA' XOITTCV afo. TO ^77o e ^ sit ipsum sub AB , BA reliquum igitur sub BA, AA rrci' tfr] Ta 5 a-,7c r? BF. Ka/ tTrsJ BA > ^ A asquale est ipsi ex Br. Et quoniara TO Jwd %wf AB, BF, esri ,o>of pa Tf AB wpof TJii-7 BF (ToflsiV Ao'?o? afct TOU T6- ^B data j ratio igilur ipsius quater sub BA , TfXKts LTTO tuv BA, AA 12 p.nei rou ami vs AA cum ipso ex AB ad ipsum ex BA data. AB TTfO; TO 0.7T3 T>7f BA' 3 (TofliK. vrro TWC BA , AA (Mro, TOU O.TTU TH; BA Scd ipsum quater sub BA , A A cum ipso or/ TO 77o Ti7; BA, AA'- 5 ' Ao'^/of ex BA est ipsum ex utraque simul BA , AA; arepsu TM ; BA , AA ratio igitur et ipsius ex utraque simul BA , o TJjf AB iTcfli/s' A 07-6 f a'pa K*I o? apa xa* TCW ex AB ad ipsuoi sub AB ,, BA ratio igitur el OO;TO Tac AB , BA r8u> producatur TA ad punclum 0; et compleatur TO BA0A IpBoyutw JVof S.pa.\.nfuc$u TO AZ IpQcyutior. ponatur ipsi Br xqualis BZ, et compleatur AZ E?ni our jTtflf/*-* MTv iw9ABr>wn'*, i/Troxinati rectangulum. Quoniam igitur datus est ABFan- AB a BA est donnee, et AB est a BA corame le quarre cle AB est au rectangle sous AB, BA (i. 6); la raison du quarre de AB au rectangle sous AB , BA est done donnee. Mais le rectangle sous AB , BA est donne , car c'est ainsi qn'ou a retranche Tespace donue (2); le quarre de AB est done donne; la droite AB est done donnee. Mais la raisou de AB a EF est donnee ; la droite BF est done donnee. L E M M E. L'angle ABT etant suppose obtns, comment le rectangle sous AB, Brest-il donne? Du point B raenons la perpendiculaire BA , et prolougeons FA vers^ ; achevons le rectangle BAGA j le rectangle AA sera egal a AF. Prolongeons AB vers Z; faisons BZ egal a BF ; et achevons le rectangle AZ. Puisque Tangle ABF est donne, par supposi- \ 462 LES DONNEES D'EUCLIDE. o. W T ' *' sKetTs'pa T&>K in ratione; dico et utramque ipsarum AB , Br AB, BF ier] pso ex BA est ipsum ex titraque simul BF , FA ratio igitur est ct ipsius ex utraque simul BF, FA, ad ipsum ex BA data; quarc ct utriusque simul BF , FA ad BA ratio est data ; ct corn* Tf BF, FA irfos TV BA tiyef tirr} PC- ponendo igitur ipsarum BF , FA ct ipsius BA ^ i WfQitTt aipct TMV BF, FA x TM; BA , Br, FA TO etTTo euva/MpoTipou tint TJ Br, FA* apa ITT< *a< Toy ctwo e-i/fa/^poTJpou TH? EF, TA Tro? TO 7ro TW? BA Aa.^!inn>Fct. PROPOSITIO LXXXVIIL \ 7 Si in circulum datum magnitudine recta li- lC- nea ducta fuerit , auferens segmentum quod T&i capiat augulum datum , data est ducta magni- tudine. roc In circulum enim datum magnitudine ABF TO ducta fuerit ipsa AF auferens segmentum AEF AEF fi juv>3.v AEF 2 tdyu on quod capiat angulum AET datum ; dico AT 4r datam esse maguitudine. le quarre de BA est done donne (2) ; la droite BA est done donnee, et par conse- quent la droite BF est donnee (2), car la raison de Br a BA est donnee ; mais BA est donne; la droite AF est done donnee', et Tangle ABF est anssi donne; la droite AB est done donnee; chacuiie des droites AB, BF est done donnee (67). PROPOSITON LXXXVIII. Si dans un cercle donne de grandeur, on mene une ligne droite qui retranche un segment comprenant un angle donne, la droite menee sera donnee de grandeur. Dans le cercle ABF donne de grandeur, menons la droite AF qui retranche un segment AEF comprenant un angle donne AEF; je dis que la droite AF est donnee de grandeur. III. 5g 466 LES DONNES D'EUCLIDE. KCU 8w yaip TO KtvTpcv ToS xuxAou TO A, Sumatur enim centrum A circnli, et juncta 6U%9uir AA T/'^6&) 677-) TO E, x -A A producatur ad E , et jungatur FE. Datus a FE. Aufle/W dp* ltn}v ivo AFE , Jgitur est AFE angulus , reclus enim. Est au- tpfl yap Iff-r/c- 5 ' Em Si no.} uno AEF fle7 recta linca ducalur AT data magnitudtne; ftyc- dico illam auferrc segmenlum capieus angulum datum. TO A, Sumatur enim centrum A circuli , et juncta Car prenons le centre du cercle ( i. 3 ), qn'il soil A; joignons la droite AA, et prolongeons-la vers E, et joignons FE. L'angle AFE sera donne, car il estdroit (3i. 3). Mais Tangle AEF est doune (i); Fangle resiant FAE est done donne(32. i) (4); le triangle AFE est done donne d'espece (4)> ^ a raison de EA a AF est done donnee ( def. 3 ). Mais EA est donne de grandeur, parce que le cercle est donne de grandeur (def. 5); la droite AF est done donuee de grandeur (2 ). PROPOSITION LXXXIX. Si dans xm cercle donne de grandeur, 1'on mene une ligne droite donnee de grandeur, cette droite retranchera un segment qui coraprendra un angle donne. Dans le cercle ABF donne de grandeur, menons une ligne droite AF donnee de grandeur; je dis qu'elle 'retranchera uu segment qui comprendra un angle donne. Car prenons le centre du cercle, qu'il soit A ( i. 3 ); joignons Ja droite AA, LES DONNE"ES D'EUCLIDE, no.} t7Ti%tv%Qt7 jl'angle AErest done donne (def. 5). PROPOSITION XC. Si dans la circonference d'un cercle donne de position 1'on prend tm point donne , et si de ce point on mene nne droite qui , etant brisee a la circonfe- rence, fasse un angle donne , 1'auire exiremite de la ligne brisee sera donnee. Daus la circonference du cercle ABf donne de position ? prenons un point 4G8 TTO ! AF ^ utvtiv Trcivya. ytavicLv THV I/TTO BAF' cTfioe/ira *7T(I' n AF T'?6:f8/. 'c(Ttl Ot KCtl T> fAtyi6tl (Tc xa) o ABF jcJ^Aof flsVs/ apa zzi r> [AiyiQii fis/ira t^Tiv )i AF. Ka) (ToSer TO A 1 <7T< TO F s'l'D ilQiia. T BA 8 , Ka< TW TTLOI; a.vTy tione rectarn BA, et ad punctum in ca A , recta ducta est AF datum facicus angulum BAP ; data igitur est AF positione. Positione autem et magnitudine dalus et ABF circulus; positione igilur ct magniludiue data est AF. Et datum A punctum ; datum igitur cst punctum F. donne B, et du point B menons une droite BAF qtii, elant brisee a la circonfe- rence, f'asse un angle donne BAF ; je dis que le point r est donne. Car prenons le centre du ccrcle ( i. 5), qn'il soil A, et joignans BA, AF. Et puisque cliacun des points B, A est donne, la droile BA est donnee de posi- tion (26). Et puisque 1'angle BAF est donne, Tangle BAF sera donne ( 20. 3 ) (2). Mais a la droile BA donnee de position , et au point A de cette droite, on a mene la droite Arfaisant un angle donne BAF; la droite AF est done donnee de position ( 29 ). Mais le cercle ABF est donne de position et de grandeur ; la droite AF est done donnee de position et de grandeur (a5 et 26). Mais le point A est donne; le point r est done donue (27). LES DONNEES D'EUCLIDE. FIPOTASIS PROPOSITIO XCI. -s/ Eaec V9TO ftf'of^.ivou fttfjtiioU) TO? 1 Q-:ru iic Miv ISTIV apa, circulus datus; datum cstigitur pnnctum A. Sed TO A. 6 A*A* xcci TO T Miv la-rr Po6i7.'-yu OTI Wsv l- BA, AP cWec p* A, Ar; datum igitur cst et ipsuin sub BA, Ar. TO vVo TWC BA, AF. AAAH2. ALITER. TO 6a AE, xa.} TM itur.\w TO E, Kce Sumatur centrum E circuli, ct jungatur AE , S~tn^a ITT} TO A' xai et producatur ad punctum A; ct quoniam Miv \mv txiiTtfOV TKV E, A' hhlfet datum est utrumque punctorum E, A- data a.fct \sr\v H EA T 6-Vu x( TW ^tT-ifle/'. A='sum sub ductae (Tu- segmcutis comprchcnsum rcclangulum datum est. Circulo enim BT dato posilione , sumatur ali- q;iod punctum intus ipsum A datum , per punc- tum autcm A ducalur aliqua recta TB - } dico datum esse ipsum sub BA , AT. 5/ap TO ' c TOW xvaXcu TO A, AA (T/jf^flffl STTI Ta Z, E. cuv ZA . Sumatur enim centrum A circuli , et juncta AA producatur ad puncta Z , E. Quoniam igitur datum est utrumqnc ipsorum A , A ; po^itione igitur est ipsa AA. Positione autem et TBZcircu- lus ; datum igitur est ulrumque punctortim Z, E. Est autem et punctum A uatum; data igitur PROPOSITION XCIII. Si dans un cercle donne de position, on prcnd un point donue,etsi, par ce point, on mene une droite dans le cercle, le rectangle sous les segments de la droite menee est donne. Dans le cercle BF donne de position , prenons un point donne A , et par le point A menons une droite TB ; je dis que le rectangle sous BA, AF est donue. Car prenons le centre A de ce cercle (i. 5), joignons AA, et prolongeons cetle droite vers les points z, E. Puisque chacun des points A, A est donne, la droite AA est donnee de position (26). Mais le cercle FEZ est donne ; chacun des points ^ > E est done donne (26). Mais le point A est donne; chacune des